1.9: Матриці перетворення

Матриці можуть бути використані для відображення одного набору координат або функцій на інший набір. Матриці, що використовуються для цієї мети, називаються матрицями перетворення. У теорії груп ми можемо використовувати матриці перетворення для виконання різних операцій симетрії, розглянутих на початку курсу. Як простий приклад, ми дослідимо матриці, які ми використовували б для виконання деяких з цих операцій симетрії над вектором$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$.

Операція ідентичності

Операція ідентичності залишає вектор без змін, і, як ви вже можете підозрювати, відповідною матрицею є матриця ідентичності.

$$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix} \label{9.1}$$

Відображення в площині

Найпростіший приклад матриці відображення відповідає відображенню вектора$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$ in either the $x$ or $y$ axes. Reflection in the $x$ axis maps $y$ to $-y$, while reflection in the $y$ axis maps $x$ to $-x$. The appropriate matrix is very like the identity matrix but with a change in sign for the appropriate element. Reflection in the $x$ axis transforms the vector $\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$ to $\begin{pmatrix} x, -y \end{pmatrix}$, and the appropriate matrix is

$$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x, -y \end{pmatrix} \label{9.2}$$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Відображення по осі x

Відображення по осі y перетворює вектор$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$ to $\begin{pmatrix} -x, y \end{pmatrix}$, and the appropriate matrix is

$$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x, y \end{pmatrix} \label{9.3}$$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Відображення по осі Y

Більш загально матриці можуть використовуватися для представлення відображень у будь-якій площині (або лінії в 2D). Наприклад, відображення по осі 45°, показане під картами

$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$ onto $\begin{pmatrix} -y, -x \end{pmatrix}$.

$$\begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y, -x \end{pmatrix} \label{9.4}$$

Малюнок$\PageIndex{3}$: Відображення поперек осі, яка повернута на 45 ° щодо осі х.

Обертання навколо осі

У двох вимірах відповідна матриця для представлення повороту на кут$\theta$ щодо початку

$$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \label{9.5}$$

У трьох вимірах обертання про$x$, $y$ and $z$ axes acting on a vector $\begin{pmatrix} x, y, z \end{pmatrix}$ are represented by the following matrices.

$$R_{x}(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \label{9.6a}$$

$$R_{y}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \label{9.6b}$$

$$R_{z}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \label{9.6c}$$