11.5E: Вправи для розділу 11.5

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61739

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У вправах 1 - 8 визначте рівняння параболи, використовуючи наведену інформацію.

1) Фокус$(4,0)$ і директриса$x=−4$

Відповідь: $y^2=16x$

2) Фокус$(0,−3)$ і директриса$y=3$

3) Фокус$(0,0.5)$ і директриса$y=−0.5$

Відповідь: $x^2=2y$

4) Фокус$(2,3)$ і директриса$x=−2$

5) Фокус$(0,2)$ і директриса$y=4$

Відповідь: $x^2=−4(y−3)$

6) Фокус$(−1,4)$ і директриса$x=5$

7) Фокус$(−3,5)$ і директриса$y=1$

Відповідь: $(x+3)^2=8(y−3)$

8) Фокус$\left(\frac{5}{2},−4\right)$ і директриса$x=\frac{7}{2}$

У вправах 9 - 16 визначте рівняння еліпса, використовуючи надану інформацію.

9) Кінцеві точки великої$(4,0),\;(−4,0)$ осі в та осередках, розташованих на$(2,0),\;(−2,0)$

Відповідь: $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$

10) Кінцеві точки великої$(0,5),\;(0,−5)$ осі в та осередках, розташованих на$(0,3),\;(0,−3)$

11) Кінцеві точки великої$(0,2),\;(0,−2)$ осі в та осередках, розташованих на$(3,0),\;(−3,0)$

Відповідь: $\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1$

12) Кінцеві точки великої$(−3,3),\;(7,3)$ осі в та осередках, розташованих на$(−2,3),\;(6,3)$

13) Кінцеві точки великої$(−3,5),\;(−3,−3)$ осі в та осередках, розташованих на$(−3,3),\;(−3,−1)$

Відповідь: $\dfrac{(y−1)^2}{16}+\dfrac{(x+3)^2}{12}=1$

14) Кінцеві точки великої$(0,0),\;(0,4)$ осі в та осередках, розташованих на$(5,2),\;(−5,2)$

15) Вогнища, розташовані при$(2,0),\;(−2,0)$ і ексцентриситет$\frac{1}{2}$

Відповідь: $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$

16) Вогнища, розташовані при$(0,−3),\;(0,3)$ і ексцентриситеті$\frac{3}{4}$

У вправах 17 - 24 визначте рівняння гіперболи, використовуючи наведену інформацію.

17) Вершини, розташовані в$(5,0),\;(−5,0)$ і вогнища, розташовані на$(6,0),\;(−6,0)$

Відповідь: $\frac{x^2}{25}−\frac{y^2}{11}=1$

18) Вершини, розташовані в$(0,2),\;(0,−2)$ і вогнища, розташовані на$(0,3),\;(0,−3)$

19) Кінцеві точки сполученої осі, розташовані в$(0,3),\;(0,−3)$ і розташовані вогнища$(4,0),\;(−4,0)$

Відповідь: $\dfrac{x^2}{7}−\dfrac{y^2}{9}=1$

20) Вершини, розташовані в$(0,1),\;(6,1)$ і фокус, розташований на$(8,1)$

21) Вершини, розташовані в$(−2,0),\;(−2,−4)$ і фокус, розташований на$(−2,−8)$

Відповідь: $\dfrac{(y+2)^2}{4}−\dfrac{(x+2)^2}{32}=1$

22) Кінцеві точки сполученої осі, розташовані на$(3,2),\;(3,4)$ і фокус, розташований на$(3,7)$

23) Вогнища, розташовані при$(6,−0),\;(6,0)$ і ексцентриситеті$3$

Відповідь: $\dfrac{x^2}{4}−\dfrac{y^2}{32}=1$

24)$(0,10),\;(0,−10)$ і ексцентриситет 2,5

У вправах 25 - 30 розглянемо наступні полярні рівняння коніків. Визначте ексцентриситет і ідентифікуйте конічний.

25)$r=\dfrac{−1}{1+\cos θ}$

Відповідь: $e=1,$парабола

26)$r=\dfrac{8}{2−\sin θ}$

27)$r=\dfrac{5}{2+\sin θ}$

Відповідь: $e=\frac{1}{2},$еліпс

28)$r=\dfrac{5}{−1+2\sin θ}$

29)$r=\dfrac{3}{2−6\sin θ}$

Відповідь: $e=3$, гіпербола

30)$r=\dfrac{3}{−4+3\sin θ}$

У вправах 31 - 34 знайти полярне рівняння конічного конуса з фокусом на початку та ексцентриситет і директрису, як задано.

31) Директриса:$x=4;\; e=\frac{1}{5}$

Відповідь: $r=\dfrac{4}{5+\cos θ}$

32) Директриса:$x=−4;\; e=5$

3) Директриса:$y=2; \; e=2$

Відповідь: $r=\dfrac{4}{1+2\sin θ}$

34) Директриса:$y=−2;\; e=\frac{1}{2}$

У вправах 35 - 51 накидайте графік кожного конуса.

35)$r=\dfrac{1}{1+\sin θ}$

Відповідь: $Графік параболи відкривається вниз з центром біля початку.$

36)$r=\dfrac{1}{1−\cos θ}$

37)$r=\dfrac{4}{1+\cos θ}$

Відповідь: $Графік параболи відкритий ліворуч з центром біля початку.$

38)$r=\dfrac{10}{5+4\sin θ}$

39)$r=\dfrac{15}{3−2\cos θ}$

Відповідь: $Графік еліпса з центром поблизу (8, 0), головною віссю горизонтальною і приблизно 18, а незначною віссю трохи більше 12.$

40)$r=\dfrac{32}{3+5\sin θ}$

41)$r(2+\sin θ)=4$

Відповідь: $Графік кола з центром поблизу (0, −1,5) та радіусом близько 2,5.$

42)$r=\dfrac{3}{2+6\sin θ}$

43)$r=\dfrac{3}{−4+2\sin θ}$

Відповідь: $Графік кола з центром (0, −0,5) та радіусом 1.$

44)$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$

45)$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1$

Відповідь: $Графік еліпса з центром початку координат і з великою віссю вертикаллю і довжиною 8 і малою віссю довжини 4.$

46)$4x^2+9y^2=36$

47)$25x^2−4y^2=100$

Відповідь: $Графік гіперболи з центром початку і з двома половинами відкритими вліво і вправо. Вершини знаходяться на осі x при ± 2.$

48)$\dfrac{x^2}{16}−\dfrac{y^2}{9}=1$

49)$x^2=12y$

Відповідь: $Графік параболи з вершиною початку і відкритою вгору.$

50)$y^2=20x$

51)$12x=5y^2$

Відповідь: $Графік параболи з вершиною початку і відкритою праворуч.$

Для рівнянь у вправах 52 - 57 визначте, який з конічних перерізів описаний.

52)$xy=4$

53)$x^2+4xy−2y^2−6=0$

Відповідь: Гіпербола

54)$x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2−6=0$

55)$x^2−xy+y^2−2=0$

Відповідь: Еліпс

56)$34x^2−24xy+41y^2−25=0$

57)$52x^2−72xy+73y^2+40x+30y−75=0$

Відповідь: Еліпс

58) Дзеркало в автомобільній фарі має параболічний перетин, з лампочкою в фокусі. На схемі рівняння параболи дається як$x^2=4y$. За якими координатами слід розміщувати лампочку?

59) Супутникова антена має форму параболоїда обертання. Приймач повинен розташовуватися у фокусі. Якщо блюдо 12 футів поперек біля його отвору і 4 фути глибиною в його центрі, де повинен бути розміщений приймач?

Відповідь: У точці на 2,25 футів вище вершини.

60) Розглянемо супутникову антену попередньої проблеми. Якщо блюдо 8 футів поперек біля отвору і 2 фути глибиною, де ми повинні розмістити приймач?

61) Прожектор має форму параболоїда обертання. Джерело світла розташовується в 1 футі від підстави уздовж осі симетрії. Якщо отвір прожектора становить 3 фути в поперечнику, знайдіть глибину.

Відповідь: $0.5625$ноги

62) Шепітні галереї - це кімнати, оформлені з еліптичними стелями. Людина, що стоїть біля одного вогнища, може шепотіти і бути почутим людиною, що стоїть біля іншого фокусу, оскільки всі звукові хвилі, які досягають стелі, відбиваються на іншу людину. Якщо шепіт галерея має довжину 120 футів, а осередки розташовані в 30 футах від центру, знайдіть висоту стелі в центрі.

63) Людина стоїть 8 футів від найближчої стіни в шепіт галереї. Якщо ця людина знаходиться в одному фокусі, а інший фокус знаходиться на відстані 80 футів, яка довжина і висота в центрі галереї?

Відповідь: Довжина 96 футів і висота приблизно 26.53 футів.

У вправах 64 - 67 визначають форму полярного рівняння орбіти з урахуванням довжини великої осі і ексцентриситету для орбіт комет або планет. Відстань задається в астрономічних одиницях (АС).

64) Комета Галлея: довжина великої осі =$35.88,$ ексцентриситет =$0.967$

65) Комета Хейла-Боппа: довжина великої осі =$525.91,$ ексцентриситет =$0.995$

Відповідь: $r=\dfrac{2.616}{1+0.995\cos θ}$

66) Марс: довжина великої осі =$3.049,$ ексцентриситет =$0.0934$

67) Юпітер: довжина великої осі =$10.408,$ ексцентриситет =$0.0484$

Відповідь: $r=\dfrac{5.192}{1+0.0484\cos θ}$