5: Кривизна
- Page ID
- 77740
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Загальна відносність описує гравітацію як кривизну просторучасу, причому речовина виступає джерелом кривизни так само, як електричний заряд виступає джерелом електричних полів. Наша мета полягає в тому, щоб прийти до польових рівнянь Ейнштейна, які пов'язують локальну внутрішню кривизну з локальною навколишньою речовиною так само, як закон Гаусса пов'язує локальну розбіжність електричного поля з щільністю заряду. Місцевість рівнянь необхідна, оскільки відносність не має дії на відстані; причина і наслідок поширюються з максимальною швидкістю\(c\).
- 5.1: Вступ до кривизни
- Важко визначити кривизну, і важко відрізнити внутрішню кривизну (реальну) від зовнішньої кривизни (ніколи не виробляти спостережуваних ефектів). Явно внутрішнє тензорне позначення захищає нас від введення в оману в цьому відношенні. Якщо сформулювати визначення кривизни, вираженої за допомогою тільки тензорів, які виражаються без прив'язки до будь-якої заздалегідь визначеної системи координат, то ми знаємо, що це фізично спостережувана, а не просто поверхнева особливість тієї чи іншої моделі.
- 5.2: Приливна кривизна проти кривизни, спричиненої місцевими
- Подальшим ускладненням є необхідність відрізняти приливну кривизну від кривизни, викликаної місцевими джерелами.
- 5.3: Тензор енергії стресу
- Загалом, кривизна просторучасу буде містити вклади як приливних сил, так і місцевих джерел, накладених один на одного. Щоб розробити правильну формулювання для рівнянь поля Ейнштейна, нам потрібно усунути приливну частину. Грубо кажучи, ми зробимо це шляхом усереднення кривизни перерізу по всіх трьох площинам t−x, t−y та t−z, даючи міру кривизни, яка називається кривизною Річчі.
- 5.4: Викривлення у двох космічних розмірах
- Оскільки тензори кривизни в розмірах 3+1 складні, почнемо з розгляду більш низьких розмірів. Найнижчий цікавий вимір, отже, два.
- 5.5: Тензори кривизни
- Якщо ми хочемо висловити кривизну як тензор, вона повинна мати рівний ранг. Крім того, в системі координат, в якій координати мають одиниці відстані (вони не є кутами, наприклад, як у сферичних координатах), ми очікуємо, що одиниці кривизни завжди будуть зворотні відстані в квадраті.
- 5.6: Деякі оцінки порядку величини
- Як загальна пропозиція, обчислення оцінки фізичного ефекту на порядок вимагає розуміння 50% фізики, тоді як точний розрахунок вимагає близько 75%. Ми досягли того моменту, коли розумно спробувати різноманітні оцінки порядку величини.
- 5.7: Коваріантна похідна
- Коваріантна похідна є похідною, яка при загальному координатному перетворенні перетворюється коваріативно, тобто лінійно через якобійську матрицю координатного перетворення.
- 5.8: Геодезичне рівняння
- У цьому розділі, який можна пропустити при першому читанні, ми покажемо, як символи Крістоффеля можуть бути використані для пошуку диференціальних рівнянь, що описують геодезику. Геодезичну можна визначити як світову лінію, яка зберігає дотичність при паралельному транспорті.
- 5.9: Торсіон
- У цьому розділі описано поняття гравітаційного кручення. Його можна пропустити без втрати безперервності, за умови, що ви приймаєте властивість симетрії, не турбуючись про те, що це означає фізично або які емпіричні докази це підтверджують.
- 5.11: Колектори (частина 1)
- Загальна відносність не передбачає заздалегідь визначеної фонової метрики, і це створює проблему курки та яєць. Ми хочемо визначити метрику на деякому просторі, але як ми навіть вказати набір точок, які складають цей простір? Звичайний спосіб визначення набору точок буде за їх координатами. Наприклад, у двох вимірах ми могли б визначити простір як набір усіх впорядкованих пар (x, y). Це не працює в загальній теорії відносності, тому що простір не гарантовано матиме цю структуру.
- 5.12: Колектори (частина 2)
- Альтернативним способом характеристики n-многовиду є об'єкт, який локально може бути описаний n дійсними координатами. Тобто будь-яке досить мале сусідство гомеоморфно до відкритої множини в просторі реальних n-кортежів виду (x1, x2,., xn). Наприклад, замкнута напівплощина не є 2-множинним, оскільки жодне сусідство точки на її краю не є гомеоморфним для будь-якого відкритого набору в декартовій площині.
- 5.13: Одиниці загальної відносності
- Аналіз одиниць, також відомий як аналіз розмірів, є одним з перших речей, які ми дізнаємося у фізиці першокурсників. Це корисний спосіб перевірки нашої математики, і здається, що це повинно бути простим, щоб розширити техніку до відносності. Це, звичайно, можна зробити, але це не так тривіально, як можна було б уявити, і це призводить до деяких дивовижних нових фізичних ідей.
Автори та атрибуція
- Template:ContribCrowellGR
- Thumbnail: The overall geometry of the universe is determined by whether the Omega cosmological parameter is less than, equal to or greater than 1. Shown from top to bottom are a closed universe with positive curvature, a hyperbolic universe with negative curvature and a flat universe with zero curvature. (Public Domain; NASA).