3.E: Диференціальна геометрія (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77513

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо простор-час, який локально точно так само, як стандартний просторовий час Лоренца, описаний в гл. 2, але це має глобальну структуру, що відрізняється наступним чином від тієї, яку ми неявно припускали. Цей просторовий час має глобальну властивість G: Нехай дві матеріальні частинки мають світові лінії, які збігаються на події A, з деякою ненульовою відносною швидкістю; тоді може бути якась подія B у майбутньому світловому конусі A, при якій лінії світу частинок знову збігаються. Це звучить як опис чогось, що ми очікуємо, відбудеться у вигнутому просторовому часі, але давайте подивимося, чи це потрібно. Ми хочемо знати, чи порушує це властивості плоского простору L1-L5 у додатку C, якщо ці властивості приймаються як локальні.
1. Продемонструйте, що це їх не порушує, використовуючи модель, в якій простір «обгортається», як циліндр.
2. Тепер розглянемо можливість тлумачення L1-L5 як глобальних тверджень. Чи завжди spacetimes з властивістю G порушують L3, якщо L3 приймається глобально?
Зазвичай в відносності ми підбираємо одиниці, в яких c = 1. Припустимо, однак, що ми хочемо використовувати одиниці СІ. Угода полягає в тому, що координати записуються з верхніми індексами, так що, фіксуючи звичайні декартові координати в розмірах 1+1 просторучасу, позначається нескінченно мале зміщення між двома подіями (ds ^t, ds ^x). У одиницях СІ дві складові цього вектора мають різні одиниці, що може здатися дивним, але цілком законним. Опишіть форму метрики, включаючи одиниці її елементів. Опишіть вектор нижнього індексу ds _a.
_{(a) Поясніть, чому такі вирази не мають хорошої граматики: U _aa, x ^a y a, p ^a −q ^a.} (Згадайте нашу умову про те, що латинські індекси представляють абстрактні індекси, так що не було б сенсу, наприклад, інтерпретувати U _aa як діагональний елемент U, а не як неявну суму.)
(b) Що з них також може бути нісенітницею з точки зору одиниць?
Припустимо, що альпініст описує своє місцезнаходження за допомогою координат\((\theta, \phi, h)\), що представляють широту, довготу і висоту. Вивести одиниці складових ds ^a і елементів g _ab і g ^ab. З огляду на, що одиницями механічної роботи повинні бути ньютон-метри (приклад 5), виведіть складові вектора сили F _a і його верхньоіндексний варіант F ^a.
Узагальнити малюнок 2.1.8 (2) до трьох вимірів.
Припустимо, у вас є колекція олівців, деякі з яких були заточені більше разів, ніж інші, щоб вони були коротшими. Ви кидаєте їх усіх на підлогу у випадкових орієнтаціях, і вам дозволяється ковзати їх навколо, але не обертати їх. Хтось просить вас скласти визначення того, чи «скасовує» даний набір з трьох олівців. Якщо всі олівці обробляються однаково (тобто порядок не має значення), і якщо ми поважаємо обертальну інваріантність евклідової геометрії, то ви будете змушені заново винаходити векторне додавання і визначити скасування олівців p, q і r як p + q + r = 0. Зробіть щось подібне з «олівцем» заміненим на «орієнтовані пари ліній, як на малюнку 2.1.8 (2).
Опишіть кількість g ^a _a. (Зверніть увагу на повторюваний індекс.)
У прикладі 17 обговорюється розрив, який призведе до спроби визначити часову координату для системи GPS, яка була синхронізована глобально відповідно до спостерігачів у обертовому кадрі, в тому сенсі, що сусідні спостерігачі могли перевірити синхронізацію шляхом обміну електромагнітними сигналами. Обчисліть цей розрив на екваторі та оцініть отриману помилку в положенні, яку відчули б користувачі GPS.
Вирішіть наступний парадокс.
Рівняння [3] стверджує, що дає метрику, отриману спостерігачем на поверхні диска, що обертається. Показано, що ця метрика призводить до неевклідового значення для відношення окружності кола до його радіусу, тому метрика явно неевклідова. Тому локальний спостерігач повинен вміти виявляти порушення теореми Піфагора.
І все ж ця метрика спочатку була виведена серією змін координат, починаючи з евклідової метрики в полярних координатах, як це виведено в прикладі 8. Розділ 3.4 стверджував, що внутрішні вимірювання, доступні в теорії відносності, не здатні виявити довільну плавну зміну координат один до одного. Це суперечить нашому попередньому висновку про те, що існують локально виявлені порушення теореми Піфагора.
Ця задача стосується властивостей метрики [3].
1. Від центру диска в певному напрямку випромінюється імпульс колімірованого світла. Чи формує просторовий трек імпульсу геодезичну цю метрику?
2. Характеризують поведінку геодезичних об'єктів поблизу r =\(\frac{1}{\omega}\).
3. Спостерігач в спокої щодо поверхні диска пропонує перевірити неевклідову природу метрики шляхом проведення локальних тестів, в яких з лазерних променів формуються прямі трикутники, і виявляються порушення теореми Піфагора. Чи спрацює це?
У перші десятиліття відносності багато фізиків мали звичку говорити так, ніби трансформація Лоренца описувала те, що спостерігач насправді «бачить» оптично, наприклад, оком або камерою. Це не так, тому що виникає додатковий ефект через оптичної аберації: спостерігачі в різних станах руху розходяться в думках про те, з якого напрямку виник світловий промінь. Це аналогічно ситуації, коли людина, що їде в кабріолеті, спостерігає краплі дощу, що падають з неба під кутом, навіть якщо спостерігач на тротуарі бачить їх падають вертикально. У 1959 році Террелл і Пенроуз самостійно надали правильні аналізи, ¹⁷ показуючи, що насправді об'єкт може здаватися контрактним, розширеним або обертованим, залежно від того, наближається він до спостерігача, проходить повз або відступає. Особливо цікавий випадок сфери. Розглянемо наступні чотири випадки:
1. Сфера не обертається. Центр сфери знаходиться в стані спокою. Спостерігач рухається по прямій лінії.
2. Сфера не обертається, але її центр рухається по прямій лінії. Спостерігач знаходиться в стані спокою.
3. Сфера знаходиться в стані спокою і не обертається. Спостерігач рухається навколо нього по колу, центр якого збігається з центром сфери.
4. Сфера обертається, її центр знаходиться в спокої. Спостерігач знаходиться в стані спокою.
  
  Пенроуз показав, що у випадку А контур сфери все ще розглядається як коло, хоча області на поверхні сфери виглядають спотвореними.
  Що вже говорити про узагальнення до відмінків B, C і D?
Ця задача включає релятивістську частинку масою m, яка також є хвилею, як описано квантовою механікою. Нехай c = 1 і\(\hbar\) = 1 на всьому протязі. Починаючи з відносин де Бройля E =\(\omega\) і p = k, де k - хвильове число, знайдіть дисперсійне відношення, що\(\omega\) з'єднується з k. обчисліть групову швидкість, і переконайтеся, що вона узгоджується зі звичайними співвідношеннями p = m\(\gamma\) v і E = m\(\gamma\) для m > 0. Що піде не так, якщо замість цього спробувати пов'язати v зі швидкістю фази?

Посилання

¹⁷ Джеймс Террелл, «Невидимість скорочення Лоренца», Фізичний огляд 116 (1959) 1045. Роджер Пенроуз, «Очевидна форма релятивістично рухомої сфери», Праці Кембриджського філософського товариства 55 (1959) 139.