3: Диференціальна геометрія
- Page ID
- 77491
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Диференціальна геометрія використовує методи диференціального числення, інтегрального числення, лінійної алгебри та багатолінійної алгебри для вивчення задач геометрії.
- 3.1: Вступ до диференційної геометрії
- Загальна відносність описується математично мовою диференціальної геометрії. Давайте візьмемо ці два терміни в зворотному порядку. Геометрія простору-часу неевклідова.
- 3.2: Дотичні вектори
- Поняття фізики першокурсника вектора несе в собі всі види багажу, включаючи такі ідеї, як обертання векторів та величину, яка є позитивною для ненульових векторів. Ми також звикли вважати здатність представляти вектори як стрілки, тобто геометричні фігури кінцевого розміру, які можна транспортувати в інші місця - але в криволінійній геометрії взагалі неможливо транспортувати фігуру в інше місце, не спотворюючи її форму, тому немає поняття про конгруентність.
- 3.3: Аффінні поняття та паралельний транспорт
- Ми хочемо мати можливість вимірювати речі у вигнутому просторучасі. Виявляються дві взаємодоповнюючі системи вимірювання, які ми можемо застосувати: афінна міра та метрична міра.
- 3.4: Моделі
- Типова перша реакція на фразу «вигнутий простір-час» - або навіть «вигнутий простір», якщо на те пішло - це те, що це звучить як нісенітниця. Як може викривлятися або спотворюватися сам безликий, порожній простір?
- 3.5: Внутрішні кількості
- Моделі можуть бути небезпечними, оскільки вони можуть спокушати нас поставити фізичну реальність особливостям, які є суто зовнішніми, тобто, які присутні лише в цій конкретній моделі. Це на відміну від внутрішніх особливостей, які присутні у всіх моделям, і які, отже, логічно передбачаються аксіомами самої системи. Існування ліній явно є невід'ємною особливістю неевклідової геометрії, оскільки перетин ліній було визначено ще до того, як була запропонована будь-яка модель.
- 3.6: Метрика (частина 1)
- Чисто афінного поняття векторів та їх дуалів недостатньо для визначення довжини вектора загалом; достатньо лише визначити довжину відносно інших довжин уздовж тієї ж геодезичної. Коли вектори лежать уздовж різних геодезичних систем, нам потрібно вміти вказувати додатковий коефіцієнт перетворення, який дозволяє порівнювати один з іншим. Частина техніки, яка дозволяє нам це зробити, називається метрикою.
- 3.7: Метрика (частина 2)
- Сукупність усіх перетворень, які можуть бути побудовані з послідовних перекладів, обертань і відображень, називається групою ізометрій. Його також можна визначити як групу, яка зберігає точкові добутки, або групу, яка зберігає конгруентність трикутників.
- 3.8: Метрика загальної теорії відносності
- Коли маси присутні, знаходження метрики аналогічно знаходженню електричного поля, зробленого зарядами, але інтерпретація складніша. У електромагнітному випадку поле знаходиться на вже існуючому тлі простору і часу. У загальній теорії відносності немає вже існуючої геометрії простору-часу. Метрика говорить нам, як знайти відстані в плані наших координат, але самі координати абсолютно довільні.
- 3.9: Інтерпретація координатної незалежності
- У цьому розділі розглядаються деякі питання, які виникають при тлумаченні координатної незалежності. Його можна пропустити при першому читанні.
Мініатюра: Трикутник, занурений в площину сідлоподібної форми (гіперболічний параболоїд), а також дві розходяться ультрапаралельні лінії. (Громадське надбання; LucasVB).