3.7: Метрика (частина 2)

Ізометрія, внутрішні продукти та програма Ерланген

У евклідовій геометрії крапковий добуток векторів a та b задається

\[g_{xx}a_xb_x + g_{yy}a_yb_y + g_{zz}a_zb_z = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z,\]

і в особливому випадку, коли a = b ми маємо квадрат величини. У тензорних позначеннях

\[a^\mu b_\nu = a^1b_1 + a^2b_2 + a^3b_3.\]

Як і величини, точкові добутки інваріантні при обертаннях. Це пояснюється тим, що знання точкового добутку векторів a і b тягне за собою знання значення

\[\textbf{a} \cdot \textbf{b} = |\textbf{a}||\textbf{a}| \cos \theta_{\textbf{ab}}\]

і E4 Евкліда (рівність прямих кутів) означає, що кут\(\theta_{\textbf{ab}}\) є інваріантним. Ті ж аксіоми також тягнуть за собою інваріантність точкових добутків при перекладі; Евклід чекає лише до другої пропозиції Елементів, щоб довести, що відрізки ліній можуть бути скопійовані з одного місця в інше. Ця уявна тривіальність насправді помилкова як опис фізичного простору, оскільки це означає твердження, що простір має однакові властивості скрізь.

Сукупність усіх перетворень, які можуть бути побудовані з послідовних перекладів, обертань і відображень, називається групою ізометрій. Його також можна визначити як групу, яка зберігає точкові добутки, або групу, яка зберігає конгруентність трикутників.

Групи

У математиці група визначається як бінарна операція, яка має ідентичність, зворотну та асоціативність. Наприклад, додавання цілих чисел - це група. У теперішньому контексті членами групи є не числа, а перетворення, застосовані до евклідової площини. Групова операція над перетвореннями Т ₁ і Т ₂ складається з знаходження перетворення, яке є результатом виконання одного, а потім іншого, тобто складу функцій.

У Лоренціанській геометрії ми зазвичай уникаємо евклідового терміна точковий добуток і посилаємося на відповідну операцію більш загальним терміном внутрішній продукт. У певній системі координат ми маємо

\[a^{\mu}b_{\nu} = a^0b_0 - a^1b_1 - a^2b_2 - a^3b_3.\]

Внутрішній продукт інваріантний при бустах Лоренца, а також під евклідовою ізометрією. Група, знайдена шляхом створення всіх можливих комбінацій безперервних перетворень з цих двох множин, називається групою Пуанкаре. Група Пуанкаре не є групою симетрії всього простору-часу, оскільки вигнутий простор має різні властивості в різних місцях. Принцип еквівалентності говорить нам, однак, що простір може бути наближений локально як плоский, тому група Пуанкаре є локально дійсною, так само як евклідові ізометрії локально дійсні як опис геометрії на криволінійній поверхні Землі.

Симетрія CPT

Переривчасті перетворення просторового відображення та зміни часу не входять до визначення групи Пуанкаре, хоча вони зберігають внутрішні продукти. Загальна відносність має симетрію під просторовим відображенням (називається\(P\) парністю), реверсом часу (\(T\)) та інверсією заряду (\(C\)), але стандартна модель фізики частинок інваріантна лише під складом усіх трьох, CPT, не під жодною з цих симетрій окремо.

Приклад 16: Нерівність трикутника

У евклідовій геометрії нерівність трикутника | b + c | < | b | + | c | випливає з

\[(|\textbf{b}| + |\textbf{c}|)^{2} - (\textbf{b} + \textbf{c}) \cdot (\textbf{b} + \textbf{c}) = 2 (|\textbf{b}||\textbf{c}| - \textbf{b} \cdot \textbf{c}) \geq 0 \ldotp\]

Причина, по якій ця величина завжди виходить позитивною, полягає в тому, що для двох векторів фіксованої величини завжди досягається найбільший точковий добуток у випадку, коли вони лежать уздовж одного напрямку.

У лоренціанської геометрії ситуація інша. Нехай b і c будуть тимчасовими векторами, так що вони представляють можливі світові лінії. Тоді відношення a = b + c передбачає існування двох спостерігачів, які проходять два різні шляхи від однієї події до іншої. A йде прямим маршрутом, а B - об'їзд. Величина кожного часового вектора представляє час, що минув на годиннику, що переноситься спостерігачем, що рухається вздовж цього вектора. Рівність трикутника тепер змінюється, стаючи | b + c | > | b | + | c |. Відмінність від евклідового випадку виникає тому, що внутрішні продукти більше не обов'язково максимізуються, якщо вектори знаходяться в одному напрямку. Наприклад, для двох світлоподібних векторів b ⁱ c _j повністю зникає, якщо b і c паралельні. Для векторів, подібних до часу, паралелізм фактично мінімізує внутрішній продукт, а не максимізує його.

Доказ

Нехай b і c будуть паралельними і часоподібними, і спрямовані вперед у часі. Прийняти систему відліку, в якій кожен просторовий компонент кожного вектора зникає. Це не тягне за собою втрату спільності, так як внутрішні продукти інваріантні при такому перетворенні. Оскільки порядок часу також зберігається при перетвореннях у групі Пуанкаре, кожен все ще спрямований вперед у часі, а не назад. Тепер нехай b і c будуть відтягнуті від паралелізму, як відкриття пари ножиць у площині x − t. Це зменшує b _t c _t, в той час як b _x c _x стає негативним. Обидва ефекти збільшують внутрішній продукт.

\(\square\)

У своєму 1872 інавгураційному зверненні в Університеті Ерлангена, Фелікс Кляйн використовував ідею груп перетворень, щоб викласти загальну схему класифікації, відому як програма Ерланген, для всіх різних типів геометрії. Кожна геометрія описується групою перетворень, званої основною групою, яка зберігає істинність геометричних тверджень. Основна група евклідової геометрії складається з ізометрій, поєднаних з довільними змінами масштабу, оскільки в аксіомах Евкліда немає нічого, що виділяє певну відстань як одиницю виміру. Іншими словами, основна група складається з перетворень, що зберігають схожість, а не тільки тих, що зберігають конгруентність. Основною групою афінної геометрії є перетворення, що зберігають паралелізм; вона включає перетворення зсуву, і тому немає інваріантного поняття кутової міри або конгруентності. На відміну від евклідової та афінної геометрії, еліптична геометрія не має інваріантності масштабу. Це пов'язано з тим, що існує певна одиниця відстані, яка має особливий статус; як ми бачили в прикладі 4, істота, що живе в еліптичній площині, може визначити, повністю внутрішніми методами, шкалу відстані R, яку ми можемо інтерпретувати в напівсферичній моделі як радіус сфери. Загальна відносність порушує цю симетрію ще сильніше. Мало того, що існує шкала, пов'язана з кривизною, але масштаб відрізняється від однієї точки простору до іншої.

Карусель Ейнштейна

Неевклідова геометрія, що спостерігається у обертовій рамці

Наступний приклад був історично важливим, тому що Ейнштейн використовував його, щоб переконати себе в тому, що загальна відносність повинна бути описана неевклідової геометрією. ⁸ Його тлумачення також досить тонке, і ранні релятивісти мали певні проблеми з ним.

Примітка

Приклад описаний в роботі Ейнштейна «Фундамент загальної теорії відносності». Уривок, який включає в себе приклад, наведено в додатку А.

Припустимо, що спостерігач А знаходиться на крутиться каруселі, а спостерігач B стоїть на землі. Б говорить, що А прискорюється, але за принципом еквівалентності А може сказати, що вона знаходиться в стані спокою в гравітаційному полі, в той час як Б вільно випадає з-під неї. B вимірює радіус і окружність каруселі, і знаходить, що їх співвідношення дорівнює 2\(\pi\). A проводить аналогічні вимірювання, але коли вона ставить свій метр-палицю в азимутальному напрямку, вона стає Лоренц-скороченою коефіцієнтом\(\gamma = (1−\omega^{2} r^{2})^{−1/2}\), тому вона виявляє, що співвідношення більше 2\(\pi\). У координатах А просторова геометрія не є евклідовою, а метрика відрізняється від евклідової, знайденої в прикладі 8.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Спостерігач А, обертаючись з каруселлю, вимірює лінійкою азимутальну відстань.

Спостерігач А відчуває силу, яку Б вважає фіктивною, але що, за принципом еквівалентності, A може сказати, є цілком реальною гравітаційною силою. Згідно А, спостерігач типу Б вільно відпадає від центру диска під впливом цього гравітаційного поля. А також зауважує, що просторова геометрія каруселі не є евклідовою. Тому здається розумним припустити, що гравітація може бути описана неевклідовою геометрією, а не як фізична сила в ньютонівському сенсі.

На даний момент ви знаєте про цей приклад так само багато, як Ейнштейн у 1912 році, коли він почав використовувати його як насіння, з якого проросла загальна теорія відносності, співпрацюючи зі своїм старим однокласником, математиком Марселем Гроссманном, який знав про диференціальну геометрію. Залишок цього підрозділу, який ви, можливо, захочете пропустити при першому читанні, докладніше стосується інтерпретації та математичного опису обертової системи відліку. Ще більш детальні методи лікування даються Grøn ⁹ і Dieks. ¹⁰

Парадокс Еренфеста

Еренфест ¹¹ описав наступний парадокс. Припустимо, що спостерігач B у лабораторному кадрі вимірює радіус диска, який повинен бути r, коли диск знаходиться в стані спокою, і r', коли диск обертається. B також може вимірювати відповідні окружності C і C'. Оскільки B знаходиться в інерційній рамці, просторова геометрія не виглядає неевклідової відповідно до вимірювань, проведених з його метровими палицями, і тому евклідові відносини C = 2\(\pi\) r і C '= 2\(\pi\) r' обидва тримають. Радіальні лінії перпендикулярні власному руху, і тому вони не мають стиснення довжини, r = r', що означає C = C '. Зовнішній край диска, однак, скрізь дотичний до власного напрямку руху, тому він стискається Лоренца, і тому C' < C. Роздільна здатність парадоксу полягає в тому, що він спирається на неправильне припущення, що жорсткий диск може бути змушений обертатися. Якщо ідеально жорсткий диск спочатку не обертався, потрібно було б спотворити його, щоб встановити його в обертання, тому що, як тільки він обертався, його зовнішній край більше не мав би довжини, рівної 2\(\pi\) рази більше його радіусу. Тому якщо диск ідеально жорсткий, його ніколи не можна повертати. Як обговорювалося раніше, відносність не допускає існування нескінченно жорстких або нескінченно міцних матеріалів. Якби це сталося, то можна було б порушити причинно-наслідковий зв'язок. Якби існував абсолютно жорсткий диск, коливання в диску поширювалися б з нескінченною швидкістю, тому постукування диска молотком в одному місці призвело б до передачі інформації при v > c в інші частини диска, і тоді існували б рамки відліку, в яких була отримана інформація до того, як вона була передана. Те ж саме стосується, якщо для додання обертального руху диску використовується молотковий мітчик.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Ейнштейн і Еренфест.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Самостійна перевірка: Що робити, якщо ми побудуємо диск, збираючи будівельні матеріали так, щоб вони вже правильно оберталися, перш ніж їх з'єднати?

Метрика в обертовій рамці

Що робити, якщо ми спробуємо обійти ці проблеми, застосовуючи крутний момент рівномірно по всьому диску, щоб обертання починалося плавно і одночасно всюди? Потім ми стикаємося з проблемами, ідентичними тим, що підняті парадоксом космічного корабля Белла. Насправді парадокс Еренфеста - це не що інше, як парадокс Белла, загорнутий у коло. Виникає той же питання синхронізації часу.

Щоб описати це математично, давайте знайдемо метрику відповідно до спостерігача А, застосувавши зміну координат\(\theta' = \theta − \omega t\). Спочатку ми візьмемо евклідову метрику з прикладу 8 і перепишемо її як (глобально) метрику Лоренца в просторовому часі для спостерігача B,

\[ds^{2} = dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d \theta^{2} \ldotp \label{1} \]

Застосовуючи перетворення в координати А, знаходимо

\[ds^{2} = (1 - \omega^{2} r^{2}) dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d \theta'^{2} - 2 \omega r^{2} d \theta' dt \ldotp \label{2} \]

Визнання ωr як швидкість одного кадру відносно іншого, і\((1−\omega^{2} r^{2})^{−1/2}\) як\(\gamma\), ми бачимо, що у нас є ефект релятивістського розширення часу в\(dt^2\) терміні. Але\(dr^2\) і d\(\theta'^{2}\) терміни виглядають евклідовим. Чому ми не бачимо жодного стиснення Лоренца шкали довжини в азимутальному напрямку?

Відповідь полягає в тому, що координати в цілому відносності є довільними, і тільки тому, що ми можемо записати певний набір координат, це не означає, що вони мають спеціальну фізичну інтерпретацію. Координати фізично\((t, r, \theta')\) не відповідають величинам, які A вимірював би за допомогою годинників та метрових паличок. Підказка - це перехресний термін d\(\theta'\) dt. Припустимо, що А відправляє дві машини, що їздять по колу каруселі, одну за годинниковою стрілкою і одну проти годинникової стрілки, з однієї і тієї ж точки. Якщо координати (t, r,\(\theta'\)) відповідали вимірюванням годинника та метрової палиці, то ми очікуємо, що коли автомобілі знову зустрінуться на дальній стороні диска, їх інформаційні панелі показуватимуть рівні значення довжини дуги r\(\theta'\) на своїх одометрах та рівні належні часи ds на годиннику. Але це не так, тому що знак терміна d\(\theta'\) dt протилежний для двох світових ліній. Такий же ефект виникає, якщо ми посилаємо промені світла в обидві сторони навколо диска, і це ефект Sagnac.

Це симптом того, що координата t неправильно синхронізована між різними місцями на диску. Ми вже знаємо, що не слід очікувати, що зможемо знайти універсальну часову координату, яка буде збігатися з кожним годинником, незалежно від стану руху годинника. Припустимо, ми поставили перед собою більш скромну мету. Чи можемо ми знайти універсальну часову координату, яка буде збігатися з кожним годинником, за умови, що годинник знаходиться в стані спокою щодо обертового диска?

Просторова метрика та синхронізація годинників

Хитрість для поліпшення ситуації полягає в усуненні\(d \theta'\, dt\) перехресного терміну шляхом заповнення квадрата в метриці (Equation\ ref {2}). Результатом є

\[ds^{2} = (1 - \omega^{2} r^{2}) \left[ dt + \frac{\omega r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta' \right]^{2} - dr^{2} - \frac{r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta'^{2} \ldotp\]

Тлумачення величини в квадратних дужках виглядає наступним чином. Припустимо, що два спостерігача розташовуються на краю диска, розділеному нескінченно малим кутом d\(\theta'\). Потім вони синхронізують свої годинники, обмінюючись світловими імпульсами. Час польоту, виміряний в лабораторному кадрі, для кожного світлового імпульсу - це рішення рівняння ds ² = 0, а єдина різниця між результатом годинникової стрілки dt ₁ і проти годинникової стрілки dt ₂ виникає від знака d\(\theta'\). Кількість в квадратних дужках однакова в обох випадках, тому величина, на яку потрібно регулювати годинник, дорівнює

\[dt = \frac{(dt_{2} − dt_{1})}{2},\]

або

\[dt = \frac{\omega r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta' \ldotp\]

Підставивши це в метрику, ми залишаємося з чисто просторовою метрикою

\[ds^{2} = - dr^{2} - \frac{r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta'^{2} \ldotp \label{3}\]

Коефіцієнт\((1 − \omega^{2} r^{2})^{−1} = \gamma^{2}\) в\(\theta'^{2}\) термін d - це просто очікуваний коефіцієнт стиснення Лоренца. Іншими словами, окружність, як і очікувалося, більше 2\(\pi\) р в рази\(\gamma\).

Чи є метрика (Equation\ ref {3}) являє собою ту саму неевклідову просторову геометрію\(A\), яку, обертаючись разом з диском, визначали б за допомогою вимірювальних вимірювань? Так і ні. Його можна інтерпретувати як той, який A визначив би за допомогою радіолокаційних вимірювань. Тобто, якщо A вимірює час руху в обидва кінці dt для світлового сигналу між точками, розділеними координатними відстанями dr і d\(\theta'\), то A може сказати, що просторовий поділ є\(\frac{dt}{2}\), і такі вимірювання будуть правильно описані Equation\ ref {3}. Фізичні лічильники, однак, представляють деякі проблеми. Метр-палиці, що обертаються з диском, схильні до дії Коріоліса і відцентрових сил, і цієї проблеми не уникнути, просто зробивши метр-палиці нескінченно жорсткими, адже нескінченно жорсткі предмети заборонені відносністю. Насправді ці сили неминуче будуть досить сильними, щоб знищити будь-яку метрову палицю\(\frac{1}{\omega}\), яка виведена на r =, де швидкість диска стає рівною швидкості світла.

Може здатися, що тепер ми могли б визначити глобальну координату

\[T = t + \frac{\omega r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} \theta',\]

інтерпретується як часова координата, яка була синхронізована послідовно для всіх точок на диску. Біда з такою інтерпретацією стає очевидною, коли ми уявляємо собі водіння автомобіля по колу диска, на швидкості досить повільної, так що відбувається незначне розширення часу годинника приладової панелі автомобіля щодо годинників, прив'язаних до диска. Після того, як автомобіль повертається в початкове положення\(2pi\),\(\theta'\) збільшився на, тому годинник автомобіля більше не можна синхронізувати з годинниками, прив'язаними до диска. Ми робимо висновок, що синхронізувати годинник у обертовій системі відліку неможливо; якщо ми спробуємо це зробити, нам неминуче доведеться десь мати розрив. Ця проблема присутня навіть локально, про що свідчить можливість вимірювання ефекту Саньяка з апаратом, який невеликий порівняно з диском. Єдина причина, по якій нам вдалося піти з синхронізації часу, щоб встановити метрику в Equation\ ref {3}, полягає в тому, що всі фізичні прояви неможливості синхронізації, наприклад, ефект Sagnac, пропорційні площі області, в якій знаходиться синхронізація спробував. Оскільки ми синхронізували лише дві сусідні точки, область, укладена світловими променями, була нульовою.

Приклад 17: GPS

Як практичний приклад, система GPS призначена головним чином для того, щоб люди могли знаходити своє положення щодо обертової поверхні землі (хоча вона також може використовуватися космічними апаратами). Тобто їх цікавлять (r,\(\theta', \phi\)) координати. Система відліку, визначена цими координатами, називається ECEF, для Earth-Centered, Earth-Fixed.

Система вимагає синхронізації атомних годин, що перевозяться на борту супутників, і цю синхронізацію також потрібно розширити на (менш точні) годинник, вбудовані в приймачі блоків. Неможливо здійснити таку синхронізацію глобально в обертовому кадрі з метою створення координат (T, r,\(\theta', \phi\)). Якби ми спробували, це призведе до розривів (див. Проблема 8).

Натомість система GPS обробляє синхронізацію годинника в координатах (t, r,\(\theta', \phi\)), як у Equation\ ref {2}. Вони відомі як Інерційні координати, орієнтовані на Землю (ECI). \(t\)Координата в цій системі не та, яку встановили б користувачі в сусідніх точках земної поверхні, якби здійснювали синхронізацію годин за допомогою електромагнітних сигналів. Це просто часова координата необертається системи відліку, прив'язана до центру землі. Концептуально ми можемо уявити цю часову координату як таку, яка встановлюється шляхом надсилання електромагнітного сигналу «тік-так» з центру землі, при цьому кожен супутник коригує фазу сигналу на основі часу поширення, виведеного з власного р Насправді це досягається шляхом зв'язку з головною станцією управління в Колорадо-Спрінгс, яка спілкується з супутниками через реле на Кваджалейн, Острів Вознесіння, Дієго-Гарсія та мисі Канаверал.

Приклад 18: Гуф Ейнштейна, в обертовій рамці

Приклад 10 розповів про знамениту помилку Ейнштейна в прогнозуванні того, що годинник на полюсі зазнає часового розширення відносно годинника на екваторі, і емпіричний тест цього факту Alley et al. використовуючи атомні годинники. Ідеальне скасування гравітаційних та кінематичних часових розширень може здатися випадковим, але це не так, коли ми перетворюємося на кадр, що обертається разом із землею, більше не виникає ніякого кінематичного ефекту, тому що жоден годинник не рухається. У цьому кадрі поверхня земного океану є рівнопотенціалом, тому гравітаційне розширення часу також зникає, припускаючи, що обидва годинники знаходяться на рівні моря. При перетворенні в обертовий кадр метрика забирає термін d\(\theta'\) dt, але оскільки обидва годинника закріплені на земній поверхні, вони мають d\(\theta'\) = 0, і ефекту Sagnac немає.

Неможливість жорсткого обертання навіть із зовнішніми силами

Визначення просторової метрики з лінійками в спокої відносно диска є привабливим через її концептуальну простоту в порівнянні зі складними процедурами, що включають радар, і, мабуть, саме тому Ейнштейн представив концепцію за допомогою вимірювань лінійки у своїй статті 1916 року, виклавши загальну теорію. відносності. ¹² Прагнучи відновити цю простоту, ми могли б запропонувати використовувати зовнішні сили для компенсації відцентрових та Коріолісових сил, яким піддавалися б правителі, змушуючи їх залишатися прямими та підтримувати правильну довжину. Щось подібного роду здійснюється за допомогою великих дзеркал деяких телескопів, які мають активні системи, що компенсують гравітаційні прогини та інші ефекти. Перше питання, щоб турбуватися про те, що один буде потрібно якийсь спосіб контролювати лінійку 's довжина і прямолінійність. Система моніторингу, імовірно, базувалася б на вимірах з променями світла, і в цьому випадку самі фізичні лінійки стануть зайвими.

Примітка

Стаття відтворена на звороті книги, а відповідна частина — у додатку А.

Крім того, нам потрібно було б мати можливість маніпулювати лінійками, щоб розмістити їх там, де ми хотіли, і ці маніпуляції включали б кутові прискорення. Якби така річ була можлива, то це також дорівнювало б лазівці в дозволі парадоксу Еренфеста. Чи може обертається диск Ehrenfest бути прискорено і уповільнено за допомогою зовнішніх сил, що б утримати його від викривлення в картопляну чіпсу? Проблема, з якою ми стикаємося з такою стратегією, полягає в синхронізації годин. Коли прийшов час надати диску кутове прискорення, всі системи управління повинні були б активуватися одночасно. Але ми вже бачили, що глобальна тактова синхронізація не може бути реалізована для об'єкта з кінцевою площею, а тому в цій пропозиції є логічне протиріччя. Це унеможливлює застосування жорсткого кутового прискорення до диска, але не обов'язково лінійки, які теоретично могли б бути одновимірними.

Посилання

⁹ Релятивістський опис обертового диска, Am. Дж. фіз. 43 (1975) 869

¹⁰ Простір, час і координати в обертовому світі, www.phys.uu.nl/igg/dieks

¹¹ П. Еренфест, Gleichf"Ormige Ротація стартер «Корпер і відносна теорія, З. фіз. 10 (1909) 918, доступний в англійському перекладі за адресою ua.wikisource.org.