11.3E: Вправи для розділу 11.3

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61753

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У вправах 1 - 7 побудуйте точку, полярні координати якої задаються, спочатку побудувавши кут,$θ$ а потім відзначивши відстань$r$ вздовж променя.

1)$\left(3,\frac{π}{6}\right)$

Відповідь: $На полярній координатній площині проводиться промінь з маркуванням початку π/6 і малюється точка, коли ця лінія перетинає коло з радіусом 3.$

2)$\left(−2,\frac{5π}{3}\right)$

3)$\left(0,\frac{7π}{6}\right)$

Відповідь: $На полярній координатній площині проводиться промінь з маркуванням початку 7π/6 і малюється точка, коли ця лінія перетинає коло з радіусом 0, тобто позначає початок.$

4)$\left(−4,\frac{3π}{4}\right)$

5)$\left(1,\frac{π}{4}\right)$

Відповідь: $На полярній координатній площині проводиться промінь з маркуванням початку π/4 і малюється точка, коли ця лінія перетинає коло з радіусом 1.$

6)$\left(2,\frac{5π}{6}\right)$

7)$\left(1,\frac{π}{2}\right)$

Відповідь: $На полярній координатній площині проводиться промінь з маркуванням початку π/2 і малюється точка, коли ця лінія перетинає коло з радіусом 1.$

У вправах 8 - 11 розглянемо полярний графік нижче. Дайте два набори полярних координат для кожної точки.

$Полярна координатна площина ділиться на 12 пирогів. Точка А малюється на першому колі на першій спиці над рядком θ = 0 в першому квадранті. Точка Б малюється в четвертому квадранті на третьому колі, а друга спиця нижче лінії θ = 0. Точку С малюють на лінії θ = π на третьому колі. Точку D малюють на четвертому колі на першій спиці нижче лінії θ = π.$

8) Координати точки А.

9) Координати точки B.

Відповідь: $B\left(3,\frac{−π}{3}\right) B\left(−3,\frac{2π}{3}\right)$

10) Координати точки С.

11) Координати точки D.

Відповідь: $D\left(5,\frac{7π}{6}\right) D\left(−5,\frac{π}{6}\right)$

У вправах 12 - 17 задаються прямокутні координати точки. Знайти два набори полярних координат для точки в$(0,2π]$. Округлення до трьох знаків після коми.

12)$(2,2)$

13)$(3,−4)$

Відповідь: $(5,−0.927),\;(−5,−0.927+π)$

14)$(8,15)$

15)$(−6,8)$

Відповідь: $(10,−0.927),\;(−10,−0.927+π)$

16)$(4,3)$

17)$(3,−\sqrt{3})$

Відповідь: $(2\sqrt{3},−0.524),\;(−2\sqrt{3},−0.524+π)$

У вправах 18 - 24 знайти прямокутні координати для заданої точки в полярних координатах.

18)$\left(2,\frac{5π}{4}\right)$

19)$\left(−2,\frac{π}{6}\right)$

Відповідь: $(−\sqrt{3},−1)$

20)$\left(5,\frac{π}{3}\right)$

21)$\left(1,\frac{7π}{6}\right)$

Відповідь: $\left(−\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{−1}{2}\right)$

22)$\left(−3,\frac{3π}{4}\right)$

23)$\left(0,\frac{π}{2}\right)$

Відповідь: $(0,0)$

24)$(−4.5,6.5)$

У вправах 25 - 29 визначте, чи є графіки полярного рівняння симетричними щодо$x$$y$ -осі, -осі або початку.

25)$r=3\sin(2θ)$

Відповідь: Симетрія відносно осі x, осі y та початку.

26)$r^2=9\cos θ$

27)$r=\cos\left(\frac{θ}{5}\right)$

Відповідь: Симетричний лише відносно осі x.

28)$r=2\sec θ$

29)$r=1+\cos θ$

Відповідь: Симетрія лише відносно осі x.

У вправах 30 - 33 опишіть графік кожного полярного рівняння. Підтвердіть кожен опис шляхом перетворення в прямокутне рівняння.

30)$r=3$

31)$θ=\frac{π}{4}$

Відповідь: Лінія$y=x$

32)$r=\sec θ$

33)$r=\csc θ$

Відповідь: $y=1$

У вправах 34 - 36 перетворіть прямокутне рівняння в полярну форму і накидайте його графік.

34)$x^2+y^2=16$

35)$x^2−y^2=16$

Відповідь

Гіпербола; полярна форма$r^2\cos(2θ)=16$ або$r^2=16\sec θ.$

$Гіпербола з вершинами в (−4, 0) та (4, 0), перша вказує на квадранти II та III, а друга вказує на квадранти I та IV.$

36)$x=8$

У вправах 37 - 38 перетворіть прямокутне рівняння в полярну форму і накидайте його графік.

37)$3x−y=2$

Відповідь

$r=\frac{2}{3\cos θ−\sin θ}$

$Пряма лінія з нахилом 3 і y перехоплюють −2.$

38)$y^2=4x$

У вправах 39 - 43 перетворіть полярне рівняння в прямокутну форму і накидайте його графік.

39)$r=4\sin θ$

40)$x^2+y^2=4y$

Відповідь: $Коло радіусом 2 з центром в (2, π/2).$

41)$r=6\cos θ$

42)$r=θ$

Відповідь

$x\tan\sqrt{x^2+y^2}=y$

$Спіраль, що починається від початку і перетинає θ = π/2 між 1 і 2, θ = π між 3 і 4, θ = 3π/2 між 4 і 5, θ = 0 між 6 і 7, θ = π/2 між 7 і 8, і θ = π між 9 і 10.$

43)$r=\cot θ\csc θ$

У вправах 44 - 54 накидайте графік полярного рівняння і визначте будь-яку симетрію.

44)$r=1+\sin θ$

Відповідь

$y$-осьова симетрія

$Кардіоїд з верхньою серцевою частиною біля початку та рештою кардіоїда, орієнтованим вгору.$

45)$r=3−2\cos θ$

46)$r=2−2\sin θ$

Відповідь

$y$-осьова симетрія

$Кардіоїд з верхньою частиною серця біля початку, а решта кардіоїда орієнтована вниз.$

47)$r=5−4\sin θ$

48)$r=3\cos(2θ)$

Відповідь

$x$-і$y$ -осьова симетрія і симетрія навколо полюса

$Троянда з чотирма пелюстками, які досягають найдальшої протяжності від початку при θ = 0, π/2, π та 3π/2.$

49)$r=3\sin(2θ)$

50)$r=2\cos(3θ)$

Відповідь: $x$-осьова симетрія
$Троянда з трьома пелюстками, які досягають найдальшої протяжності від початку при θ = 0, 2π/3 та 4π/3.$

51)$r=3\cos\left(\frac{θ}{2}\right)$

52)$r^2=4\cos\left(\frac{2}{θ}\right)$

Відповідь

$x$-і$y$ -осьова симетрія і симетрія навколо полюса

$Символ нескінченності з точкою перетину на початку і з найдальшою протяжністю двох пелюсток, що знаходяться на θ = 0 і π.$

53)$r^2=4\sin θ$

54)$r=2θ$

Відповідь: відсутність симетрії
$Спіраль, яка починається з початку перетину лінії θ = π/2 між 3 і 4, θ = π між 6 і 7, θ = 3π/2 між 9 і 10, θ = 0 між 12 і 13, θ = π/2 між 15 і 16, і θ = π між 18 і 19.$

55) [T] Графік$r=2\cos(2θ)\sec(θ).$ називається строфоїдним. Використовуйте утиліту графіків для ескізу графіка та, виходячи з графіка, визначте асимптоту.

56) [T] Скористайтеся утилітою графіків та намалюйте графік$r=\dfrac{6}{2\sin θ−3\cos θ}$.

Відповідь: лінія
$Лінія, яка перетинає вісь у приблизно 3 і має нахил приблизно 3/2.$

57) [T] Використовуйте графічну утиліту для графіків$r=\frac{1}{1−\cos θ}$.

58) [T] Використовуйте технологію для графування$r=e^{\sin(θ)}−2\cos(4θ)$.

Відповідь: $Геометрична форма, яка нагадує метелика з більшими крилами в першому і другому квадрантах, менші крила в третьому і четвертому квадрантах, тіло вздовж лінії θ = π/2 і ноги по лініях θ = 0 і π.$

59) [T] Використовуйте технологію для побудови$r=\sin(\frac{3θ}{7})$ графіків (використовуйте інтервал$0≤θ≤14π$).

60) Не використовуючи технології, накидайте полярну криву$θ=\frac{2π}{3}$.

Відповідь: $Рядок з θ = 120°.$

61) [T] Використовуйте графічну утиліту$r=θ\sin θ$ для побудови графіків$−π≤θ≤π$.

62) [T] Використовуйте технологію$r=e^{−0.1θ}$ для побудови$−10≤θ≤10.$

Відповідь: $Спіраль, яка починається в третьому квадранті.$

63) [T] Існує крива, відома як «Чорна діра». Використовуйте технологію$r=e^{−0.01θ}$ для змови$−100≤θ≤100$.

64) [T] Використовуйте результати попередніх двох задач для вивчення графіків$r=e^{−0.001θ}$ і$r=e^{−0.0001θ}$ для$|θ|>100$.

Відповідь: Відповіді різняться. Одна з можливостей полягає в тому, що спіральні лінії стають ближче один до одного, а загальна кількість спіралей збільшується.