5.7: Коваріантна похідна

У попередньому розділі ми змогли оцінити нетривіальний загальний релятивістський ефект, геодезичну прецесію гіроскопів на борту гравітаційного зонда B, аж до безодиничної константи 3$\pi$. Давайте подумаємо, які додаткові механізми знадобляться для того, щоб детально провести розрахунок, в тому числі і 3$\pi$.

Спочатку нам потрібно знати рівняння поля Ейнштейна, але у вакуумі це досить просто:

$$R_{ab} = 0.$$

Ейнштейн позиціонував це рівняння, по суті, виходячи з міркувань, викладених у розділі 5.1.

Але лише знання того, що певний тензор однаково зникає у просторі, що оточує землю, явно не говорить нам нічого чіткого про структуру простору-часу в цьому регіоні. Ми хочемо знати метрику. Як було запропоновано на початку глави, ми очікуємо, що перші похідні метрики дадуть величину, аналогічну гравітаційному полю ньютонівської механіки, але ця величина не буде безпосередньо спостережуваною, і не буде тензором. Другі похідні метрики - це ті, які, як ми очікуємо, стосуватимуться тензора Річчі$R_{ab}$.

Коваріантна похідна в електромагнетизмі

Ми говоримо безглуздо про похідні, але неочевидно, як визначити похідну в контексті загальної відносності таким чином, що прийняття похідної призводить до добре поведеного тензора.

Щоб побачити, як виникає це питання, давайте відступимо до більш звичної місцевості електромагнетизму. У квантовій механіці фаза хвильової функції зарядженої частинки не спостерігається, так що, наприклад, перетворення$\Psi \rightarrow − \Psi$ не змінює результатів експериментів. Як менш тривіальний приклад, ми можемо перевизначити землю нашого електричного потенціалу$\Phi \rightarrow \Phi + \delta \Phi$, і це додасть константу на енергію кожного електрона у Всесвіті, змушуючи їх фази коливатися з більшою швидкістю через квантово-механічне відношення

$$E = hf.$$

Однак немає спостережуваних наслідків, оскільки те, що можна спостерігати, - це фаза одного електрона відносно іншого, як у експерименті з подвійною щілиною інтерференції. Оскільки кожен електрон був змушено коливатися швидше, ефект просто схожий на те, що диригент оркестру швидше розмахує її естафету; кожен музикант все ще йде в ногу з кожним іншим музикантом. Швидкість зміни хвильової функції, тобто її похідної, має деяку вбудовану неоднозначність.

Малюнок$\PageIndex{1}$ - Двощілинний експеримент з електронами. Якщо додати довільну константу до потенціалу, ніяких спостережуваних змін не результат. Довжина хвилі скорочується, але відносна фаза двох частин хвиль залишається однаковою.

Для простоти давайте тепер обмежимося спин-нульовими частинками, оскільки деталі поляризації електронів явно не скажуть нам нічого корисного, коли ми проводимо аналогію з відносністю. Для частинки спін-нуль хвильова функція - це просто комплексне число, і ніяких спостережуваних наслідків, що виникають при перетворенні

$$\Psi \rightarrow \Psi' = e^{i \alpha} \Psi$$

де$\alpha$ константа. Перетворення$\Phi \rightarrow \Phi + \delta \Phi$ також допускається, і воно дає$\alpha (t) = (\frac{q \delta \Phi}{\hbar})t$, так що фазовий фактор e ^{i$\alpha$ (t)} є функцією часу$t$. Тепер, з точки зору електромагнетизму в епоху Максвелла, коли електричні та магнітні поля, які уявляються відіграючими свою роль на тлі евклідового простору та абсолютного часу, форма цього залежного від часу фазового фактора дуже особлива і симетрична; вона залежить лише від абсолютного часу. змінна. Але для релятивіста немає нічого дуже приємного в цій функції взагалі, тому що немає нічого особливого в часовій координаті. Якщо ми збираємося дозволити функцію цієї форми, то на основі координатно-інваріантності відносності, здається, що ми, ймовірно, повинні дозволити α бути будь-якою функцією на всіх координатах простору-часу. Правильне узагальнення$\Phi \rightarrow \Phi - \delta \Phi$ тепер A _{b → A b} −$\partial_{b} \alpha$, де A _b - електромагнітний потенціал чотирьох-вектор (розділ 4.2).

Малюнок$\PageIndex{2}$ - Дві хвильові функції з постійними довжинами хвиль, і третина зі змінною довжиною хвилі. Жодне з них не є фізично помітним, за умови, що однакова зміна довжини хвилі застосовується до всіх електронів у Всесвіті в будь-якій заданій точці просторучасу. Немає навіть однозначного способу вибрати третій як той, який має різну довжину хвилі. Ми могли б вибрати інший датчик, в якому третя хвиля була єдиною з постійною довжиною хвилі.

Вправа$\PageIndex{1}$

Самоперевірка: Припустимо, що ми сказали, що$\alpha$ дозволимо бути функцією t, але забороняємо їй залежати від просторових координат. Доведіть, що це порушить інваріантність Лоренца.

Перетворення не впливає на електромагнітні поля, які є прямими спостережуваними. Ми також можемо перевірити, що зміна датчика не вплине на спостережувану поведінку заряджених частинок. Це пояснюється тим, що фазу хвильової функції можна визначити лише відносно фази хвильової функції іншої частинки, коли вони займають одну і ту ж точку в просторі і, наприклад, заважають. Так як зсув фаз залежить тільки від місця розташування в просторічасу, зміни відносної фази не відбувається.

Але погані речі відбудуться, якщо ми не зробимо відповідного коригування похідних, що з'являються у рівнянні Шредінгера. Ці похідні, по суті, є операторами імпульсу, і вони дають різні результати при застосуванні до$\Psi'$, ніж при застосуванні до$\Psi$:

$$\begin{split} \partial_{b} \Psi &\rightarrow \partial_{b} (e^{i \alpha} \Psi) \\ &= e^{i \alpha} \partial_{b} \Psi + i \partial_{b} \alpha (e^{i \alpha} \Psi) \\ &= (\partial_{b} + A'_{b} - A_{b}) \Psi' \end{split}$$

Щоб уникнути неправильних результатів, ми повинні зробити заміну$\partial_{b} \rightarrow \partial_{b} + ieA_{b}$, де термін корекції компенсує зміну калібру. Викликаємо оператора,$\nabla$ визначеного як

$$\nabla_{b} = \partial_{b} + ieA_{b}$$

коваріантна похідна. Він дає правильну відповідь незалежно від зміни калібру.

Коваріантна похідна в загальній теорії відносності

Тепер розглянемо, як все це розігрується в контексті загальної теорії відносності. Калібрувальні перетворення загальної відносності - це довільні плавні зміни координат. Однією з найбільш основних властивостей, яку ми могли б вимагати від оператора похідної, є те, що він повинен дати нуль на постійній функції. Постійна скалярна функція залишається постійною, коли вона виражена в новій системі координат, але те ж саме не вірно для постійної векторної функції або для будь-якого тензора вищого рангу. Це пов'язано з тим, що зміна координат змінює одиниці, в яких вимірюється вектор, і якщо зміна координат нелінійна, одиниці змінюються від точки до точки.

$\PageIndex{2}$Перемикання малюнка з одного набору координат на інший не впливає на будь-які експериментальні спостережувані. Це просто вибір калібру.

Розглянемо одновимірний випадок, в якому вектор v ^a має тільки один компонент, і метрика також одне число, так що ми можемо опустити індекси і просто написати v і g. (Ми просто повинні пам'ятати, що v дійсно коваріантний вектор, хоча ми залишаємо з верхнього індексу.) Якщо v постійна, то її похідна$\frac{dv}{dx}$, обчислена звичайним способом без жодного коригувального терміну, дорівнює нулю. Якщо ми далі припустимо, що координата x є нормальною координатою, так що метрика є просто постійною g = 1, то нуль - це не просто відповідь, а правильна відповідь. (Існування кращої, глобальної множини нормальних координат є особливістю одновимірного простору, тому що немає кривизни в одному вимірі. У більш ніж одному вимірі зазвичай не буде можливого набору координат, в яких метрика є постійною, а нормальні координати дають лише метрику, яка є приблизно постійною по сусідству навколо певної точки. Див. Рис. 5.3.7 для прикладу нормальних координат на сфері, які не мають постійної метрики.)

Тепер припустимо, ми перетворимо на нову систему координат X, яка не є нормальною. Метрика G, виражена в цій системі координат, не є постійною. Застосовуючи закон тензорного перетворення, ми маємо$V = v \frac{dX}{dx}$, і диференціація по X не дасть нуля, тому що коефіцієнт$\frac{dX}{dx}$ не постійний. Це неправильна відповідь: V насправді не змінюється, він просто, здається, змінюється, тому що G робить.

Ми хочемо додати корекційний термін до похідного оператора$\frac{d}{dX}$, утворюючи коваріантний оператор похідної$\nabla_{X}$, що дає правильну відповідь. Цей коригувальний термін легко знайти, якщо врахувати, яким повинен бути результат при диференціації самої метрики. Загалом, якщо тензор, здається, змінюється, він може змінюватися або тому, що він дійсно змінюється, або тому, що показник змінюється. Якщо сама метрика змінюється, це може бути або тому, що метрика дійсно змінюється, або.. тому що метрика змінюється. Іншими словами, немає розумного способу призначити ненульову коваріантну похідну самій метриці, тому ми повинні мати$\nabla_{X}$ G = 0. Отже, необхідна корекція полягає у$\frac{d}{dX}$ заміні на

$$\nabla_{X} = \frac{d}{dX} - G^{-1} \frac{dG}{dX} \ldotp$$

Застосування цього до G дає нуль. G - контраваріантний тензор другого рангу. Якщо застосувати ту ж корекцію до похідних інших контраваріантних тензорів другого рангу, ми отримаємо ненульові результати, і вони будуть правильними ненульовими результатами. Наприклад, коваріантна похідна тензора стрес-енергії Т (припускаючи, що така річ може мати деяке фізичне значення в одному вимірі!) буде$\nabla_{X} T = \frac{dT}{dX} − G^{-1} (\frac{dG}{dX})T$.

Фізично термін корекції є похідною від метрики, і ми вже бачили, що похідні метрики (1) є найближчим, що ми отримуємо в загальній відносності до гравітаційного поля, і (2) не тензори. У розмірах 1+1, припустимо, ми спостерігаємо, що вільно падаюча скеля має$\frac{dV}{dT}$ = 9,8 м/с ². Це прискорення не може бути тензором, тому що ми могли б змусити його зникнути, змінивши від Earthfixed координати X до вільно падаючих (нормальних, локально Лоренціанських) координат x, і тензор не може бути змушена зникнути зміною координат. За словами спостерігача, що вільно падає, вектор v взагалі не змінюється; це лише зміна метрики G спостерігача із фіксованою Землею, яка змушує його змінюватися.

Математично форма похідної є$(\frac{1}{y}) \frac{dy}{dx}$, яка відома як логарифмічна похідна, так як вона дорівнює$\frac{d(\ln y)}{dx}$. Він вимірює мультиплікативну швидкість зміни y. Наприклад, якщо y збільшується в рази k при збільшенні x на 1 одиницю, то логарифмічна похідна y дорівнює ln k. Логарифмічна похідна e ^cx дорівнює c. Логарифмічний характер коригувального терміна to$\nabla_{X}$ є хорошим річ, тому що це дозволяє нам приймати зміни масштабу, які є мультиплікативними змінами, і перетворювати їх в адитивні виправлення до похідного оператора. Аддитивність поправок необхідна, якщо результат коваріантної похідної повинен бути тензором, оскільки тензори є адитивними істотами.

Як щодо величин, які не є коваріантними тензорами другого рангу? При зміні масштабу контраваріантних координат на множник k коваріантні вектори масштабуються на k ⁻¹, а коваріантні тензори другого рангу на k ⁻². Тому термін корекції повинен бути вдвічі меншим для коваріантних векторів,

$$\nabla_{X} = \frac{d}{dX} - \frac{1}{2} G^{-1} \frac{dG}{dX} \ldotp$$

і повинен мати протилежний знак для контраваріантних векторів.

Узагальнюючи термін корекції до похідних векторів в більш ніж одному вимірі, ми повинні мати щось такого вигляду:

$$\begin{split} \nabla_{a} v^{b} &= \partial_{a} v^{b} + \Gamma^{b}_{ac} v^{c} \\ \nabla_{a} v_{b} &= \partial_{a} v_{b} - \Gamma^{c}_{ba} v_{c}, \end{split}$$

де$\Gamma^{b}_{ac}$, званий символом Крістоффеля, не трансформується як тензор, а включає в себе похідні метрики. («Крістоффель» вимовляється «Кріст-жахливий», з наголосом на середньому складі.) Явний розрахунок символів Крістоффеля з метрики відкладається до розділу 5.9, але проміжні розділи 5.7 і 5.8 можна опустити при першому читанні без втрати безперервності.

Важливим є те, що коли ми оцінюємо певний компонент коваріантної похідної$\nabla_{2} v^{3}$, наприклад, результат може бути ненульовим, навіть якщо компонент v ³ зникає однаково. Це можна побачити на прикладі 5 і прикладі 21.

Приклад 9: Символи Крістоффеля на земній кулі

Як якісний приклад розглянемо геодезичну траєкторію літака, показану на малюнку 5.6.4, від Лондона до Мехіко. У фізиці прийнято працювати з широтою$\theta$, виміряної вниз від північного полюса, а не широтою, виміряної від екватора. На P, над Північною Атлантикою, широта літака має мінімум. (Ми бачимо, не беручи це на віру з фігури, що такий мінімум повинен відбутися. Найпростіший спосіб переконати себе в цьому - розглянути шлях, який йде безпосередньо через полюс, при$\theta$ = 0.)

Малюнок$\PageIndex{4}$

На P вектор швидкості літака вказує прямо на захід. На Q, над Новою Англією, його швидкість має велику складову на південь. Оскільки шлях є геодезичним, а площина має постійну швидкість, вектор швидкості просто паралельно транспортується; коваріантна похідна вектора дорівнює нулю. Оскільки у нас є v _$\theta$= 0 в P, єдиний спосіб пояснити ненульове і додатне значення$\partial_{\phi} v^{\theta}$ є те, що у нас є ненульове і від'ємне значення$\Gamma^{\theta}_{\phi \phi}$.

За симетрії ми можемо зробити висновок, що$\Gamma^{\theta}_{\phi \phi}$ має мати позитивне значення в південній півкулі, і повинні зникати на екваторі.

$\Gamma^{\theta}_{\phi \phi}$обчислюється в прикладі 10.

Симетрія також вимагає, щоб цей символ Крістоффеля був незалежним від$\phi$, і він також повинен бути незалежним від радіуса сфери.

Приклад 9 знаходиться в двох просторових вимірах. У просторовому часі,$\Gamma$ по суті, гравітаційне поле (див. Задача 7), і ранні статті в теорії відносності по суті посилаються на нього таким чином. ⁹ Це може здатися радісним возз'єднанням з нашим старим другом з механіків першокурсників, g = 9.8 м/с Але наш старий друг змінився. У ньютонівській механіці прискорення, такі як g, є інваріантними (враховуючи лише інерційні кадри, які є єдиними законними в цій теорії). Взагалі відносність вони залежні від кадру, і як ми бачили раніше, прискорення гравітації можна зробити рівним всьому, що нам подобається, виходячи з нашого вибору системи відліку.

Щоб обчислити коваріантну похідну тензора вищого рангу, ми просто додаємо більше коригувальних термінів, наприклад,

$$\nabla_{a} U_{bc} = \partial_{a} U_{bc} - \Gamma^{d}_{ba} U_{dc} - \Gamma^{d}_{ca} U_{bd}$$

або

$$\nabla_{a} U_{b}^{c} = \partial_{a} U_{b}^{c} - \Gamma^{d}_{ba} U_{d}^{c} + \Gamma^{c}_{ad} U_{b}^{d} \ldotp$$

При частковій$\partial_{\mu}$ похідній немає сенсу використовувати метрику для підняття індексу і форми$\partial^{\mu}$. Це має сенс робити це з коваріантними похідними, так само$\nabla^{a} = g^{ab} \nabla_{b}$ є правильною ідентичністю.

Кома, крапка з комою та позначення пташиних доріжок

Деякі автори використовують надскрипти з комами і крапками з комою для позначення часткових і коваріантних похідних. Наступні рівняння дають еквівалентні позначення для одних і тих же похідних:

$$\partial_{\mu} X_{\nu} = X_{\nu,\; \mu}$$

$$\nabla_{a} X_{b} = X_{b;a}$$

$$\nabla^{a} X_{b} = X_{b}^{;a}$$

На малюнку 5.6.5 показані два приклади відповідних позначень пташиних слідів. Оскільки пташині доріжки мають бути явно незалежними від координат, вони не мають способу вираження нековаріантних похідних. Ми більше не хочемо використовувати коло як позначення для нековаріантного градієнта, як ми це робили, коли ми вперше представили його в розділі 2.1.

Посилання

⁹ «Про гравітаційне поле точкової маси відповідно до теорії Ейнштейна», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1 (1916) 189, перекладено на arxiv.org/abs/physics/9905030v1.