5.13: Одиниці загальної відносності

Аналіз одиниць, також відомий як аналіз розмірів, є одним з перших речей, які ми дізнаємося у фізиці першокурсників. Це корисний спосіб перевірки нашої математики, і здається, що це повинно бути простим, щоб розширити техніку до відносності. Це, звичайно, можна зробити, але це не так тривіально, як можна було б уявити, і це призводить до деяких дивовижних нових фізичних ідей.

Однією з наших найпоширеніших завдань є перехід від одного набору одиниць до іншого, але в теорії відносності стає нетривіальним визначити, що ми маємо на увазі під поняттям, що наші одиниці виміру змінюються або не змінюються. Ми могли б, наприклад, звернутися до атомного стандарту, але Діке ²⁴ вказує, що це може бути проблематично. Уявіть, каже він, що

... вам каже космічний мандрівник, що атом водню на Сіріусі має такий же діаметр, як і той, що на землі. Думка кількох моментів переконає вас, що твердження є або визначенням, або інакше безглуздим.

Для початку відзначимо, що абстрактне позначення індексу зручніше конкретних індексних позначень для цих цілей. Конкретне позначення індексу призначає різні одиниці виміру різним компонентам тензора, якщо ми використовуємо координати, такі як сферичні координати (t, r,$\theta, \phi$), які не всі мають одиниці довжини. У абстрактних індексних позначеннях символ на кшталт v ⁱ позначає весь вектор, а не одну з його складових.

У конкретних позначеннях індексу також не обов'язково має сенсу говорити про масштабування. Наприклад, для полярних координат в евклідовій площині перетворення (r,$\theta$) → (2r, 2$\theta$) не має жодної цікавої інтерпретації і навіть не може бути застосовано глобально. У абстрактних позначеннях індексу, ми можемо сказати v ^{i → 2v i}, і це просто означає, що вектор v ⁱ був збільшений у 2 рази.

Оскільки абстрактне позначення індексу навіть не пропонує нам позначення для компонентів, якщо ми хочемо застосувати розмірний аналіз, ми повинні визначити систему, в якій одиниці приписуються тензору в цілому. Припустимо, ми запишемо абстрактно-індексну форму рівняння для належного часу:

$$ds^{2} = g_{ab} dx^{a} dx^{a}$$

У абстрактних позначеннях індексу dx ^a не означає нескінченно малу зміну певної координати, це означає нескінченно малий вектор зміщення. ²⁵ Це рівняння має одну величину зліва і три множники праворуч. Припустимо, ми присвоюємо цим частинам рівняння одиниці [ds] = L ^$\sigma$, [g _ab] = L ^2$\gamma$, а [dx ^a] = [dx ^b] = L ^$\xi$, де квадратні дужки означають «одиниці», а L - одиниці довжини. У нас тоді є$\sigma = \gamma + \xi$. Через згадані вище неоднозначності ми можемо вибрати будь-які значення, які нам подобаються для цих трьох констант, якщо вони підкоряються цьому правилу. Я вважаю, що$(\sigma, \gamma, \xi)$ = (1, 0, 1) природним і зручним, але Діке, у згаданому вище папері, любить (1, 1, 0), тоді як математик Террі Тао виступає (0, 1, ± 1).

Припустимо, ми піднімаємо та опускаємо індекси, щоб сформувати тензор з r верхніми індексами та нижніми індексами s Ми називаємо це тензором рангу (r, s). (Ми не рахуємо контрактні індекси, наприклад, u ^a v _a - це ранг- (0, 0) скаляр.) Оскільки метрика є інструментом, який ми використовуємо для підвищення та зниження індексів, а одиницями нижчого індексу форми метрики є L ^2$\gamma$, то з цього випливає, що одиниці змінюються пропорційно L ^{$\gamma$(s−r)}. Загалом, можна призначити одиниці фізичної величини L ^u, які є добутком двох факторів: «кінематичний» або чисто геометричний коефіцієнт L ^k, де k =$\gamma$ (s − r), і динамічний коефіцієнт L ^d., який може залежати від того, яка величина і де. вказує на те, що якщо ваша система одиниць має більше одного базового блоку, вони можуть бути там, а також. Dicke використовує одиниці з$\hbar$ = c = 1, наприклад, тому існує лише одна базова одиниця, а маса має одиниці зворотної довжини та d _маси = −1. У загальній теорії відносності було б частіше використовувати одиниці, в яких G = c = 1, які замість цього дають d _масу = +1.

Примітка

Сучасний і суворий розвиток диференціальної геометрії за цими напрямками див. Новік і Кац, arxiv.org/abs/1405.0984.

Приклад 24: Одиниці імпульсу

Розглянемо рівняння

$$p^{a} = mv^{a}$$

для імпульсу матеріальної частинки. Припустимо, ми використовуємо спеціальнірелятивістські одиниці, в яких c = 1, але оскільки гравітація не включена в теорію, G не грає особливої ролі, і природно використовувати систему одиниць, в якій є базова одиниця маси М.

Кінематичні одиниці перевіряють, тому що k _p = k _m + k _v:

$$\gamma (-1) = \gamma (0) + \gamma (-1)$$

Це лише питання підрахунку індексів, і гарантовано перевіряти до тих пір, поки індекси були записані граматичним способом з обох сторін рівняння. Те, що ця перевірка по суті говорить нам, що якби ми встановили координати Мінковського в районі якоїсь точки, і зробити зміну координат (t, x, y, z) → ($\alpha$t,$\alpha$ x,$\alpha$ y,$\alpha$ z), то величини з обох сторін рівняння змінювалися б під тензором закони перетворення за тим же показником α. Наприклад, якби ми змінилися з метрів на сантиметри, рівняння все одно залишалося б дійсним.

Для динамічних одиниць припустимо, що ми використовуємо$(\sigma, \gamma, \xi)$ = (1, 0, 1), так що нескінченно мале переміщення dx ^a має одиниці довжини L, як і належний час ds. Ці дві величини є чисто кінематичними, тому ми не привласнюємо їм ніяких динамічних одиниць, і тому вектор швидкості$v^{a} = \frac{dx^{a}}{ds}$ також не має динамічних одиниць. Наш вибір системи одиниць дає [m] = M. Ми вимагаємо, щоб рівняння p ^a = mv ^a мали динамічні одиниці, які перевіряють, так:

$$M = 1 \cdot M$$

Ми також повинні призначити одиниці маси імпульсу.

Система, майже ідентична цій, але з різною термінологією, дається Шаутеном. ²⁶

Для практичних цілей при перевірці одиниць рівняння ми бачимо з прикладу 24, що занепокоєння кінематичними одиницями є марною тратою часу, поки ми перевірили, що індекси є граматичними. Тому ми можемо дати спрощений метод, який достатньо для перевірки одиниць будь-якого рівняння в абстрактних індексних позначеннях.

1. Ми призначаємо тензору ті ж одиниці, що і один з його конкретних компонентів, якби ми прийняли (локальні) координати Мінковського, в системі з$(\sigma, \gamma, \xi)$ = (1, 0, 1). Це одиниці, які ми автоматично поставили б йому після вивчення спеціальної відносності, але перед тим, як дізнатися про тензори або фантазії перетворення координат. Оскільки$\gamma$ = 0, позиції індексів не впливають на результат.
2. Одиниці суми такі ж, як і одиниці термінів.
3. Одиниці тензорного добутку є добутком одиниць факторів.

Наше розбиття одиниць на кінематичні та динамічні частини можна зрозуміти як виникає природно з наступних геометричних та фізичних міркувань. У розділі 3.2 ми ввели поняття зв'язку, яке є правилом, яке пов'язує тензори, що живуть в одній локальній області простору-часу, з тензорами в іншому регіоні, залежно від шляху, який використовується для паралельного транспорту. Зв'язок конкретно втілюється в символах Крістоффеля, і нам це потрібно для того, щоб визначити розумні похідні векторів, тому що в іншому випадку нам не вистачає інформації, необхідної для того, щоб визначити, чи є вектор насправді постійним, і лише змінюючи його складові через те, як є система координат. визначено. З'єднання і метрика втілюють багато однієї і тієї ж геометричної інформації. Якщо ми знаємо метрику, ми завжди можемо знайти з'єднання (розділ 5.9).

Тоді ми могли б, природно, запитати, чи можна йти в іншому напрямку. З огляду на зв'язок, чи можемо ми знайти метрику? Але це явно не так, тому що з'єднання не несе ніякої інформації про одиниці виміру, тоді як метрика це робить. Насправді, якщо метрика g призводить до певного зв'язку$\Gamma$, то так само буде і метрика$\Omega^{2}$ g, де$\Omega$ реальна константа. ²⁷ Один із способів мислення про перетворення g →$\Omega^{2}$ g полягає в тому, що у виразі ds ² = g _ab dx ^{a dx a} для належного часу ми масштабуємо будь-який годинник читання s в множник$\Omega$. Це допомагає пояснити перевагу Діке до конвенції$(\sigma, \gamma, \xi)$ = (1, 1, 0), згідно з якою одиниці приписуються ds і g, тоді як вектори вважаються безроздільними. Ще однією перевагою цієї системи є те, що вона може бути адаптована до конкретних позначень індексу, оскільки ми просто оголошуємо координати безіменними іменами для точок.

Примітка

Якщо ми помножимо g на від'ємну константу, то ми змінимо підпис, наприклад, з +−−− на −+++. Зміна підпису була б особливо тупим в контексті ріманової геометрії, де прийнято мати позитивно-визначену метрику.

Наступна таблиця узагальнює фактори, за допомогою яких змінюються різні величини при масштабуванні метрики нижчого індексу та масштабування локальних координат Мінковського x ^$\mu$. Як і вище, r - кількість верхніх індексів і s число нижніх індексів. Записи в більш світлому тексті випливають з більш загального правила. Мономіал кривизни порядку p - це вираз, утворений з множення p-тензорів кривизни, можливо з скороченими індексами.

	$$g_ {ab}\ стрілка вправо\ Омега^ {2} g_ {ab}$$	$$x^ {\ mu}\ стрілка вправо\ альфа x^ {\ mu}$$
г	$$\ Омега^ {с-р}$$	$\ колір тексту {сірий} {\ alpha^ {s-r}} $$
тензорна щільність рангу (r, s) і вага w		$\ альфа ^ {2w+р-с} $$
$$\ Гамма^ {a} _ {bc}$$	1	$$\ альфа^ {-1}$$
мономіал кривизни порядку p	$$\ Омега^ {с-р-2p}$$	$\ колір тексту {сірий} {\ alpha^ {s-r}} $$

Має сенс, що масштабування метрики не змінює символів Крістоффеля, оскільки це не змінює з'єднання або координати, а тому не повинно змінювати геодезичне рівняння. Перевірка інших записів у таблиці - хороша вправа.

Приклад 25. Зміна підпису

Припустимо, що ми змінимо підпис метрики з + − −− на − + ++ або навпаки. Хоча позначення$\Omega^{2}$ мали на увазі, що підпис метрики не буде змінений, нічого не піде не так в логіці, якщо взяти$\Omega^{2}$ = −1. Згідно з таблицею, нижча індексна форма метрики, з (r, s) = (0, 2) змінюється на коефіцієнт −1, що ми і поставили собі за мету зробити. Поліном кривизни порядку p змінюється на множник (−1) ^p. Як конкретний приклад, космологічна модель, в якій домінує космологічна константа (розділ 8.2), має скаляр Річчі R = −12λ у сигнатурі + − −−, що використовується у цій книзі, але R = +12λ у сигнатурі − + ++.

Приклад 26: Скаляри кривизни для метрики Годля

Скаляр Річчі R = R ^_a є мономіалом кривизни порядку 1. Оскільки це релятивістський скаляр, його значення є інваріантним при зміні координат. Скаляр, побудований таким чином з тензора кривизни, називається скаляром кривизни. У описаній вище системі це мономіал кривизни порядку 1, і це тензор рангу (0, 0). Це чистий тензор, тобто це тензорна щільність тільки в тривіальному сенсі, що має вагу w = 0.

Інваріант Кречмана K = R ^abcd R _abcd, більш детально розглянутий у розділі 6.3, є мономіалом кривизни порядку 2, з властивостями, які інакше подібні до перерахованих вище для скаляра Річчі.

Щоб мати конкретний приклад, про який можна поговорити, розглянемо метрику

$$ds^{2} = dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} + \frac{1}{2} e^{2x} dz^{2} - 2e^{x} dz dt \ldotp$$

Це історично і філософськи важлива метрика Геделя, розглянута в розділі 8.2. Обчислення за допомогою Maxima дає R = 1 (+ − −− підпис) і K = 3. (Той факт, що обидва вони є постійними, показує, що просторовийчас дуже симетричний, хоча це не проявляється, коли метрика виражається в цих координатах.) Припустимо, що ми повторно калібруємо наші годинники, щоб використовувати різні одиниці, змінюючи метрику вище відповідно до ds ² →$\Omega^{2}$ ds ². Тоді застосування правил, наведених в таблиці, говорить нам, що R =$\Omega^{-2}$ і K = 3$\Omega^{−4}$.

Щоб завершити наше обговорення цього підходу, ми точніше констатуємо взаємозв'язок між метрикою та зв'язком. З огляду на метрику, існує унікальне з'єднання без кручення. Враховуючи з'єднання без кручення, може існувати або не існувати метрика, яка породжує це з'єднання. Якщо така метрика дійсно існує, то за винятком виняткових випадків, ця метрика є унікальною аж до ненульової мультиплікативної константи. Причина унікальності метрики аж до постійного коефіцієнта полягає в наступному. Припустимо, ми фіксуємо метрику в одній точці на нашому колекторі. Потім, використовуючи з'єднання, ми можемо паралельнотранспортувати метричний тензор в інші точки на колекторі, так що визначення його в одній точці має ефект визначення його скрізь. Але може бути і брак узгодженості, оскільки паралельний транспорт залежить від шляху. Зокрема, якщо ми транспортуємо метрику навколо замкнутого циклу, ми хочемо відновити початкову метрику. Цієї вимоги щодо узгодженості зазвичай достатньо, щоб виключити будь-яку свободу у визначенні метрики поза глобальним коефіцієнтом масштабування. Більш повне лікування цієї проблеми дає Шмідт. ²⁸

Цікавим винятковим випадком є плоский простор часу. Оскільки немає кривизни, паралельний транспорт навколо замкнутого циклу ніколи не змінює метрику, тому вимога узгодженості автоматично задовольняється, і ми наша свобода у виборі метрики більше, ніж просто здатність масштабувати константою. Зокрема, деякі автори вирішили не використовувати натуральні одиниці, так що замість g = diag (1, −1, −1) у декартових координатах є g = diag (c ², −1, −1, −1). У підході, де зміна одиниць представлена зміною координат, ця зміна метрики може бути представлена (t, x, y, z) → ($\frac{t}{c}$, x, y, z). Але в конвенції, за якою слідує Діке, ми б взяли координати, щоб бути незмінними мітками для точок, і це насправді були б фізично різні показники, з різними світловими конусами.

Подібним прикладом у рімановому контексті є евклідова площина, в якій (тривіальне) з'єднання узгоджується з будь-якою метрикою форми, наведеної в прикладі 9.

Нарешті, зауважимо, що може бути цікаво узагальнити перетворення g →$\Omega^{2}$ g так, що$\Omega$ може змінюватися від точки до точки. Це називається конформним перетворенням. Конформні перетворення можуть використовуватися для різних цілей, включаючи нетривіальну фізику (як у статті Діке) та методи візуалізації (розділ 7.3).

Посилання

²⁴ «Принцип Маха та інваріантність при перетворенні одиниць» Phys Rev 125 (1962) 2163

²⁶ Тензорний аналіз для фізиків, гл. VI

²⁸ проектів uclid.org/euclid.cmp/1103858479