5.1: Вступ до кривизни

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5: Кривизна
- 5.2: Приливна кривизна проти кривизни, спричиненої місцевими

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Загальна відносність описує гравітацію як кривизну просторучасу, причому речовина виступає джерелом кривизни так само, як електричний заряд виступає джерелом електричних полів. Наша мета полягає в тому, щоб прийти до польових рівнянь Ейнштейна, які пов'язують локальну внутрішню кривизну з локальною навколишньою речовиною так само, як закон Гаусса пов'язує локальну розбіжність електричного поля з щільністю заряду. Місцевість рівнянь необхідна, оскільки відносність не має дії на відстані; причина і наслідок поширюються з максимальною швидкістю $c(= 1)$ .

Тверда частина приходить на правильний шлях визначення кривизни. Ми вже бачили, що буває складно відрізнити внутрішню кривизну, яка є реальною, від зовнішньої кривизни, яка ніколи не може спричинити спостережуваних ефектів. Наприклад, приклад 5 показав, що сфери мають внутрішню кривизну, тоді як циліндри - ні. Явно внутрішнє тензорне позначення захищає нас від введення в оману в цьому відношенні. Якщо сформулювати визначення кривизни, вираженої за допомогою тільки тензорів, які виражаються без прив'язки до будь-якої заздалегідь визначеної системи координат, то ми знаємо, що це фізично спостережувана, а не просто поверхнева особливість тієї чи іншої моделі.

Малюнок 5.0.1.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ - Очікувана структура польових рівнянь в загальній теорії відносності.

Як приклад, скиньте дві скелі пліч-о-пліч, рис. 5.0.2. Їх траєкторії вертикальні, але на $(t, x)$ координатному графіку, винесеному в систему відліку Землі, вони виглядають як паралельні параболи. Викривлення цих парабол є зовнішнім. Фіксована на Землі система відліку визначається спостерігачем, який піддається негравітаційним силам, і тому не є дійсним кадром Лоренца. У вільно падаючій рамці Лоренца дві скелі або нерухомі $(t', x')$ , або рухаються з постійною швидкістю по прямих лініях. Тому ми можемо бачити, що кривизна світових ліній у певній системі координат не є внутрішньою мірою кривизни; вона може виникнути просто з вибору системи координат. Те, що вказувало б на внутрішню кривизну, було б, наприклад, якби геодезики, які спочатку були паралельними, сходяться або розходяться.

Малюнок 5.0.2.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ - Дві скелі опускаються пліч-о-пліч. Викривлення їх світових ліній не є невід'ємними. У вільно падаючій рамці обидва виглядали б прямо. Якби спочатку паралельні світові лінії стали непаралельними, це було б свідченням внутрішньої кривизни.

Також метрика не є мірою внутрішньої кривизни. У прикладі 19 ми знайшли метрику для прискореного спостерігача

$g'_{t' t'} = (1 + ax')^{2} \qquad g_{x' x'} = -1,$

де прості числа вказують на кадр прискореного спостерігача. Той факт, що часоподібний елемент не дорівнює −1, не є ознакою внутрішньої кривизни. Вона виникає лише з вибору координат (t', x'), визначених рамкою, прив'язаною до прискорювального ракетного корабля.

Той факт, що вищевказана метрика має незникаючі похідні, на відміну від постійної метрики Лоренца, дійсно вказує на наявність гравітаційного поля. Однак гравітаційне поле - це не те саме, що внутрішня кривизна. Гравітаційне поле, яке бачить спостерігач на борту корабля, за принципом еквівалентності не відрізняється від прискорення, і справді Лоренціанський спостерігач у земному кадрі описує його як виникає внаслідок прискорення корабля, а не від гравітаційного поля, що пронизує весь простір. Обидва спостерігачі повинні погодитися з тим, що «я не отримав багато нічого» - що область Всесвіту, до якої вони мають доступ, не вистачає будь-яких зірок, нейтрино або хмар пилу. Спостерігач на борту корабля повинен описати гравітаційне поле, яке він виявляє, як виникає з якогось джерела дуже далеко, можливо, гіпотетичний величезний аркуш свинцю, що лежить мільярди світлових років на кормі палуб корабля. Така гіпотеза прекрасна, але вона не пов'язана зі структурою нашого сподіваного рівняння поля, яке має бути локальним за своєю природою.

Метричний тензор не тільки не представляє гравітаційне поле, але жоден тензор не може його представляти. За принципом еквівалентності будь-яке гравітаційне поле, яке бачить спостерігач А, може бути усунуто шляхом перемикання на кадр вільно падаючого спостерігача B, який миттєво перебуває у стані спокою щодо А в певний час. Структура закону тензорного перетворення гарантує, що A і B погодяться про те, чи є даний тензор нулем у точці простору-часу, де вони проходять один повз одного. Оскільки вони узгоджуються з усіма тензорами і не погоджуються з гравітаційним полем, гравітаційне поле не може бути тензором.

Тому ми робимо висновок, що ненульова внутрішня кривизна типу, яка повинна бути включена в рівняння поля Ейнштейна, не кодується будь-яким простим способом в метриці або її перших похідних. Оскільки ні метрика, ні її перші похідні не вказують на кривизну, ми можемо розумно припустити, що кривизна може бути закодована в її другій похідній.