3.8: Метрика загальної теорії відносності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77522

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Поки ми розглянули безліч прикладів, в яких метрика заздалегідь визначена. Це не так в загальній теорії відносності. Наприклад, Ейнштейн опублікував загальну відносність у 1915 році, але лише в 1916 році Шварцшильд знайшов метрику для сферичного, гравітаційного тіла, такого як сонце чи земля.

Коли маси присутні, знаходження метрики аналогічно знаходженню електричного поля, зробленого зарядами, але інтерпретація складніша. У електромагнітному випадку поле знаходиться на вже існуючому тлі простору і часу. У загальній теорії відносності немає вже існуючої геометрії простору-часу. Метрика говорить нам, як знайти відстані в плані наших координат, але самі координати абсолютно довільні. Так що ж навіть означає метрика? Це було питання, яке спричинило Ейнштейну велике лихо і плутанину, і в якийсь момент, в 1914 році, це навіть змусило його опублікувати неправильну, тупикову теорію гравітації, в якій він відмовився від координатно-незалежності.

З користю заднім числом ми можемо розглянути ці питання з точки зору загального опису вимірювань відносності, наведеного в розділі 3.4:

Ми можемо сказати, чи події та світові лінії є інцидентами.
Ми можемо робити вимірювання в місцевих кадрах Лоренца.

Аргумент «Отвір»

Основний фактор, який привів Ейнштейна до його помилкового початку, відомий як дірковий аргумент. Припустимо, що ми знаємо про розподіл речовини по всьому просторучасу, включаючи певну область скінченного розміру — «діру» - яка містить жодної матерії. За аналогією з іншими класичними польовими теоріями, такими як електромагнетизм, ми очікуємо, що метрика буде рішенням якогось диференціального рівняння, в якому матерія виступає в якості вихідного терміна. Ми знаходимо метрику\(g(x)\), яка вирішує польові рівняння для цього набору джерел, де\(x\) є певний набір координат. Тепер, якщо польові рівняння є координатно-незалежними, ми можемо ввести новий набір координат x', який ідентичний\(x\) зовнішньому отвору, але відрізняється від нього зсередини. Якщо ми повторно виражаємо метрику з точки зору цих нових координат як\(g'(x')\), то ми гарантуємо, що\(g'(x')\) це також рішення. Але крім того, ми можемо замінити\(x\)\(x'\), і все одно\(g'(x)\) буде рішенням. Для зовнішнього отвору немає різниці між заґрунтованими та негрунтованими величинами, а всередині отвору немає розподілу маси, який повинен відповідати поведінці метрики за точкою.

Малюнок 3.6.1.png — Малюнок\(\PageIndex{1}\) - аргумент отвору Ейнштейна.

Робимо висновок, що ні в якій координатно-інваріантної теорії однозначно визначити метрику всередині такого отвору неможливо. Ейнштейн спочатку вирішив, що це неприйнятно, тому що це показало відсутність детермінізму; в класичній теорії, такій як загальна теорія відносності, ми повинні бути в змозі передбачити еволюцію полів, і, здавалося б, немає можливості передбачити метрику всередині діри. Він врешті-решт зрозумів, що це неправильне тлумачення. Єдиний тип глобального спостереження, який дозволяє нам робити загальна відносність, - це вимірювання частоти світових ліній. Позначення всіх точок всередині отвору не змінює жодної із залежностей падіння. Наприклад, якщо дві тестові частинки, надіслані в область, стикаються в точці x всередині отвору, то зміна назви точки на x 'не змінює спостережуваного факту зіткнення.

Макіанський парадокс

Інший тип аргументу, який змусив Ейнштейна страждати, також вирішується правильним розумінням вимірювань, на цей раз використанням вимірювань у місцевих кадрах Лоренца. Земля знаходиться в гідростатичній рівновазі, а її екватор випирає завдяки своєму обертанню. Припустимо, що Всесвіт була порожньою за винятком двох планет, кожна оберталася навколо лінії, що з'єднує їх центри. ¹³ Оскільки немає зірок чи інших зовнішніх точок відліку, жителі кожної планети не мають зовнішніх орієнтирів, за якими можна судити про їх обертання або відсутність обертання. Вони можуть тільки визначити їх обертання, сказав Ейнштейн, щодо іншої планети. Тепер припустимо, що одна планета має екваторіальну опуклість, а інша - ні, здається, це порушує детермінізм, оскільки немає причин, які могли б спричинити різний ефект. Люди на будь-якій планеті можуть вважати себе обертовими, а іншу планету - нерухомою, або вони можуть описати ситуацію навпаки. Ейнштейн вважав, що цей аргумент довів, що різниці між розмірами екваторіальних опуклостей двох планет бути не може.

Малюнок 3.6.2.png — Малюнок\(\PageIndex{2}\) - Парадокс? Планета А не має екваторіальної опуклості, але B робить. Яка причина виробляє цей ефект? Ейнштейн міркував, що причиною не може бути обертання Б, оскільки кожна планета обертається відносно іншої.

Примітка

Приклад описаний в роботі Ейнштейна «Фундамент загальної теорії відносності». Уривок, який включає в себе приклад, наведено в додатку А.

Недолік аргументу Ейнштейна полягав у тому, що вимірювання в локальних кадрах Лоренца дозволяють розрізняти обертання та відсутність обертання. Наприклад, припустимо, що вчені на планеті А помічають, що їхній світ не має екваторіальної опуклості, в той час як планета Б має таку. Вони відправляють космічний зонд з годинником до B, нехай він залишиться на поверхні Б кілька років, а потім наказують його повернутися. Коли годинник повернувся в лабораторію, вони порівнюють його з іншим годинником, який залишився в лабораторії на планеті А, і вони виявляють, що минуло менше часу відповідно до того, який проводив час на поверхні Б. Вони роблять висновок, що планета B обертається швидше, ніж планета А, і що рух поверхні B був причиною спостережуваного розширення часу. Ця роздільна здатність очевидного парадоксу залежить конкретно від лоренціанської форми локальної геометрії простору-часу; вона недоступна, наприклад, у описі картаном вигнутого простору-часу ньютонівської гравітації.

Оригінальне, неправильне використання цього прикладу Ейнштейном виникло з його інтересу до ідей фізика і філософа Ернста Маха. Мах мав дещо нечітко визначену ідею, що оскільки рух - це лише чітко визначене поняття, коли ми говоримо про один об'єкт, що рухається відносно іншого об'єкта, інерція об'єкта повинна бути викликана впливом всієї іншої матерії у Всесвіті. Ейнштейн називав це принципом Маха. Помилкові старти Ейнштейна в побудові загальної теорії відносності часто були пов'язані з його спробами зробити свою теорію занадто «Макіаном». Розділ 8.3 обговорює альтернативну, більш Макіанську теорію гравітації, запропоновану Брансом і Дікке в 1951 році.