11: Параметричні рівняння та полярні координати
- Page ID
- 61682
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Параметричні рівняння визначають групу величин як функції однієї або декількох незалежних змінних, які називаються параметрами. Параметричні рівняння зазвичай використовуються для вираження координат точок, що складають геометричний об'єкт, такий як крива або поверхня, і в цьому випадку рівняння спільно називаються параметричним поданням або параметризацією. Полярна система координат - це двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається відстанню від контрольної точки і кутом від опорного напрямку. Точка відліку (аналог походження декартової системи) називається полюсом, а промінь від полюса в опорному напрямку - полярною віссю. Відстань від полюса називається радіальною координатою або радіусом, а кут називається кутовою координатою, полярним кутом або азимутом
- 11.0: Прелюдія до параметричних рівнянь та полярних координат
- У цьому розділі ми також вивчаємо параметричні рівняння, які дають нам зручний спосіб описати криві або вивчати положення частинки або об'єкта в двох вимірах як функція часу. Ми будемо використовувати параметричні рівняння і полярні координати для опису багатьох тем пізніше в цьому тексті.
- 11.1: Параметричні рівняння
- У цьому розділі ми розглянемо параметричні рівняння та їх графіки. У двовимірній системі координат параметричні рівняння корисні для опису кривих, які не обов'язково є функціями. Параметр є незалежною змінною, від якої залежать як x, так і y, і зі збільшенням параметра значення x і y простежують шлях вздовж плоской кривої.
- 11.2: Обчислення параметричних кривих
- Тепер, коли ми ввели поняття параметризованої кривої, наш наступний крок - навчитися працювати з цим поняттям в контексті числення. Наприклад, якщо нам відома параметризація заданої кривої, чи можна обчислити нахил дотичної лінії до кривої? Як щодо довжини дуги кривої? Або площа під кривою?
- 11.3: Полярні координати
- Прямокутна система координат (або декартова площина) забезпечує засіб відображення точок до впорядкованих пар і впорядкованих пар до точок. Це називається відображенням один до одного від точок у площині до впорядкованих пар. Полярна система координат забезпечує альтернативний метод відображення точок на впорядковані пари. У цьому розділі ми бачимо, що за деяких обставин полярні координати можуть бути кориснішими, ніж прямокутні координати.
- 11.4: Площа та довжина дуги в полярних координатах
- У прямокутній системі координат певний інтеграл забезпечує спосіб обчислення площі під кривою. Зокрема, якщо у нас є функція y=f (x), визначена від x=a до x=b, де f (x) >0 на цьому інтервалі, площа між кривою та віссю x задається A=f (x) dx. Цей факт разом з формулою оцінки цього інтеграла узагальнено в Фундаментальній теоремі числення. У цьому розділі ми вивчаємо аналогічні формули для площі та довжини дуги в полярній системі координат.
- 11.5: Конічні перерізи
- Конічні перерізи отримали свою назву тому, що вони можуть бути створені шляхом перетину площини з конусом. Конус має дві однакові за формою частини, які називаються ворсом. Конічні перерізи генеруються перетином площини з конусом. Якщо площина паралельна осі обертання (осі Y), то конічний перетин - гіпербола. Якщо площина паралельна формує лінії, то конічний переріз є параболою. Якщо площина перпендикулярна осі обертання, конічний перетин - це коло.