3.9: Інтерпретація координатної незалежності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77543

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі розглядаються деякі питання, які виникають при тлумаченні координатної незалежності. Його можна пропустити при першому читанні.

Чи очевидна незалежність координат?

Часто можна почути такі висловлювання від релятивістів: «Координація незалежності насправді не є фізичним принципом. Це просто очевидне твердження про взаємозв'язок між математикою та фізичним всесвітом. Очевидно, що Всесвіт не оснащений координатами. Ми нав'язуємо ці координати, і спосіб, яким ми це робимо, ніколи не може бути продиктований природою». Вразливий читач, який спокушається сказати: «Ах, так, це очевидно», повинен вважати, що Ньютону це було далеко не очевидно («Абсолютний, істинний і математичний час, сам по собі, і від власної природи тече рівно без урахування нічого зовнішнього.»), і Ейнштейну це не було очевидно. Леві-Чівіта підштовхнув Ейнштейна в бік координатної незалежності в 1912 році. Ейнштейн наполегливо намагався скласти незалежну від координати теорію, але з причин, описаних у розділі 3.6, він переконав себе, що це глухий кут. У 1914-15 роках він опублікував теорії, які не були незалежними координатами, які ви почуєте, як релятивісти описують як «очевидні» тупики, оскільки їм не вистачає будь-якої геометричної інтерпретації. Мені здається, що потрібна високовитончена інтуїція, щоб розцінювати як інтуїтивно «очевидну» проблему, з якою Ейнштейн боровся, як Яків, боротьба з Елохімом.

Чи тривіальна незалежність координат?

Також стверджувалося, що незалежність координат є тривіальною. Щоб оцінити справедливість цієї скарги, давайте розмежовуємо дві причини турботи про незалежність координат:

Незалежність координат говорить нам, що коли ми вирішуємо проблеми, ми повинні уникати записування будь-яких рівнянь у позначеннях, які не є явно внутрішніми, і уникати інтерпретації цих рівнянь так, ніби координати мали внутрішнє значення. Порушення цієї поради не гарантує, що ви зробили помилку, але набагато важче сказати, чи є у вас є чи ні.
Незалежність координат може бути використана як критерій для оцінки того, чи може конкретна теорія бути успішною.

Перше виправдання ніхто не ставить під сумнів. Другий трохи складніше. Викладаючи загальну теорію систематично в роботі 1916, ¹⁴ Ейнштейн писав: «Загальні закони природи повинні бути виражені рівняннями, які добре підходять для всіх систем координат, тобто є коваріантними щодо будь-яких замін, що завгодно (загалом коваріантний)». Іншими словами, він пояснював, чому, заднім числом, його координатно-залежна теорія 1914-1915 років повинна була бути тупиком.

Єдина біда в цьому полягає в тому, що спосіб Ейнштейна позувати критерій не зовсім вдарив цвях по голові математично. Як чудово зауважив Гільберт: «Кожен хлопчик на вулицях Геттінгена розуміє більше про чотиривимірну геометрію, ніж Ейнштейн. Однак, незважаючи на це, Ейнштейн виконав роботу, а не математики». Ейнштейн мав на увазі, що теорії, як ньютонівська механіка, не тільки не вистачає координатної незалежності, але й неможливо було б ввести в незалежну від координати форму, не роблячи її безнадійно складною і потворною, як нанесення помади на свині. Але Кречманн показав у 1917 році, що будь-яку теорію можна поставити в координатно-незалежну форму, і Картан продемонстрував у 1923 році, що це можна зробити для ньютонівської механіки таким чином, який не вийшов особливо потворним. Фізики сьогодні більш схильні ставити відмінність з точки зору «фонової незалежності» (це означає, що теорія не повинна формулюватися з точки зору передбачуваного геометричного фону) або відсутність «попередньої геометрії» (це означає, що кривизна простору-часу повинна походити від рішення рівнянь поля, а ніж нав'язується фіатом). Але ці поняття також чинили опір точному математичному формулюванню. ¹⁵ Моє відчуття полягає в тому, що ця загальна ідея координатної незалежності або фонової незалежності схожа на принцип еквівалентності: вирішальний концептуальний принцип, який не втрачає своєї важливості лише тому, що ми не можемо покласти її в математичну коробку зі стрічкою та бантиком. Наприклад, теоретики струн сприймають це як серйозну критику своєї теорії, що вона не є явно незалежною від фону, і однією з їхніх цілей є показати, що вона має фонову незалежність, яка просто не очевидна на поверхні.

Незалежність координат як вибір калібру

Повчально розглядати незалежність координат з точки зору теорії поля. Ньютонівська гравітація може бути описана трьома еквівалентними способами: як гравітаційне поле g, як гравітаційний потенціал\(\phi\), або як набір ліній гравітаційного поля. Лінії полів ніколи не трапляються одна на одну, і локально поле задовольняє рівнянню Пуассона. Електромагнітне поле має поляризаційні властивості, відмінні від властивостей гравітаційного поля, тому ми описуємо його за допомогою двох полів (E, B), пари потенціалів, ¹⁶ або двох наборів ліній поля. Існують подібні умови падіння і локальні польові рівняння (рівняння Максвелла). Гравітаційні поля в теорії відносності мають невідомі Ньютону поляризаційні властивості, але ситуація якісно схожа з двома вищепереліченими випадками. Тепер розглянемо аналогію між електромагнетизмом і відносністю. У електромагнетизмі саме поля безпосередньо спостерігаються, тому ми очікуємо, що потенціали матимуть деякі зовнішні властивості. Ми можемо, наприклад, перевизначити нашу електричну землю\(\Phi \rightarrow \Phi + C\), без будь-яких помітних наслідків. Як більш детально обговорювалося в розділі 5.6, можна навіть модифікувати електромагнітні потенціали цілком довільним та нелінійним способом, який змінюється від точки до точки у просторовому часі. Це називається калібрувальним перетворенням. У відносності калібрувальні перетворення - це плавні перетворення координат. Ці калібрувальні перетворення спотворюють лінії поля, не змушуючи їх прорізати один через одного.

Малюнок 3.7.1.png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Оскільки лінії магнітного поля ніколи не можуть перетинатися, малюнок магнітного поля містить незалежну від координат інформацію у вигляді зав'язування ліній. На цьому малюнку показана картина магнітного поля зірки SU Aurigae, виміряна за допомогою Zeeman-Doppler візуалізації (Petit at al.). Білі лінії являють собою лінії магнітного поля, які закриваються на себе в безпосередній близькості від зірки; сині лінії - це ті, що простягаються в міжзоряне середовище.

Примітка

Існує знайомий електричний потенціал\(\phi\), вимірюваний в вольтах, а також векторний потенціал А, з яким ви, можливо, стикалися або не стикалися. Коротко, електричне поле задається не,\(− \nabla \phi\) а\(− \nabla \phi − \frac{\partial A}{\partial t}\), в той час як магнітне поле - це завиток А. Це вводиться при більшій довжині в розділі 4.2.

Посилання

¹⁵ Джуліні, «Деякі зауваження щодо понять загальної коваріації та фонової незалежності», arxiv.org/abs/gr-qc/0603087v1