3.1: Вступ до диференційної геометрії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77533

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Загальна відносність описується математично мовою диференціальної геометрії. Давайте візьмемо ці два терміни в зворотному порядку.

Геометрія простору-часу не є евклідовою, не тільки в тому сенсі, що 3+1-мірна геометрія кадрів Лоренца відрізняється від 4 взаємозамінних евклідових розмірів, але і в тому сенсі, що паралелі не поводяться так, як описано E5 або A1-A3. У кадрі Лоренца, який описує простір без будь-яких гравітаційних полів, частинки, чиї світові лінії спочатку паралельні, продовжуватимуться вздовж своїх паралельних світових ліній назавжди. Але при наявності гравітаційних полів спочатку паралельні світові лінії вільно падаючих частинок будуть взагалі розходитися, наближатися або навіть перетинатися. Таким чином, ні існування, ні унікальність паралелей припустити не можна. Ми не можемо описати цю відсутність паралелізму як викривлення світових ліній, тому що ми використовуємо світові лінії вільно падаючих частинок як наше визначення «прямої» лінії. Натомість ми описуємо ефект як викривлення самого простору-часу. Лоренціанська геометрія - це опис випадку, в якому ця кривизна мізерно мала.

А як щодо слова диференціал? Принцип еквівалентності стверджує, що навіть при наявності гравітаційних полів існують локальні рамки Лоренца. Наскільки місцевим є «місцевим?» Якщо ми використовуємо мікроскоп для збільшення масштабу на менші та менші області просторучасу, наближення Лоренца стає все кращим і кращим. Припустимо, ми хочемо провести експерименти в лабораторії, і ми хочемо переконатися, що коли ми порівняємо деяку фізично спостережувану величину з прогнозами, зробленими на основі геометрії Лоренца, результуюча розбіжність не буде занадто великою. Якщо допустима помилка\(\epsilon\), то ми повинні бути в змозі отримати помилку вниз, що низький, якщо ми готові зробити розмір нашої лабораторії не більше, ніж\(\delta\). Це явно дуже схоже на стиль Вейєрштрасса визначення меж та похідних у обчисленні. У обчисленні ідея, виражена диференціацією, полягає в тому, що кожна плавна крива може бути наближена локально лінією; загалом відносність, принцип еквівалентності говорить нам, що вигнутий просторовий час може бути наближений локально за допомогою плоского просторового часу. Але врахуйте, що жоден практик обчислення звично не вирішує проблеми, заповнюючи листи скретч-паперу епсилонами і дельтами. Замість цього вона використовує позначення Лейбніца, в якому dy і dx інтерпретуються як нескінченно малі числа. Ви можете бути схильні, виходячи з попередніх тренувань, відкидати нескінченність як ні суворі, ні необхідні. У 1966 році Авраам Робінсон продемонстрував, що занепокоєння щодо строгості були необґрунтованими; ми повернемося до цього моменту в розділі 3.3. Хоча це правда, що будь-яке обчислення, написане з використанням нескінченних чисел, також може здійснюватися за допомогою меж, наступний приклад показує, наскільки більш добре підходить нескінченно мала мова для диференціальної геометрії.

Приклад 1: Області на сфері

Площа області S в декартовій площині можна обчислити як\(\int_{S}\) dA, де dA = dx dy - площа нескінченно малого прямокутника шириною dx і висотою dy. Вигнута поверхня, така як сфера, не допускає глобальної декартової системи координат, в якій криві постійних координат одночасно рівномірно розташовані і перпендикулярні один одному. Наприклад, лінії довготи на земній поверхні зближуються в міру віддалення від екватора. Допускаючи\(\theta\) кут по відношенню до полюса, і\(\phi\) азимутальний кут, приблизно прямокутну ділянку обмежений\(\theta, \theta + d \theta, \phi\), і\(\phi +d \phi\) має ширину r sin\(\theta\) d\(\theta\) і висоту r d\(\phi\), даючи dA = r ² sin\(\theta\)\(\theta\) d\(\phi\). Якщо ви подивитеся на відповідну деривацію в підручнику з елементарного обчислення, який суворо уникає нескінченності, техніка полягає в тому, щоб почати з нуля з сум Рімана. Це вкрай трудомістко, і до того ж необхідно проводити заново для кожного нового випадку. У диференціальній геометрії кривизна простору змінюється від однієї точки до іншої, і очевидно, що ми не хочемо винаходити колесо з Riemann суми нескінченну кількість разів, один раз у кожній точці простору.