2.E: Геометрія плоского просторового часу (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77688

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Припустимо, що ми ще не знаємо точної форми перетворення Лоренца, але ми знаємо на основі експерименту Майкельсона-Морлі, що швидкість світла однакова у всіх інерційних кадрах, і ми вже визначили, наприклад, за такими аргументами, як ті, що раніше, що скорочення довжини бути не може в напрямку, перпендикулярному руху. Побудуємо «світловий годинник», що складається просто з двох дзеркал, звернених один до одного, зі світловим імпульсом, що підстрибує взад-вперед між ними.
1. Припустимо, що цей світловий годинник рухається з постійною швидкістю v у напрямку, перпендикулярному власному оптичному плечу, який має довжину L. Використовуйте теорему Піфагора, щоб довести, що годинник відчуває часове розширення\(\gamma = 1/ \sqrt{1 − v^{2}}\), задане, тим самим фіксуючи часову частину перетворення Лоренца.
2. Чому для інтерпретації спеціальної відносності важливо, що результат частини а не залежить від L?
3. Провести аналогічний розрахунок в тому випадку, коли годинник рухаються з постійним прискоренням a, як вимірюється в якомусь інерційному кадрі. Хоча результат залежить від L, довести, що в межі малого L ми відновлюємо більш ранній результат постійної швидкості, без явної залежності від a.

Примітка

Деякі автори констатують «постулат годинника» для особливої відносності, який говорить про те, що для годин, які досить малі, швидкість, з якою він працює, залежить тільки від v, а не a (за винятком того, що в тривіальному сенсі, що v і a пов'язані обчисленням). Результат частини c показує, що годинник «постулат» - це дійсно теорема, а не твердження, логічно незалежне від інших постулатів спеціальної відносності. Хоча цей аргумент стосується лише певного сімейства світлових годинників різних розмірів, можна також зробити будь-який маленький годинник в нечутливий до прискорення годинник, прикріпивши до нього акселерометр і застосувавши відповідну корекцію для компенсації спостережуваної чутливості годин до прискорення. (Це все одно необхідно, щоб годинник були невеликими, так як в іншому випадку відсутність одночасності в відносності унеможливлює описати весь годинник як мають певне прискорення в певний момент.) Фарлі та ін. ²² перевірили «постулат годинника» з\(\gamma\) точністю до 2% для радіоактивного розпаду мюонів, прискорених магнітними полями 12 на 5 × 10 ¹⁸ м/с ². Деякі люди плутаються від цього прискорено-незалежного властивості маленьких годин і думають, що воно суперечить принципу еквівалентності. Щоб отримати гарне пояснення, див. http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/clock.html.

²² Ново Чіменто 45 (1966) 281

Деякі з найбільш концептуально прямих випробувань релятивістського розширення часу були проведені шляхом порівняння показників подвійних атомних годинників, один залишився на вершині гори протягом певного часу, інший в сусідній долині нижче. ²³ На відміну від годинників в експерименті Хафель-Кітінга, вони нерухомі майже на всю тривалість експерименту, тому будь-яке розширення часу є чисто гравітаційним, а не кінематичним. Однак можна заперечити, що годинники насправді не знаходяться в спокої відносно один одного через обертання землі. Це приклад того, як різниця між гравітаційним та кінематичним часовими розширеннями залежить від кадру, оскільки ефект є чисто гравітаційним у обертовій рамці, де гравітаційне поле зменшується фіктивною відцентровою силою. Показати, що в необертається кадрі відношення кінематичного ефекту до гравітаційного виходить рівним 2,8 × 10 ⁻³ на широті Токіо. Це невелике значення вказує на те, що експеримент можна інтерпретувати як дуже чистий тест ефекту розширення гравітаційного часу. Для розрахунку ефекту потрібно буде використовувати той факт, що, як обговорювалося раніше, гравітаційні червоні зрушення можна інтерпретувати як гравітаційні часові розширення.

Малюнок 2.5.c.png

Графік з паперу Iijima, що показує різницю в часі між двома годинниками. Один годинник зберігався в обсерваторії Мітака, на висоті 58 м над рівнем моря. Інший був переміщений туди-сюди між другою обсерваторією, станцією Norikura Corona, і піком вулкана Норікура, 2876 м над рівнем моря. Плато на графіку - це дані періодів, коли годинник порівнювали пліч-о-пліч у Мітака. Різниця між одним плато і наступним полягає в гравітаційному часовому розширенні, накопиченому в період, коли мобільний годинник знаходився на вершині Норікури.

Примітка

Л.Бріаторе і С.Лещютта, «Докази земного гравітаційного зсуву шляхом прямого порівняння атомно-часових масштабів», Il Nuovo Cimento B, 37B (2): 219 (1977). Iijima et al., «Експеримент для потенційного синього зсуву на станції Norikura Corona», Аннали Токійської астрономічної обсерваторії, Друга серія, Vol. XVII, 2 (1978) 68.

(а) На малюнку 2.5.10 ми показали, що прецесія Томаса пропорційна площі на диску швидкості. Скористайтеся аналогічним аргументом, щоб показати, що ефект Sagnac пропорційний площі, укладеної циклом. (b) Перевірте це більш безпосередньо в особливому випадку кругової петлі. (c) Показати, що світловий годинник типу, описаного в задачі 1, нечутливий до обертання з постійною кутовою швидкістю. (d) З'єднайте ці результати з припущеннями комутативності та перехідності в процедурі синхронізації тактової синхронізації Ейнштейна, описаній пізніше.
У прикладі 14 розглядаються релятивістські межі властивостей матерії на прикладі витягування відра з чорної діри. Виведіть подібну пов'язку, розглянувши можливість відправки сигналів з чорної діри за допомогою поздовжніх коливань кабелю, як в телефоні дитини, зробленому з двох жерстяних банок, з'єднаних шматком струни.

Примітка

Дивно тонкі питання можуть виникнути в таких розрахунках; див. А.Й.Шиех, Кан. Фіз. 70, 458 (1992). Для кількісного лікування звисаючої мотузки в теорії відносності див Грег Іган, «Горизонт Ріндлера» http://gregegan.customer.netspace.net.au/SCIENCE/Rindler/RindlerHorizon.html.

Програма Maxima демонструє, як множити матриці і знаходити ряди Тейлора. Застосовуйте цю методику до наступної проблеми. Для послідовних підсилень Лоренца вздовж однієї осі з швидкостями\(\eta_{1}\) і знайдіть матрицю\(\eta_{2}\), що представляє комбіноване перетворення Лоренца, в ряді Тейлора до перших некласичних членів у кожному елементі матриці. Змішаний ряд Тейлора в двох змінних можна отримати просто вкладенням функцій Тейлора. Функція Тейлора буде з радістю працювати на матрицях, а не тільки скалярах.