5.E: Викривлення (вправи)
- У прикладі 6 розглянуто деякі приклади в електростатиці, де щільність заряду на поверхні провідника залежить від гаусової кривизни, коли кривизна позитивна. У випадку ножа-кромки, утвореної двома півплощинами під зовнішнім кутомβ>π, є стандартний результат 29, що щільність заряду на краю здувається до нескінченності якRπβ−1. Чи збігається це з гіпотезою про те, що гаусова кривизна визначає щільність заряду?
- Показати, що для полярних координат в евклідовій площині,Γrϕϕ=−r іΓϕrϕ=1r.
- У розмірах 1+1 нехай метрика дорівнює ds 2 =1t dt 2 − t dθ2, де кут,θ що біжить по колу. Обчисліть всі незникаючі символи Крістоффеля вручну. Вони будуть використані в прикладі 4, де ми досліджуємо деякі подальші властивості цього цікавого простору-часу.
- Часткові похідні коммутують з частковими похідними. Коваріантні похідні не комутуються з коваріантними похідними. Чи коваріантні похідні комутують з частковими похідними?
- Показати, що якщо диференціальне рівняння задовольняється для одного афінного параметраλ, то воно також задовольняється для будь-якого іншого афінного параметраλ′=aλ+b, де a і b є константами.
- Рівняння [2] дає метрику з плоским простором часу в обертових полярних координатах. (a) Перевірте шляхом явних обчислень, що цей показник являє собою плоский простор-час. (b) Повторно висловіть метрику в обертових декартових координатах і перевірте свою відповідь, перевіривши, що тензор Рімана зникає.
- Мета цієї задачі полягає в дослідженні труднощів, притаманних знаходженню чого-небудь в загальній теорії відносності, що являє собою рівномірне гравітаційне поле g У прикладі 11 ми на основі елементарних аргументів про принцип еквівалентності і фотонів в елеваторах виявили, що гравітаційний час дилатація повинна бути задана e Φ, деΦ = gz - гравітаційний потенціал. Це призводить до метрики ds2=e2gzdt2−dz2 ldotp tag[1]З іншого боку, приклад 19 виведено метрику \boldsymbol{ds^ {2} = (1 + gz) ^ {2} dt^ {2} - dz^ {2}\ ldotp\ tag {2}]}}шляхом перетворення з кадру Лоренца на кадр, початок якого рухається з постійним належним прискоренням g. (Це відомий як координати Ріндлера.) Доведіть наступні факти. Жоден з обчислень не є настільки складним, що вимагає символічного математичного програмного забезпечення, тому ви можете спочатку виконати їх вручну, а потім перевірити себе на комп'ютері.
- Показники [1] та [2] приблизно відповідають один одному для z поблизу 0.
- Коли тестова частинка звільняється від спокою в будь-якому з цих показників, її початкове належне прискорення становить g.
- Ці дві метрики не зовсім еквівалентні один одному при будь-якій зміні координат.
- Обидва просторові часи є рівномірними в тому сенсі, що кривизна постійна. (В обох випадках це можна довести без явного обчислення тензора Рімана.)
Примітка
Несумісність між [1] і [2] можна інтерпретувати як показ того, що загальна відносність не допускає жодного простору-часу, який має всі глобальні властивості, які ми хотіли б для рівномірного гравітаційного поля. Це пов'язано з парадоксом космічного корабля Белла (приклад 15). Деякі подальші властивості метрики [1] аналізуються в розділі 7.5.
- У топологічному просторі T доповнення підмножини U визначається як множина всіх точок у T, які не є членами U. множина, доповнення якої відкрите, називається замкнутим. На реальному рядку наведіть (а) один приклад замкнутої множини та (б) один приклад множини, яка не є ні відкритою, ні закритою. (c) Наведіть приклад нерівності, яка визначає відкриту множину на раціональній числовій лінії, але замкнуту множину на дійсній.
- Доведіть, що подвійний конус (наприклад, поверхня r = z в циліндричних координатах) не є багатовидів.
- Доведіть, що тор - це різноманіття.
- Доведіть, що сфера не гомеоморфний для тора.
- Кривизна на рімановому просторі у 2-х вимірах - тема, яка сходить до Гаусса і має просту інтерпретацію: єдиною внутрішньою мірою кривизни є єдине число, гаусова кривизна. А як щодо розмірів 1+1? Найпростіші показники, про які я можу придумати, мають вигляд ds 2 = dt 2 − f (t) dx 2. (Щось на кшталт ds 2 = f (t) dt 2 −dx 2 очевидно еквівалентно простору Мінковського при зміні координат, тоді як ds 2 = f (x) dt 2 − dx 2 є таким же, як у оригінальному прикладі, за винятком того, що ми поміняли місцями x і t.) Граючи з простими прикладами, наштовхується на, здавалося б, таємничий факт, що метрика ds 2 = dt 2 −t 2 dx 2 плоска, тоді як ds 2 = dt 2 − tdx 2 - ні. Це, здається, вимагає деякого простого пояснення. Розглянемо метрику ds 2 = dt 2 − t pdx 2.
- Обчисліть символи Крістоффеля вручну.
- Використовуйте систему комп'ютерної алгебри, таку як Maxima, щоб показати, що тензор Річчі зникає лише тоді, коли p = 2.
Примітка
Пояснення полягає в тому, що у випадку p = 2 координата x розширюється пропорційно координаті t. Це можна інтерпретувати як ситуацію, в якій наша шкала довжини визначається решіткою тестових частинок, яка розширюється інерційно. Оскільки їх рух є інерційним, для пояснення спостережуваної зміни шкали довжини не потрібно ніяких гравітаційних полів; пор. Всесвіт Мілна.
Посилання
29 Джексон, Класична електродинаміка