Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.17: Визначення того, чи може інтеграл бути ненульовим

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    17579

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Продовжуючи цей курс, ми виявимо, що є багато разів, коли ми хотіли б знати, чи є конкретний інтеграл обов'язково нульовим, або чи є шанс, що він може бути ненульовим. Ми часто можемо використовувати теорію груп, щоб диференціювати ці два випадки.

    Ви вже використовуватимете властивості симетрії функцій, щоб визначити, чи є одновимірний інтеграл нулем. Наприклад, sin (x) - це «непарна» функція (антисиметрична щодо відображення через походження), і з цього випливає, що

    \[\int^{\infty}_{-\infty} \cos(x) dx = 0\]

    Загалом, інтеграл між цими межами для будь-якої іншої непарної функції також буде дорівнює нулю.

    У загальному випадку ми можемо мати інтеграл більш ніж одного виміру. Ключ до визначення того, чи є загальний інтеграл обов'язково нулем, полягає в тому, що оскільки інтеграл - це всього лише число, він повинен бути інваріантним до будь-якої операції симетрії. Наприклад, зв'язок у двоатомному (див. Наступний розділ) залежить від наявності ненульового перекриття між атомними орбіталями на сусідні атоми, які можуть бути кількісно визначені інтегралом перекриття. Ви не очікуєте, що зв'язок у молекулі зміниться, якщо ви обертаєте молекулу на певний кут\(\theta\) , тому інтеграл повинен бути інваріантним до обертання, і взагалі до будь-якої іншої операції симетрії.

    У групових теоретичних умовах, щоб інтеграл був ненульовим, integrand повинен трансформуватися як повністю симетричне незведене уявлення у відповідній точкової групі. На практиці integrand не може трансформуватися як єдине незведене уявлення, але воно повинно включати в себе абсолютно симетричне незведене уявлення. Ці ідеї повинні стати більш зрозумілими в наступному розділі.

    Примітка

    Слід зазначити, що навіть коли незведені уявлення, що охоплюються integrand, включають повністю симетричне незведене уявлення, все ще можливо, щоб інтеграл був нулем. Вся теорія груп дозволяє нам це визначити інтеграли, які обов'язково нульові на основі симетрії (або її відсутності) цілісного.