1.12: Скорочення уявлень I

Давайте тепер повернемося і подивимося на\(C_{3v}\) representation we derived in \(10.1\) in more detail. If we look at the matrices carefully we see that they all take the same block diagonal form (a square matrix is said to be block diagonal if all the elements are zero except for a set of submatrices lying along the diagonal).

\[\begin{array}{ccc} \Gamma(E) & \Gamma(C_3^-) & \Gamma(C_3^+) & \Gamma(\sigma_v) & \Gamma(\sigma_v') & \Gamma(\sigma_v'') \\ \scriptsize{\begin{pmatrix} \textbf{1} & \text{0} & \text{0} & \text{0} \\ \text{0} & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{0} \\ \text{0} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \\ \text{0} & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} \textbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} \\ 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{0} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} \textbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} \\ 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{0} \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} \textbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{0} \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} \textbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \\ 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{0} \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} \textbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} \\ 0 & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \\ 0 & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{0} \end{pmatrix}} \\ \chi(E) = 4 & \chi(C_3^+) = 1 & \chi(C_3^-) = 1 & \chi(\sigma_v) = 2 & \chi(\sigma_v') = 2 & \chi(\sigma_v'') = 2 \end{array} \nonumber\]

Блокову діагональну матрицю можна записати як пряму суму матриць, що лежать по діагоналі. У випадку з\(C_{3v}\) matrix representation, each of the matrix representatives may be written as the direct sum of a \(1 \times1\) matrix and a \(3 \times3\) matrix.

\[\Gamma^{(4)}(g) = \Gamma^{(1)}(g) \otimes \Gamma^{(3)}(g) \label{12.1}\]

в якій укладені в дужки надписи позначають розмірність матриць. Зауважте, що пряма сума сильно відрізняється від звичайного складання матриці, оскільки вона створює матрицю вищої розмірності. Пряма сума двох матриць порядків\(n\) and \(m\) is performed by placing the matrices to be summed along the diagonal of a matrix of order \(n + m\) and filling in the remaining elements with zeroes.

Причина, чому цей результат корисний в теорії груп, полягає в тому, що дві множини матриць,\(\Gamma^{(1)}(g)\) а\(\Gamma^{(3)}(g)\) також задовольняють всім вимогам до матричного представлення. Кожен набір містить ідентичність та обернену для кожного члена, а члени множаться разом асоціативно відповідно до таблиці множення груп\(^3\). Нагадаємо, що основу для початкового чотиривимірного уявлення мали в якості основи\(s\)\(\begin{pmatrix} s_N, s_1, s_2, s_3 \end{pmatrix}\) орбіталі аміаку. Перша множина скорочених матриць,\(\Gamma^{(1)}(g)\), утворює одновимірне уявлення з\(\begin{pmatrix} s_N \end{pmatrix}\) as its basis. The second set, \(\Gamma^{(3)}(g)\) утворює тривимірне уявлення з основою\(\begin{pmatrix}s_1, s_2, s_3 \end{pmatrix}\). Separation of the original representation into representations of lower dimensionality is called reduction of the representation. The two reduced representations are shown below.

\[\begin{array}{cccccccl} g & E & C_3^+ & C_3^- & \sigma_v & \sigma_v' & \sigma_v'' & \\ \Gamma^{(1)}(g) & (1) & (1) & (1) & (1) & (1) & (1) & \begin{array}{l} \small \text{1D representation} \\ \small \text{spanned by} \: (s_N) \end{array} \\ \Gamma^{(3)}(g) & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}} & \begin{array}{l} \small \text{3D representation} \\ \small \text{spanned by} \: \begin{pmatrix} s_1, s_2, s_3 \end{pmatrix} \end{array} \end{array} \nonumber\]

Наступним логічним кроком є вивчення того, чи\(\Gamma^{(3)}(g)\) можна зменшити тривимірне зображення далі. Як вона стоїть, матриці, що складають це уявлення, не в блоковій діагональній формі (деякі з вас, можливо, відзначали, що матриці, що\(E\) and \(\sigma_v\) представляють собою блокову діагональ, але для того, щоб уявлення було скорочуваним, усі представники матриці повинні бути в той же блок діагональної форми), тому представлення не зменшується. Однак ми можемо здійснити перетворення подібності (див.\(10.1\)) to a new representation spanned by a new set of basis functions (made up of linear combinations of \(\begin{pmatrix} s_1, s_2, s_3 \end{pmatrix}\)), which is reducible. In this case, the appropriate (normalized) linear combinations to use as our new basis functions are

\[\begin{array}{c} s_1' = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(s_1 + s_2 + s_3) \\ s_2' = \dfrac{1}{\sqrt{6}}(2s_1 - s_2 - s_3) \\ s_3' = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(s_2 - s_3) \end{array} \label{12.2}\]

або в матричній формі

\[\begin{array}{cccc} \begin{pmatrix} s_1', s_2', s_3' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} s_1, s_2, s_3 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\ \textbf{x'} & = & \textbf{x} & C \end{array} \label{12.3}\]

Матриці в новому поданні знаходять з\(\Gamma'(g)\) =\(C^{-1}\Gamma(g)C\) to be

\[\begin{array}{lcccccc} & E & C_3^+ & C_3^- & \sigma_v & \sigma_v' & \sigma_v'' \\ \Gamma^{(3),}(g) & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} \end{array} \]

Ми бачимо, що кожна матриця тепер у формі діагоналі блоку, і представлення може бути зменшено в пряму суму 1 x 1 подання, що охоплюється\(\begin{pmatrix} s_1' \end{pmatrix}\) and a 2x2 representation spanned by \(\begin{pmatrix} s_2', s_3' \end{pmatrix}\). The complete set of reduced representations obtained from the original 4D representation is:

\[\begin{array}{ccccccl} E & C_3^+ & C_3^- & \sigma_v & \sigma_v' & \sigma_v'' & \\ (1) & (1) & (1) & (1) & (1) & (1) & \begin{array}{l} \text{1D representation spanned} \\ \text{by} \: \begin{pmatrix} s_N \end{pmatrix} \end{array} \\ (1) & (1) & (1) & (1) & (1) & (1) & \begin{array}{l} \text{1D representation spanned} \\ \text{by} \: \begin{pmatrix} s_1' \end{pmatrix} \end{array} \\ \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} & \scriptsize{\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}} & \begin{array}{l} \text{2D representation spanned} \\ \text{by} \: \begin{pmatrix} s_2', s_3' \end{pmatrix} \end{array} \end{array}\]

Це наскільки ми можемо піти в зменшенні цього представлення. Жодне з трьох представлень вище не може бути зменшено далі, і тому їх називають нескорочуваними уявленнями точкової групи. Формально представлення - це незведене уявлення, якщо немає перетворення подібності, яке може одночасно перетворити всіх представників у блокову діагональну форму. Лінійна комбінація базисних функцій, що перетворює матричне уявлення в блокову діагональну форму, що дозволяє зменшити представлення, називається симетрією адаптованою лінійною комбінацією (SALC).

---

\(^3\) The 1x1 representation in which all of the elements are equal to 1 is sometimes called the unfaithful representation, since it satisfies the group properties in a fairly trivial way without telling us much about the symmetry properties of the group.