1.7: Математичне визначення групи

Last updated

Oct 25, 2022
Save as PDF
- 1.6: Побудова вищих груп з простих груп
- 1.8: Огляд матриць

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тепер, коли ми вивчили деякі властивості операцій і елементів симетрії та їх поведінку в точкових групах, ми готові ввести формальне математичне визначення групи.

Математична група визначається як сукупність елементів ( $g_1$ , $g_2$ , $g_3$ ...) разом з правилом формування комбінацій $g_i$ $g_j$ . Кількість елементів $h$ називається порядком групи. Для наших цілей елементами є операції симетрії молекули і правилом їх об'єднання є послідовне застосування операцій симетрії, досліджених у попередньому розділі. Елементи групи і правило їх об'єднання повинні задовольняти наступним критеріям.

Група повинна включати в себе ідентичність $E$ , $E g_i= g_i \tag{7.1}$ за якою для всіх елементів групи.
Елементи повинні задовольняти групі або властивості, що поєднання будь-якої пари елементів також є елементом групи.
Кожен елемент $g_i$ повинен мати зворотний $g_i^{-1}$ , який також є елементом групи, таким чином, що $g_i g_i^{-1} = g_i^{-1}g_i = E \tag{7.2}$ (наприклад, у $C_{3v}$ зворотному $C_3^+$ is $C_3^-$ , обернене $(\sigma_v$ є $\sigma_v$ », зворотне $g_i^{-1}$ ефективно «скасовує» ефект операції симетрії $g_i$ ).
Правило поєднання повинно бути асоціативним, тобто $(g_i g_j )(g_k) = g_i(g_jg_k) \tag{7.3}$

Вищевказане визначення не вимагає елементів для поїздок, що вимагатиме

$g_i g_k =g_k g_i \tag{7.4}$

Як ми виявили в $C_{3v}$ прикладі вище, у багатьох групах результат послідовного застосування двох операцій симетрії залежить від порядку застосування операцій. Групи, для яких елементи не їздять на роботу, називаються не-абелевими групами; ті, для яких вони елементи їздять на роботу, є абелевими.

Теорія груп є важливою областю в математиці, і, на щастя, для хіміків математики вже зробили більшу частину роботи за нас. Поряд з формальним визначенням групи приходить всебічна математична база, яка дозволяє проводити суворе лікування симетрії в молекулярних системах і дізнатися про її наслідки.

Багато проблем, пов'язаних з операторами або операціями (наприклад, ті, що зустрічаються в квантовій механіці або теорії груп), можуть бути переформульовані з точки зору матриць. Будь-який з вас, хто раніше стикався з матрицями перетворення, буде знати, що операції симетрії, такі як обертання та відображення, можуть бути представлені матрицями. Виходить, що множина матриць, що представляють операції симетрії в групі, підпорядковується всім умовам, викладеним вище в математичному визначенні групи, а використання матричних уявлень операцій симетрії спрощує проведення розрахунків в теорії груп. Перш ніж ми дізнаємося, як використовувати матриці в теорії груп, ймовірно, буде корисно переглянути деякі основні визначення та властивості матриць.