1.6: Побудова вищих груп з простих груп

Last updated
Save as PDF

Page ID: 17634

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Група, яка містить велику кількість елементів симетрії, часто може бути побудована з більш простих груп. Це, мабуть, найкраще ілюструється на прикладі. Розглянемо групи точок\(C_2\) і\(C_S\). \(C_2\)містить елементи\(E\) і\(C_2\), і має порядок 2, в той час як\(C_S\) містить\(E\) і σ, а також має порядок\(2\). Ми можемо використовувати ці дві групи для побудови групи,\(C_{2v}\) застосовуючи операції\(C_S\) симетрії\(C_2\) та послідовно.

\[\begin{array}{lllll} C_2 \: \text{operation} & E & E & C_2 & C_2 \\ C_S \: \text{operation} & E & \sigma(xz) & E & \sigma(xz) \\ \text{Result} & E & \sigma_v(xz) & C_2 & \sigma_v'(yz) \end{array} \tag{6.1}\]

Зверніть увагу, що\(C_{2v}\) has order \(4\), which is the product of the orders of the two lower-order groups. \(C_{2v}\) may be described as a прямий продукт до групи\(C_2\) and \(C_S\). The origin of this name should become obvious when we review the properties of matrices.