5.8: Геодезичне рівняння

У цьому розділі, який можна пропустити при першому читанні, ми покажемо, як символи Крістоффеля можуть бути використані для пошуку диференціальних рівнянь, що описують геодезику.

характеристика геодезичної

Геодезичну можна визначити як світову лінію, яка зберігає дотичність при паралельному транспорті, рис$\PageIndex{1}$. Це, по суті, математичний спосіб вираження поняття, яке ми раніше висловлювали більш неофіційно з точки зору «перебування на курсі» або переміщення «інерційно».

Малюнок$\PageIndex{1}$: Геодезична, 1, зберігає дотичність при паралельному транспорті. Негеодезична крива, 2, не має цієї властивості; вектор спочатку дотичний до кривої більше не дотичний до неї при паралельному транспортуванні вздовж неї.

Криву можна задати, надавши функції$x^{\mu} (\lambda)$ для її координат, де$\lambda$ є дійсним параметром. Вектор, що лежить дотичною до кривої, потім можна обчислити за допомогою часткових похідних,$T^{\mu} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \lambda}$. Існує три способи, за допомогою яких векторна функція$\lambda$ може змінюватися: (1) вона може змінитися з тієї тривіальної причини, що метрика змінюється, так що її компоненти змінюються при вираженні в новій метриці; (2) він може змінити свої компоненти перпендикулярно кривій; або (3) він може змінити свою складову паралельно кривій. Можливість 1 насправді не повинна вважатися зміною взагалі, і визначення коваріантної похідної спеціально розроблено таким чином, щоб бути нечутливим до такого роду речей. 2 не може застосовуватися до T ^$\mu$, який є дотичною за конструкцією. Тому було б зручно, якби Т ^$\mu$завжди була однаковою довжиною. Якщо так, то 3 також не станеться, і ми могли б повторно висловити визначення геодезичної, сказавши, що коваріантна похідна T дорівнює ^$\mu$нулю. З цієї причини ми будемо вважати для решти цього розділу, що параметризація кривої має цю властивість. У ньютонівському контексті ми могли б уявити x ^$\mu$чисто просторовими координатами і$\lambda$ бути універсальною часовою координатою. Потім ми інтерпретуємо T ^$\mu$як швидкість, і обмеження полягало б у параметризації, що описує рух з постійною швидкістю. У відносності обмеження полягає в тому, що$\lambda$ повинно бути афінним параметром. Наприклад, це може бути належний час частинки, якщо крива, про яку йде мова, є часовою.

Коваріантна похідна щодо параметра

Позначення розділу 5.6 не зовсім адаптоване до наших теперішніх цілей, оскільки дозволяє висловити коваріантну похідну щодо однієї з координат, але не стосовно такого параметра, як$\lambda$. Ми хотіли б відзначити коваріантну ^$\mu$похідну T щодо$\lambda$ as$\nabla_{\lambda} T^{\mu}$, хоча$\lambda$ це не координата. Для з'єднання двох типів похідних ми можемо використовувати загальну похідну. Щоб зрозуміти ідею, ось як ми обчислюємо загальну похідну для скалярної функції f (x, y), без тензорних позначень:

$$\frac{df}{d \lambda} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \lambda} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \lambda}$$

Це всього лише узагальнення правила ланцюга до функції двох змінних. Наприклад, якщо$\lambda$ представляє час і температуру f, то це скаже нам про швидкість зміни температури, оскільки термометр проводився через простір. Застосовуючи це до цієї задачі, ми виражаємо загальну коваріантну похідну як

$$\begin{split} \nabla_{\lambda} T^{\mu} &= (\nabla_{\kappa} T^{\mu}) \frac{dx^{\kappa}}{d \lambda} \\ &= (\partial_{\kappa} T^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\kappa \nu} T^{\nu}) \frac{d x^{\kappa}}{d \lambda} \ldotp \end{split}$$

Геодезичне рівняння

Визнаючи$\frac{\partial_{\kappa} T^{\mu} dx^{\kappa}}{d \lambda}$ як сумарну нековаріантну похідну, знаходимо

$$\nabla_{\lambda} T^{\mu} = \frac{dT^{\mu}}{d \lambda} + \Gamma^{\mu}_{\kappa \nu} T^{\nu} \frac{dx^{\kappa}}{d \lambda} \ldotp$$

Це відоме як геодезичне рівняння. Існує множник два, який є загальним gotcha при застосуванні цього рівняння. Симетрія символів Крістоффеля$\Gamma^{\mu}_{\kappa \nu} = \Gamma^{\mu}_{\nu \kappa}$ передбачає, що коли$\kappa$ і$\nu$ є відмінними, один і той же термін з'явиться двічі в підсумовуванні.

Якщо це диференціальне рівняння задовольняється для одного афінного параметра$\lambda$, то воно задовольняється і для будь-якого іншого афінного параметра$\lambda' = a \lambda + b$, де a і b - константи (задача 5). Нагадаємо, що афінні параметри визначаються тільки уздовж геодезичних, а не за довільними кривими.

Ми не можемо почати з визначення афінного параметра, а потім використовувати його для пошуку геодезичних за допомогою цього рівняння, тому що ми не можемо визначити афінний параметр без попереднього визначення геодезичного. Так само ми не можемо зробити геодезичний спочатку, а потім афінний параметр, тому що якби у нас вже був геодезичний в руці, нам не знадобиться диференціальне рівняння, щоб знайти геодезичне. Рішення цієї курячо-яєчної загадки полягає в тому, щоб записати диференціальні рівняння і спробувати знайти рішення, не намагаючись заздалегідь вказати ні афінний параметр, ні геодезичний. У нас рідко буде привід вдаватися до цієї техніки, винятком є приклад 19.

Унікальність

Геодезичне рівняння корисно при встановленні однієї з необхідних теоретичних основ відносності, яка полягає в єдиності геодезичних для заданого набору початкових умов. Це пов'язано з аксіомою O1 впорядкованої геометрії, що дві точки визначають лінію, і це необхідно фізично з причин, розглянутих у розділі 1.5; коротко, якщо геодезичні не були однозначно визначені, то частинки не мали б можливості вирішити, як рухатися. Форма геодезичного рівняння гарантує унікальність. Щоб переконатися в цьому, розглянемо наступний алгоритм визначення числового наближення до геодезичної:

1. Ініціалізувати$\lambda$ x ^$\mu$та їх похідні$\frac{dx^{\mu}}{d \lambda}$. Також встановіть невеликий розмір кроку,$\Delta \lambda$ за допомогою якого слід збільшити$\lambda$ на кожному кроці нижче.
2. Для кожного i обчислити,$\frac{d^{2} x^{\mu}}{d \lambda^{2}}$ використовуючи геодезичне рівняння.
3. Додати$(\frac{d^{2} x^{\mu}}{d \lambda^{2}}) \Delta \lambda$ до поточного збереженого значення$\frac{dx^{\mu}}{d \lambda}$.
4. Додати$(\frac{dx^{\mu}}{d \lambda}) \Delta \lambda$ до x ^$\mu$.
5. Додати$\Delta \lambda$ в$\lambda$.
6. Повторюйте кроки 2-5, поки геодезичний не буде продовжений на потрібну аффінну відстань.

Так як результат розрахунку залежить тільки від входів на етапі 1, то виявимо, що геодезична визначена однозначно.

Щоб побачити, що це дійсно дійсний спосіб довести унікальність, може бути корисно розглянути, як доказ міг зазнати невдачі. Опускаючи деякі деталі тензорів і багатовимірність простору, форма геодезичного рівняння по суті є$\ddot{x}\ + f \dot{x}^{2} = 0$, де точки позначають похідні щодо$\lambda$. Припустимо, що він мав замість цього форму$\ddot{x}^{2} + f \dot{x} = 0$. Тоді на кроці 2 ми повинні були б вибрати або позитивний або негативний квадратний корінь для$\ddot{x}$. Хоча безперервності зазвичай достатньо, щоб підтримувати послідовний знак від однієї ітерації до іншої, це не спрацює, якщо ми коли-небудь прийшли до точки, де$\ddot{x}$ зникли на мить. Таким чином, рівняння такої форми не матиме унікального рішення для заданої множини початкових умов.

Практичне використання цього алгоритму для чисельного обчислення геодезичних даних продемонстровано в розділі 5.9.