3.2: Дотичні вектори

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.1: Вступ до диференційної геометрії
- 3.3: Аффінні поняття та паралельний транспорт

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Не відразу зрозуміло, що означає вектор в контексті вигнутого просторучасу. Поняття фізики першокурсника вектора несе в собі всі види багажу, включаючи такі ідеї, як обертання векторів та величину, яка є позитивною для ненульових векторів. Ми також звикли вважати здатність представляти вектори як стрілки, тобто геометричні фігури кінцевого розміру, які можна транспортувати в інші місця - але в криволінійній геометрії взагалі неможливо транспортувати фігуру в інше місце, не спотворюючи її форму, тому немає поняття про конгруентність. З цієї причини краще візуалізувати вектори як дотичні до нижнього простору, як на малюнку $\PageIndex{1}$ . Інтуїтивно ми хочемо думати про ці вектори як стрілки, які нескінченно малі, щоб вони поміщалися на вигнуту поверхню без необхідності згинання. На знімках ми просто масштабуємо їх, щоб зробити їх видимими без нескінченно потужного мікроскопа, і це масштабування лише змушує їх підніматися з простору, в якому вони живуть.

Малюнок $\PageIndex{1}$ : Вектор можна вважати лежачим у площині дотичною до певної точки.

Більш формальне визначення поняття тангенсного вектора дається пізніше.