5.3: Тензор енергії стресу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77763

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Загалом, кривизна просторучасу буде містити вклади як приливних сил, так і місцевих джерел, накладених один на одного. Щоб розробити правильну формулювання для рівнянь поля Ейнштейна, нам потрібно усунути приливну частину. Грубо кажучи, ми зробимо це, усереднивши кривизну перерізу по всіх трьох площинам\(t−x\)\(t−y\), і\(t−z\), давши міру кривизни називається кривизною Річчі. «Грубо кажучи» полягає в тому, що такий рецепт буде розглядати координати часу та простору надзвичайно асиметрично, що порушить локальну інваріантність Лоренца.

Щоб отримати уявлення про те, як це буде працювати, давайте порівняємо з ньютонівським випадком, де дійсно існує асиметрія між лікуванням часу і простору. У картанової теорії вигнутого простору-часу ньютонівської гравітації (глава 2) рівняння поля має своєрідну скалярну кривизну Річчі з одного боку, а з іншого боку - щільність маси, яка також є скалярною. Однак у відносності вихідним терміном у рівнянні явно не може бути скалярною щільністю маси. Ми знаємо, що маса та енергія еквівалентні за відносністю, тому, наприклад, кривизна простору-часу навколо Землі залежить не тільки від маси її атомів, але і від усіх інших форм енергії, які вона містить, таких як теплова енергія та електромагнітна та ядерна енергія зв'язку. Чи може джерельний термін у рівняннях поля Ейнштейна бути масовою енергією E? Ні, тому що Е є лише часовим компонентом імпульсу частинки чотири-вектора. Виділити це порушило б інваріантність Лоренца так само, як асиметрична обробка часу та простору при побудові міри кривизни Річчі. Щоб отримати належним чином інваріантну теорію Лоренца, нам потрібно знайти спосіб сформулювати все з точки зору тензорних рівнянь, які не роблять явних посилань на координати. Правильне узагальнення ньютонівської щільності маси в теорії відносності - тензор стрес-енергії T ^ij, 16 елементів якого вимірюють локальну щільність масової енергії і імпульсу, а також швидкість перенесення цих величин в різних напрямках. Якщо нам трапиться знайти систему відліку, в якій місцева речовина знаходиться в стані спокою, то\(T^{tt}\) представляє щільність маси. Причина слова «наголос» в назві полягає в тому, що, наприклад, потік х-імпульсу в напрямку х є мірою тиску.

Для цілей цієї дискусії не потрібно вводити явне визначення T; справа лише в тому, що ми повинні очікувати, що рівняння поля Ейнштейна будуть тензорними рівняннями, що говорить нам, що визначення кривизни, яке ми шукаємо, має бути тензором 2 рангу, а не скаляром. Наслідки в чотиривимірному просторовічасу досить складні. Ми закінчимо тензором рангу 4, який вимірює секційну кривизну, і тензор Річчі 2 рангу, отриманий від нього, який усереднює приливні ефекти. Потім польові рівняння Ейнштейна певним чином пов'язують тензор Річчі з тензором енергії-імпульсу. Тензор напруження-енергія розглядається далі в розділі 8.1.