Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.7: Математичне визначення групи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    17637

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тепер, коли ми вивчили деякі властивості операцій і елементів симетрії та їх поведінку в точкових групах, ми готові ввести формальне математичне визначення групи.

    Математична група визначається як сукупність елементів (\(g_1\),\(g_2\),\(g_3\)...) разом з правилом формування комбінацій\(g_i\)\(g_j\). Кількість елементів\(h\) називається порядком групи. Для наших цілей елементами є операції симетрії молекули і правилом їх об'єднання є послідовне застосування операцій симетрії, досліджених у попередньому розділі. Елементи групи і правило їх об'єднання повинні задовольняти наступним критеріям.

    1. Група повинна включати в себе ідентичність\(E\),\[E g_i= g_i \tag{7.1}\] за якою для всіх елементів групи.
    2. Елементи повинні задовольняти групі або властивості, що поєднання будь-якої пари елементів також є елементом групи.
    3. Кожен елемент\(g_i\) повинен мати зворотний\(g_i^{-1}\), який також є елементом групи, таким чином, що\[g_i g_i^{-1} = g_i^{-1}g_i = E \tag{7.2}\] (наприклад, у\(C_{3v}\) зворотному\(C_3^+\) is\(C_3^-\), обернене\((\sigma_v\) є\(\sigma_v\)», зворотне\(g_i^{-1}\) ефективно «скасовує» ефект операції симетрії \(g_i\)).
    4. Правило поєднання повинно бути асоціативним, тобто\[(g_i g_j )(g_k) = g_i(g_jg_k) \tag{7.3}\]

    Вищевказане визначення не вимагає елементів для поїздок, що вимагатиме

    \[g_i g_k =g_k g_i \tag{7.4}\]

    Як ми виявили в\(C_{3v}\) прикладі вище, у багатьох групах результат послідовного застосування двох операцій симетрії залежить від порядку застосування операцій. Групи, для яких елементи не їздять на роботу, називаються не-абелевими групами; ті, для яких вони елементи їздять на роботу, є абелевими.

    Теорія груп є важливою областю в математиці, і, на щастя, для хіміків математики вже зробили більшу частину роботи за нас. Поряд з формальним визначенням групи приходить всебічна математична база, яка дозволяє проводити суворе лікування симетрії в молекулярних системах і дізнатися про її наслідки.

    Багато проблем, пов'язаних з операторами або операціями (наприклад, ті, що зустрічаються в квантовій механіці або теорії груп), можуть бути переформульовані з точки зору матриць. Будь-який з вас, хто раніше стикався з матрицями перетворення, буде знати, що операції симетрії, такі як обертання та відображення, можуть бути представлені матрицями. Виходить, що множина матриць, що представляють операції симетрії в групі, підпорядковується всім умовам, викладеним вище в математичному визначенні групи, а використання матричних уявлень операцій симетрії спрощує проведення розрахунків в теорії груп. Перш ніж ми дізнаємося, як використовувати матриці в теорії груп, ймовірно, буде корисно переглянути деякі основні визначення та властивості матриць.