4.E: Тензори (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77594

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Опишіть чотиришвидкісний фотон.
Великий адронний коллайдер призначений для прискорення протонів до енергій 7 ТеВ. Знайти 1 − v для такого протона.
Доведіть, що електрон у вакуумі не може поглинати фотон. (Це є причиною того, що здатність матеріалів поглинати гаммарайи сильно залежить від атомного номера Z. випадок Z = 0 відповідає вакууму.)
(а) Для об'єкта, що рухається по колу з постійною швидкістю, точковий добуток класичних трьох векторів v і a дорівнює нулю. Дайте інтерпретацію з точки зору теореми робота-кінетична енергія. (b) У випадку релятивістських чотирьох векторів, v ⁱ a _i = 0 для будь-якої світової лінії. Дайте подібне тлумачення. Підказка: знайдіть швидкість зміни квадратної величини чотирьох швидкостей.
Починаючи з координат (t, x), що мають метрику Лоренца g, перетворіть метричний тензор у відбиті координати (t', x') = (t, −x) і переконайтеся, що g' збігається з g.
Починаючи з координат (t, x), що мають метрику Лоренца g, перетворіть метричний тензор у координати, збільшені Лоренца (t', x '), і переконайтеся, що g' збігається з g.
Перевірте перетворення метрики, наведеної в прикладі 19.
Скептик стверджує, що експеримент Хафела-Кітінга можна правильно пояснити лише відносністю в кадрі, в якому земна вісь знаходиться в стані спокою. Доведіть математично, що це неправильно. Чи має значення, чи є рама інерційною?
Припустимо метрику g = діаг (+1, +1, +1). Що з наступного правильно виражає некомутативну властивість звичайного множення матриці?
Приклад 10 ввів море Дірака, існування якого мається на увазі два корені релятивістського відношення$E = \pm \sqrt{p^{2} + m^{2}}$. Доведіть, що імпульс Лоренца ніколи не перетворить позитивно-енергетичний стан в стан негативної енергії.
У розділі 4.2 ми знайшли релятивістський доплерівський зсув в розмірах 1+1. Розширте це до 3+1 вимірів і перевірте свій результат проти того, який дав Ейнштейн у Додатку А.
Оцініть енергію, що міститься в електричному полі електрона, якщо радіус електрона дорівнює r Класично (тобто, припускаючи відносність, але немає квантової механіки), ця енергія сприяє масі спокою електрона, тому вона повинна бути меншою за решту маси. Оцініть отриману нижню межу на r, яка відома як класичний радіус електронів.
Для гамма-променів в діапазоні МеВ найбільш частим режимом взаємодії з речовиною є Комптонне розсіювання, при якому фотон розсіюється електроном, не поглинаючись. Відкладається лише частина енергії гами, а величина пов'язана з кутом розсіювання. Використовуйте збереження чотирьох імпульсів, щоб показати, що в разі розсіювання при 180 градусах розсіяний фотон має енергію E' = E/ (1+2E/m), де m - маса електрона.
Вивести рівняння T =,$\sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$ наведене в розділі 4.4 для періоду обертового сферичного об'єкта, що призводить до нульової видимої сили тяжіння на його поверхні.
У розділі 4.4 представлена оцінка верхньої межі по масі білого карлика. Перевірте самоузгодженість розчину в наступних аспектах: (1) Чому справедливо ігнорувати внесок ядер у тиск виродження? (2) Хоча електрони ультрарелятивістські, просторовий час наближається як плоский. Як було запропоновано в прикладі 14, розумна перевірка на порядок величини цього результату полягає в тому, що ми повинні мати$\frac{M}{r} << \frac{c^{2}}{G}$.
Закони фізики в нашому Всесвіті мають на увазі, що для тіл з певним діапазоном мас нейтронна зірка є унікальним станом рівноваги. Припустимо, ми знали про існування нейтронних зірок, але не знали маси нейтрона. Виведіть верхню і нижню межі по масі нейтрона.
У прикладі 20 коротко представлений електромагнітний потенціал чотирьохвекторний F _ij, і це неявно визначає трансформаційні властивості електричного і магнітного полів під імпульсом Лоренца v. Для найнижчого порядку в v, це перетворення задається $$\ begin {split}\ textbf {E} '&\ приблизно\ textbf {E} +\ textbf {v}\ times\ textbf {B}\\ textbf {E}\ ldotp\ end {split} $$Я не історик науки, але, мабуть, близько 1905 осіб як Герц вважав, що це точні перетворення поля. ²¹ Покажіть, що це не може бути так, оскільки виконання двох таких перетворень поспіль загалом не призводить до перетворення тієї ж форми.
Ми знаємо про масивні частинки, вектори швидкості яких завжди лежать всередині майбутнього світлового конуса, і безмасових частинок, швидкості яких лежать на ньому. В принципі, ми могли б мати третій клас частинок, званих тахіонами, з космічними векторами швидкості. Тахіони мали б m ² < 0, тобто їх маси повинні бути уявними. Покажіть, що можна підібрати імпульс чотирьох-векторів p ₁ і p ₂ для пари тахіонів такий, що p ₁ + p ₂ = 0. Це означає, що вакуум буде нестабільним щодо спонтанного створення пар тахіон-антітахіон.

Посилання

²¹ Монтіньї і Руссо, arxiv.org/abs/фізика/0512200.