3: Диференціальна геометрія

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.E: Геометрія плоского просторового часу (вправи)
- 3.1: Вступ до диференційної геометрії

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Диференціальна геометрія використовує методи диференціального числення, інтегрального числення, лінійної алгебри та багатолінійної алгебри для вивчення задач геометрії.

3.1: Вступ до диференційної геометрії
Загальна відносність описується математично мовою диференціальної геометрії. Давайте візьмемо ці два терміни в зворотному порядку. Геометрія простору-часу неевклідова.
3.2: Дотичні вектори
Поняття фізики першокурсника вектора несе в собі всі види багажу, включаючи такі ідеї, як обертання векторів та величину, яка є позитивною для ненульових векторів. Ми також звикли вважати здатність представляти вектори як стрілки, тобто геометричні фігури кінцевого розміру, які можна транспортувати в інші місця - але в криволінійній геометрії взагалі неможливо транспортувати фігуру в інше місце, не спотворюючи її форму, тому немає поняття про конгруентність.
3.3: Аффінні поняття та паралельний транспорт
Ми хочемо мати можливість вимірювати речі у вигнутому просторучасі. Виявляються дві взаємодоповнюючі системи вимірювання, які ми можемо застосувати: афінна міра та метрична міра.
3.4: Моделі
Типова перша реакція на фразу «вигнутий простір-час» - або навіть «вигнутий простір», якщо на те пішло - це те, що це звучить як нісенітниця. Як може викривлятися або спотворюватися сам безликий, порожній простір?
3.5: Внутрішні кількості
Моделі можуть бути небезпечними, оскільки вони можуть спокушати нас поставити фізичну реальність особливостям, які є суто зовнішніми, тобто, які присутні лише в цій конкретній моделі. Це на відміну від внутрішніх особливостей, які присутні у всіх моделям, і які, отже, логічно передбачаються аксіомами самої системи. Існування ліній явно є невід'ємною особливістю неевклідової геометрії, оскільки перетин ліній було визначено ще до того, як була запропонована будь-яка модель.
3.6: Метрика (частина 1)
Чисто афінного поняття векторів та їх дуалів недостатньо для визначення довжини вектора загалом; достатньо лише визначити довжину відносно інших довжин уздовж тієї ж геодезичної. Коли вектори лежать уздовж різних геодезичних систем, нам потрібно вміти вказувати додатковий коефіцієнт перетворення, який дозволяє порівнювати один з іншим. Частина техніки, яка дозволяє нам це зробити, називається метрикою.
3.7: Метрика (частина 2)
Сукупність усіх перетворень, які можуть бути побудовані з послідовних перекладів, обертань і відображень, називається групою ізометрій. Його також можна визначити як групу, яка зберігає точкові добутки, або групу, яка зберігає конгруентність трикутників.
3.8: Метрика загальної теорії відносності
Коли маси присутні, знаходження метрики аналогічно знаходженню електричного поля, зробленого зарядами, але інтерпретація складніша. У електромагнітному випадку поле знаходиться на вже існуючому тлі простору і часу. У загальній теорії відносності немає вже існуючої геометрії простору-часу. Метрика говорить нам, як знайти відстані в плані наших координат, але самі координати абсолютно довільні.
3.9: Інтерпретація координатної незалежності
У цьому розділі розглядаються деякі питання, які виникають при тлумаченні координатної незалежності. Його можна пропустити при першому читанні.
3.E: Диференціальна геометрія (вправи)

Мініатюра: Трикутник, занурений в площину сідлоподібної форми (гіперболічний параболоїд), а також дві розходяться ультрапаралельні лінії. (Громадське надбання; LucasVB).