Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1: Розділи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    17537

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    • 1.1: Вступ до симетрії
      Ви вже будете знайомі з поняттям симетрії в повсякденному сенсі. Якщо ми говоримо, що щось «симетричне», ми зазвичай маємо на увазі, що воно має дзеркальну симетрію, або симетрію «вліво-праворуч», і виглядало б однаково, якщо дивитися в дзеркалі. Симетрія також дуже важлива в хімії. Деякі молекули явно «більш симетричні», ніж інші, але які наслідки це має, якщо такі є?
    • 1.2: Операції симетрії та елементи симетрії
      Операція симетрії - це дія, яка залишає об'єкт, який виглядає однаково після того, як він був здійснений. Кожна операція симетрії має відповідний елемент симетрії, який є віссю, площиною, лінією або точкою, щодо якої здійснюється операція симетрії. Елемент симетрії складається з усіх точок, які залишаються в одному місці при виконанні операції симетрії. Наприклад, при обертанні лінія точок, які залишаються на одному місці, складають вісь симетрії.
    • 1.3: Класифікація симетрії молекул- точкових груп
      У молекулі (або будь-якому іншому об'єкті) можуть бути присутніми лише певні комбінації елементів симетрії. В результаті ми можемо згрупувати молекули, які мають однакові елементи симетрії, і класифікувати молекули відповідно до їх симетрії. Ці групи елементів симетрії називаються точковими групами (через те, що в просторі є хоча б одна точка, яка залишається незмінною незалежно від того, яка операція симетрії від групи застосовується).
    • 1.4: Симетрія та фізичні властивості
      Проведення операції симетрії над молекулою не повинно змінювати жодних її фізичних властивостей. Виявляється, це має деякі цікаві наслідки, що дозволяють передбачити, чи може молекула бути хіральною або полярною на основі своєї точкової групи.
    • 1.5: Об'єднання операцій симетрії - «Групове множення»
      Тепер ми дослідимо, що відбувається, коли ми застосовуємо дві операції симетрії послідовно. Як ми незабаром побачимо, порядок, в якому застосовуються операції, важливий.
    • 1.6: Побудова вищих груп з простих груп
      Група, яка містить велику кількість елементів симетрії, часто може бути побудована з більш простих груп.
    • 1.7: Математичне визначення групи
      Математична група визначається як сукупність елементів разом з правилом формування нових комбінацій всередині цієї групи. Кількість елементів називається порядком групи. Для наших цілей елементами є операції симетрії молекули і правилом їх об'єднання є послідовне застосування операцій симетрії, досліджених у попередньому розділі. Елементи групи і правило їх об'єднання повинні задовольняти певним критеріям.
    • 1.8: Огляд матриць
      Матриця n×m - це двовимірний масив чисел з n рядків і m стовпців. Цей модуль розглядає основні визначення та операції матриць, особливо релевантні для аспектів симетрії.
    • 1.9: Матриці перетворення
      Матриці можуть бути використані для відображення одного набору координат або функцій на інший набір. Матриці, що використовуються для цієї мети, називаються матрицями перетворення. У теорії груп ми можемо використовувати матриці перетворення для виконання різних операцій симетрії, розглянутих на початку курсу. Як простий приклад, ми дослідимо матриці, які ми використовували б для виконання деяких з цих операцій симетрії над модельним вектором.
    • 1.10: Матричні зображення груп
      Операції симетрії в групі можуть бути представлені набором матриць перетворення, по одній для кожного елемента симетрії. Кожна окрема матриця називається представником відповідної операції симетрії, а повний набір матриць називається матричним представленням групи. Представники матриць діють на деякому обраному базовому наборі функцій, а фактичні матриці, що складають дане уявлення, залежатимуть від обраної основи.
    • 1.11: Властивості матричних представлень
      Тепер, коли ми дізналися, як створити матричне представлення групи точок в межах заданої основи, ми перейдемо до розгляду деяких властивостей, які роблять ці уявлення настільки потужними в лікуванні молекулярної симетрії.
    • 1.12: Скорочення уявлень I
      Блокову діагональну матрицю можна записати як пряму суму матриць, що лежать по діагоналі. Зауважте, що пряма сума сильно відрізняється від звичайного складання матриці, оскільки вона створює матрицю вищої розмірності.
    • 1.13: Незведені уявлення та види симетрії
      Коли два одновимірних нескорочуваних уявлення бачать однаковими, вони мають «однакову симетрію», перетворюючись однаково під усіма операціями симетрії групи точок і утворюючи основи для одного і того ж представлення матриці. Таким чином, вони, як кажуть, належать до одного і того ж виду симетрії. Існує обмежена кількість способів, за допомогою яких довільна функція може трансформуватися під операціями симетрії групи, породжуючи обмежену кількість видів симетрії.
    • 1.14: Таблиці символів
      Таблиця символів узагальнює поведінку всіх можливих незведених уявлень групи під кожною з операцій симетрії групи. У багатьох додатках теорії груп нам потрібно знати лише символи представницьких матриць, а не самі матриці. На щастя, коли кожна базова функція перетворюється як незведене подання 1D, існує простий ярлик для визначення символів без необхідності побудови всього матричного представлення.
    • 1.15: Скорочення уявлень II
      Освіта зв'язків залежить від симетрії складових атомних орбіталей. Щоб повною мірою використовувати теорію груп у програмах, які ми будемо розглядати, нам потрібно розробити трохи більше «машин». Зокрема, з огляду на базову множину, нам потрібно з'ясувати: (1) Як визначити незвідні уявлення, що охоплюються базисними функціями, і (2) Як побудувати лінійні комбінації вихідних базисних функцій, які трансформуються як заданий незвідний вид представлення/симетрії.
    • 1.16: Адаптовані лінійні комбінації симетрії (SALC)
      Після того, як ми дізнаємося незвідні уявлення, охоплені довільною базовою множиною, ми можемо виробити відповідні лінійні комбінації базисних функцій, які перетворюють матричних представників нашого вихідного представлення в блокову діагональну форму (тобто симетрію адаптовані лінійні комбінації). Кожен з SALC перетворюється як одне з незведених уявлень зменшеного представлення.
    • 1.17: Визначення того, чи може інтеграл бути ненульовим
      Продовжуючи цей курс, ми виявимо, що є багато разів, коли ми хотіли б знати, чи є конкретний інтеграл обов'язково нульовим, або чи є шанс, що він може бути ненульовим. Ми часто можемо використовувати теорію груп, щоб диференціювати ці два випадки.
    • 1.18: Склеювання в діатоміці
      Ви вже будете знайомі з ідеєю побудови молекулярних орбіталів з лінійних комбінацій атомних орбіталів з попередніх курсів, що охоплюють зв'язок у двоатомних молекулах. Виявляється, правило, яке визначає, чи можуть зв'язатися дві атомні орбіталі, полягає в тому, що вони повинні належати до одного і того ж виду симетрії в межах точкової групи молекули.
    • 1.19: Склеювання в поліатоміці - побудова молекулярних орбіталів з SALC
      У попередньому розділі ми показали, як використовувати симетрію, щоб визначити, чи можуть дві атомні орбіталі утворювати хімічний зв'язок. Як ми проводимо ту саму процедуру для багатоатомної молекули, в якій багато атомних орбіталів можуть об'єднатися, утворюючи зв'язок? Будь-які SALC тієї ж симетрії потенційно можуть утворювати зв'язок, тому все, що нам потрібно зробити для побудови молекулярної орбіталі, - це взяти лінійну комбінацію всіх SALC одного і того ж виду симетрії.
    • 1.20: Розрахунок орбітальних енергій та коефіцієнтів розширення
      Розрахунок орбітальних енергій і коефіцієнтів розширення заснований на варіативному принципі, який стверджує, що будь-яка наближена хвильова функція повинна мати більш високу енергію, ніж справжня хвильова функція. Це випливає безпосередньо з досить здорового глузду думки про те, що взагалі будь-яка система намагається мінімізувати свою енергію. Якби «наближена» хвильова функція мала нижчу енергію, ніж «справжня» хвильова функція, ми очікуємо, що система спробує прийняти цей «приблизний» менший енергетичний стан.
    • 1.21: Розв'язування світських рівнянь
      Будь-який набір лінійних рівнянь може бути переписаний як матричне рівняння Ax = b, яке можна класифікувати як одночасні лінійні рівняння або однорідні лінійні рівняння, залежно від того, чи є b ненульовим або нульовим. Набір рівнянь має рішення лише в тому випадку, якщо визначник A дорівнює нулю. Світські рівняння, які ми хочемо вирішити, є однорідними рівняннями, і ми будемо використовувати цю властивість детермінанти для визначення молекулярних орбітальних енергій.
    • 1.22: Короткий опис кроків, що беруть участь у побудові молекулярних орбіталів
      Вісім кроків використовують для побудови довільних молекулярних орбіталів багатоатомних систем.
    • 1.23: Більш складний приклад склеювання
      Теорія груп може бути використана для побудови молекулярних орбіталей молекул за допомогою базового набору, що складається з усіх валентних орбіталів. Це продемонстровано для води і вимагає розгляду належного представлення та символів матриць і витягнутих SALC.
    • 1.24: Молекулярні вібрації
      коливальні рухи багатоатомних молекул набагато складніше, ніж у двоатомних. Оскільки зміна однієї довжини зв'язку в багатоатомній часто впливає на довжину сусідніх зв'язків, ми не можемо розглядати коливальний рух кожного зв'язку в ізоляції; натомість ми говоримо про нормальні режими, що включають узгоджений рух груп зв'язків. Теорія груп може бути використана для ідентифікації симетрій поступального, обертального та коливального режимів руху молекули.
    • 1.25: Резюме застосування теорії груп до молекулярних рухів
      Наведено короткий виклад кроків, пов'язаних із застосуванням теорії груп до молекулярних рухів.
    • 1.26: Теорія груп та молекулярні електронні стани
      Молекулярна орбіталь полягає в тому, що це «хвильова функція на один електрон», тобто рішення рівняння Шредінгера для молекули. Електронний стан визначається електронною конфігурацією системи та квантовими числами кожного електрона, що сприяють цій конфігурації. Симетрія електронного стану визначається шляхом прийняття прямого добутку незвідних уявлень для всіх електронів, що беруть участь у цьому стані.
    • 1.27: Спектроскопія - Взаємодія атомів і молекул зі світлом
      Ми вже використовували теорію груп, щоб дізнатися про молекулярні орбіталі в молекулі. У цьому розділі ми покажемо, що він також може бути використаний для прогнозування, до яких електронних станів можна отримати доступ шляхом поглинання фотона. Ми також можемо використовувати теорію груп, щоб дослідити, як світло може використовуватися для збудження різних коливальних режимів багатоатомної молекули.
    • 1.28: Резюме
      Сподіваємось, цей текст дав вам розумне введення в якісний опис молекулярної симетрії, а також до того, як вона може бути використана кількісно в контексті теорії груп для прогнозування важливих молекулярних властивостей.
    • 1.29: Додаток А
    • 1.30: Додаток B- Точкові групи