1.14: Таблиці символів

Таблиця символів узагальнює поведінку всіх можливих незведених уявлень групи під кожною з операцій симетрії групи. Таблиця символів для$C_{3v}$ is shown below.

$$\begin{array}{lllll} \hline C_{3v},3m & E & 2C_3 & 3\sigma_v & h=6 \\ \hline A_1 & 1 & 1 & 1 & z, z^2, x^2+y^2 \\ A_2 & 1 & 1 & -1 & R_z \\ E & 2 & -1 & 0 & \begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} xy, x^2+y^2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} xz, yz \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} R_x, R_y \end{pmatrix} \\ \hline \end{array} \label{14.1}$$

Різні розділи таблиці такі:

1. Перший елемент таблиці дає назву групи точок, зазвичай в обох Schoenflies ($C_{3v}$) and Hermann-Mauguin ($3m$) notation.
2. Уздовж першого ряду йдуть операції симетрії групи$E$, $2C_3$ and $3\sigma_v$ , за якими слід порядок групи. Оскільки операції в одному класі мають однаковий характер, операції симетрії групуються в класи в таблиці символів і не перераховуються окремо.
3. У першій колонці наведені незвідні уявлення про групу. В$C_{3v}$ the irreducible representations are $A_1$, $A_2$ and $E$ (the representation we considered above spans $2A_1$ + $E$).
4. Символи незведених уявлень при кожній операції симетрії наведені в основній частині таблиці.
5. У кінцевому стовпці таблиці наведено ряд функцій, які трансформуються як різні нескорочувані уявлення групи. Це$\begin{pmatrix} x, y, z \end{pmatrix}$, the Cartesian products $\begin{pmatrix} z^2, x^2 + y^2, xy, yz \end{pmatrix}$, and the обертання декартових осей$\begin{pmatrix} R_x, R_y, R_z \end{pmatrix}$.

Функції, перераховані в останньому стовпці таблиці, важливі для багатьох хімічних застосувань теорії груп, особливо в спектроскопії. Наприклад, дивлячись на властивості трансформації$x$, $y$ and $z$ (sometimes given in character tables as $T_x$, $T_y$, $T_z$) we can discover the symmetry of translations along the $x$, $y$, and $z$ axes. Similarly, $R_x$, $R_y$ and $R_z$ represent rotations about the three Cartesian axes. As we shall see later, the transformation properties of $x$, $y$, and $z$ can also be used to determine whether or not a molecule can absorb a photon of $x$-, $y$-, or $z$-polarized light and undergo a spectroscopic transition. The Cartesian products play a similar role in determining selection rules for Raman transitions, which involve two photons.

Таблиці символів для груп спільних точок наведені в Додатку B.

Простий спосіб визначення характерів уявлення

У багатьох додатках теорії груп нам потрібно знати лише символи представницьких матриць, а не самі матриці. На щастя, коли кожна базисна функція перетворюється як 1D нескорочуване подання (що вірно у багатьох випадках, що цікавлять), існує простий ярлик для визначення символів без необхідності побудови всього матричного представлення. Все, що нам потрібно зробити, це подивитися на те, як окремі базові функції трансформуються під кожною операцією симетрії. Для даної операції крок через основні функції наступним чином:

1. Додати$1$ to the character if the basis function is unchanged by the symmetry operation (i.e. the basis function is mapped onto itself);
2. Додати$-1$ to the character if the basis function changes sign under the symmetry operation (i.e the basis function is mapped onto minus itself);
3. Додати$0$ to the character if the basis function moves when the symmetry operation is applied (i.e the basis function is mapped onto something different from itself).

Спробуйте це для$s$ orbital basis we have been using for the $C_{3v}$ group. You should find you get the same characters as we obtained from the traces of the matrix representatives.

Ми також можемо досить легко розробити символи, коли дві базові функції трансформуються разом як двовимірне незведене уявлення. Наприклад, в$C_{3v}$ point group $x$ and $y$ axes transform together as $E$. If we carry out a rotation about $z$ by an angle $\theta$, нашому$x$ and $y$ axes are transformed onto new axes $x'$ and $y'$. However, the new axes can each be written as a linear combination of our original $x$ and $y$ axes. Using the rotation matrices introduced in Section 9, we see that:

$$\begin{array}{ccc}x' & = & \cos\theta \: x + \sin\theta \: y \\ y' & = & -\sin\theta \: x + \cos\theta \: y \end{array} \label{14.2}$$

Для одновимірних нескорочуваних уявлень ми запитали, чи була відображена базова функція/вісь на себе, мінус сам, чи щось інше. Для двовимірних нескорочуваних уявлень нам потрібно запитати, скільки «старої» осі міститься в новій. З вищесказаного ми бачимо, що$x$ axis, and the $y'$ axis contains a contribution $\cos$$\theta$ від від$y$ axis. The characters of the $x$ and $y$ axes under a rotation through $\theta$ are therefore $\cos$$\theta$, і загальний характер$x'$ axis contains a contribution $\cos$$\theta$ з$E$ irreducible representation is therefore $\cos$$\theta$$+$$\cos$$\theta$$= 2$$\cos$$\theta$. Для$C_3$ rotation through 120 degrees, the character of the $E$ irreducible representation is therefore $2\cos120$° $=$ $-1$.

Загалом, коли вісь повертається на кут $\theta$ by a symmetry operation, its contribution to the character for that operation is $\cos$$\theta$.

Незведені зображення зі складними символами

У багатьох випадках (див. Додаток B) символи для обертань$C_n$ and improper rotations $S_n$ are complex numbers, usually expressed in terms of the quantity $\epsilon$ = exp(2$\pi$i/n) . Досить просто примирити це з тим, що в хімії ми, як правило, використовуємо теорію груп для дослідження фізичних проблем, в яких всі величини реальні. Виявляється, щоразу, коли наша основа охоплює незведене уявлення, чиї символи є складними, воно також охоплюватиме друге нескорочуване подання, чиї символи є складними сполученнями першого незведеного подання, тобто складні незведені уявлення відбуваються парами. Відповідно до суворої математики теорії груп, кожне незведене уявлення в парі слід розглядати як окреме уявлення. Однак, застосовуючи такі незвідні уявлення у фізичних проблемах, ми додаємо символи для двох незведених уявлень разом, щоб отримати єдине незведене уявлення, символи якого є реальними.

Як приклад, «правильна» таблиця символів для групи$C_3$ takes the form:

$$\begin{array}{l|l} C_3 & E \: \: \: \: \: \: \: \: C_3 \: \: \: \: \: \: \: \: C_3^2 \\ \hline A & 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1 \\ \hline E & \begin{Bmatrix} 1 & \epsilon & \epsilon* \\ 1 & \epsilon* & \epsilon \end{Bmatrix} \end{array} \label{14.3}$$

Де$\epsilon$ = exp(2$\pi$i/3). Однак, як хіміки, ми зазвичай поєднуємо дві частини$E$ irreducible representation to give:

$$\begin{array}{l|lll} C_3 & E & C_3 & C_3^2 \\ \hline A & 1 & 1 & 1 \\ E & 2 & -1 & 1 \end{array} \label{14.4}$$