5.2: Приливна кривизна проти кривизни, спричиненої місцевими

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5.1: Вступ до кривизни
- 5.3: Тензор енергії стресу

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Подальшим ускладненням є необхідність відрізняти приливну кривизну від кривизни, викликаної місцевими джерелами. $\PageIndex{1}$ На малюнку зображена комета Шумейкер-Леві, розбита на низку фрагментів приливними силами Юпітера незадовго до її вражаючого впливу з планетою в 1994 році. Відразу після кожного перелому щойно відокремлені шматки мали майже нульову швидкість відносно один одного, тому, як тільки комета закінчила розбиватися, світові лінії фрагментів представляли собою сніп майже паралельних ліній, розділених просторовими відстанями лише 1 км. Ці спочатку паралельні геодезичні потім розійшлися, врешті-решт розвіянившись, щоб охопити мільйони кілометрів.

Малюнок 5.1.1.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Приливні сили зривають комету Шумейкер-Леві.

Якщо спочатку паралельні лінії втрачають свою паралельність, це явно свідчить про внутрішню кривизну. Ми називаємо це мірою поперечної кривизни, тому що втрата паралелізму відбувається всередині певної площини, в даному випадку $(t, x)$ площині, представленої малюнком $\PageIndex{2}$ .

Малюнок 5.1.2.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : Приливні сили змушують спочатку паралельні світові лінії уламків розходитися. Простір часу, який займає комета, має внутрішню кривизну, але вона не викликана будь-якою місцевою масою; це викликано віддаленою масою Юпітера.

Але це викривлення не було викликано місцевим джерелом, що ховається серед фрагментів. Це було викликано далеким джерелом: Юпітером. Тому ми бачимо, що однієї наявності перетинної кривизни недостатньо, щоб продемонструвати існування місцевих джерел. Навіть ознака перетинної кривизни не є достовірною ознакою. Хоча цей приклад показав розбіжність спочатку паралельних геодезичних систем, іменованих негативною кривизною, можливо і приливні сили, що чиниться віддаленими масами, для створення позитивної кривизни. Наприклад, океанські припливи на землі коливаються як вище, так і нижче середнього рівня моря, рис $\PageIndex{3}$ .

Малюнок 5.1.3.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : Гравітаційне поле Місяця змушує океани Землі спотворюватися в еліпсоїд. Знак кривизни перерізу негативний у площині x − t, але позитивний у площині y − t.

Як приклад, який дійсно вказував би на наявність локального джерела, ми могли б випустити хмару тестових мас у спокої в сферичній оболонці навколо землі, і дозволити їм опуститися, рис $\PageIndex{4}$ . Тоді ми матимемо позитивну і рівну кривизну перерізу в $t − x$ $t − y$ , і $t − z$ площинами. Таке спостереження не може бути обумовлено віддаленою масою. Він демонструє загальне скорочення обсягу спочатку паралельного снопа геодезичних, який ніколи не може бути викликаний приливними силами. Наприклад, земні океани не змінюють свого загального обсягу через припливи, і це було б правдою, навіть якби океани були газом, а не нестисливою рідиною. Це унікальна властивість таких $\frac{1}{r^{2}}$ сил, як гравітація, що вони зберігають обсяг таким чином; це, по суті, повторення закону Гаусса у вакуумі.

Малюнок 5.1.4.png — Малюнок $\PageIndex{4}$ : Хмара тестових мас виділяється в спокої в сферичній оболонці навколо землі, показаної тут у вигляді кола, оскільки вісь z опущена. Обсяг оболонки стискається з часом, що демонструє, що локальна кривизна простору-часу породжується локальним джерелом — землею — а не якимось далеким.