11.3: Полярні координати

Цілі навчання

• Знайдіть точки на площині за допомогою полярних координат.
• Перетворення точок між прямокутними і полярними координатами.
• Намалюйте полярні криві з даних рівнянь.
• Перетворення рівнянь між прямокутними та полярними координатами.
• Визначте симетрію в полярних кривих і рівняннях.

Прямокутна система координат (або декартова площина) забезпечує засіб відображення точок до впорядкованих пар і впорядкованих пар до точок. Це називається відображенням один до одного від точок у площині до впорядкованих пар. Полярна система координат забезпечує альтернативний метод відображення точок на впорядковані пари. У цьому розділі ми бачимо, що за деяких обставин полярні координати можуть бути кориснішими, ніж прямокутні координати.

Визначення полярних координат

Щоб знайти координати точки в полярній системі координат, розглянемо рис$\PageIndex{1}$. Точка$P$ має декартові координати$(x,y)$. Відрізок лінії, що з'єднує початок з точкою,$P$ вимірює відстань від початку до$P$ і має довжину$r$. Кут між позитивною віссю x та відрізком лінії має міру$θ$. Це спостереження говорить про природну відповідність між координатною парою$(x,y)$ і значеннями$r$ і$θ$. Ця відповідність є основою полярної системи координат. Зверніть увагу, що кожна точка декартової площини має два значення (звідси термін впорядкована пара), пов'язаних з нею. У полярній системі координат кожна точка також має два значення, пов'язані з нею:$r$ і$θ$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Довільна точка в декартовій площині.

Використовуючи тригонометрію прямокутника, для точки вірні наступні рівняння$P$:

$$\cos θ=\dfrac{x}{r}\text{ so }x=r\cos θ \nonumber$$

$$\sin θ=\dfrac{y}{r}\text{ so }y=r\sin θ. \nonumber$$

Крім того,

$$r^2=x^2+y^2 \nonumber$$

і

$$\tan θ=\dfrac{y}{x}. \nonumber$$

Тому кожна точка$(x,y)$ декартової системи координат може бути представлена у вигляді впорядкованої пари$(r,θ)$ в полярній системі координат. Перша координата називається радіальною координатою, а друга - кутовою координатою. Кожна точка на площині може бути представлена в такому вигляді.

Зауважте, що рівняння$\tan θ=y/x$ має нескінченну кількість розв'язків для будь-якої впорядкованої пари$(x,y)$. Однак, якщо ми обмежимо розв'язки значеннями між$0$ і$2π$ тоді ми можемо призначити унікальне рішення квадранту, в якому$(x,y)$ знаходиться вихідна точка. Тоді відповідне значення$r$ позитивне, так$r^2=x^2+y^2$.

Перетворення точок між системами координат

Враховуючи точку$P$ на площині з декартовими координатами$(x,y)$ та полярними координатами$(r,θ)$, такі формули перетворення мають значення:

$$\begin{align} x &=r\cos θ \label{eq1} \\[4pt] y &=r\sin θ \label{eq2}\end{align}$$

і

$$\begin{align} r^2 &= x^2+y^2 \label{eq3}\\[4pt] \tan θ &=\dfrac{y}{x} \label{eq4}\end{align}.$$

Ці формули можуть бути використані для перетворення з прямокутних в полярні або від полярних до прямокутних координат. Зверніть увагу, що рівняння\ ref {eq3} є теоремою Піфагора. (Малюнок$\PageIndex{1}$).

Приклад$\PageIndex{1}$: Converting between Rectangular and Polar Coordinates

Перетворіть кожну з наступних точок у полярні координати.

1. $(1,1)$
2. $(−3,4)$
3. $(0,3)$
4. $(5\sqrt{3},−5)$

Перетворіть кожну з наступних точок у прямокутні координати.

5. $(3,π/3)$
6. $(2,3π/2)$
7. $(6,−5π/6)$

Рішення

a. використовувати$x=1$ і$y=1$ в рівнянні\ ref {eq3}:

$$\begin{align*} r^2 &=x^2+y^2 \\[4pt] &=1^2+1^2 \\ r &=\sqrt{2} \end{align*} \nonumber$$

і через рівняння\ ref {eq4}

$$\begin{align*} \tan θ &= \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{1}=1 \\[4pt] θ &=\dfrac{π}{4}. \end{align*}$$

Тому цю точку можна представити$(\sqrt{2},\dfrac{π}{4})$ у вигляді полярних координат.

б. використовувати$x=−3$ і$y=4$ в рівнянні\ ref {eq3}:

$$\begin{align*} r^2 &= x^2+y^2=(−3)^2+(4)^2 \\[4pt] r&=5 \end{align*}$$

і через рівняння\ ref {eq4}

$\tan θ=\dfrac{y}{x}=−\dfrac{4}{3}$

$θ=\arctan(-\dfrac{4}{3})+π≈2.21.$

Тому цю точку можна представити$(5,2.21)$ у вигляді полярних координат.

c. використовувати$x=0$ і$y=3$ в рівнянні\ ref {eq3}:

$r^2=x^2+y^2=(3)^2+(0)^2=9+0$$r=3$

і через рівняння\ ref {eq4}

$\tan θ=\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{0}$.

Пряме застосування другого рівняння призводить до ділення на нуль. Графік точки$(0,3)$ на прямокутній системі координат показує, що точка розташована на позитивній осі Y. Кут між позитивною віссю x та позитивною віссю y дорівнює$\dfrac{π}{2}$. Тому цю точку можна представити$(3,\dfrac{π}{2})$ у вигляді полярних координат.

d Використовувати$x=5\sqrt{3}$ і$y=−5$ в рівнянні\ ref {eq3}:

$r^2=x^2+y^2=(5\sqrt{3})^2+(−5)^2=75+25$

$r=10$

і через рівняння\ ref {eq4}

$\tan θ=\dfrac{y}{x}=\dfrac{−5}{5\sqrt{3}}=−\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$θ=−\dfrac{π}{6}$.

Тому цю точку можна представити$(10,−\dfrac{π}{6})$ у вигляді полярних координат.

e Використовувати$r=3$ і$θ=\dfrac{π}{3}$ в рівнянні\ ref {eq1}:

$x=r\cos θ=3\cos(\dfrac{π}{3})=3(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$

і

$y=r\sin θ=3\sin(\dfrac{π}{3})=3(\dfrac{\sqrt{3}}{2})=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Тому цю точку можна представити$(\dfrac{3}{2},\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$ у вигляді прямокутних координат.

f Використовувати$r=2$ і$θ=\dfrac{3π}{2}$ в рівнянні\ ref {eq1}:

$x=r\cos θ=2\cos(\dfrac{3π}{2})=2(0)=0$

і

$y=r\sin θ=2\sin(\dfrac{3π}{2})=2(−1)=−2.$

Тому цю точку можна представити$(0,−2)$ у вигляді прямокутних координат.

g Використовувати$r=6$ і$θ=−\dfrac{5π}{6}$ в рівнянні\ ref {eq1}:

$x=r\cos θ=6\cos(−\dfrac{5π}{6})=6(−\dfrac{\sqrt{3}}{2})=−3\sqrt{3}$

і

$y=r\sin θ=6\sin(−\dfrac{5π}{6})=6(−\dfrac{1}{2})=−3$.

Тому цю точку можна представити$(−3\sqrt{3},−3)$ у вигляді прямокутних координат.

Вправа$\PageIndex{1}$

Перетворення$(−8,−8)$ в полярні координати і$(4,\dfrac{2π}{3})$ в прямокутні координати.

Підказка

Використовуйте рівняння\ ref {eq3} і рівняння\ ref {eq1}. Обов'язково перевіряйте квадрант при розрахунку$θ$.

Відповідь

$(8\sqrt{2},\dfrac{5π}{4})$і$(−2,2\sqrt{3})$

Полярне представлення точки не є унікальним. Наприклад, полярні координати$(2,\dfrac{π}{3})$ і$(2,\dfrac{7π}{3})$ обидва представляють точку$(1,\sqrt{3})$ в прямокутній системі. Також значення r може бути від'ємним. Тому точка з полярними координатами$(−2,\dfrac{4π}{3})$ також представляє точку$(1,\sqrt{3})$ в прямокутній системі, як ми бачимо за допомогою Equation\ ref {eq1}:

$$x=r\cos θ=−2\cos(\dfrac{4π}{3})=−2(−\dfrac{1}{2})=1 \nonumber$$

і

$$y=r\sin θ=−2\sin(\dfrac{4π}{3})=−2(−\dfrac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{3}. \nonumber$$

Кожна точка на площині має нескінченну кількість зображень у полярних координатах. Однак кожна точка на площині має лише одне уявлення в прямокутній системі координат.

Зверніть увагу, що полярне зображення точки в площині також має візуальну інтерпретацію. Зокрема,$r$ це спрямована відстань, яку точка лежить від початку, і$θ$ вимірює кут, який відрізок лінії від початку до точки робить з позитивною$x$ -віссю. Позитивні кути вимірюються в напрямку проти годинникової стрілки, а негативні - за годинниковою стрілкою. Полярна система координат відображається на рисунку$\PageIndex{2}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Полярна система координат.

Відрізок лінії, що починається від центру графіка, що йде вправо (називається позитивною віссю x в декартовій системі), є полярною віссю. Центральна точка є полюсом, або початком, системи координат, і відповідає$r=0$. Сама внутрішня окружність, показана на малюнку,$\PageIndex{2}$ містить всі точки на відстані 1 одиниці від полюса, і представлена рівнянням$r=1$. Потім$r=2$ йде набір точок 2 одиниці від полюса і так далі. Відрізки лінії, що виходять від полюса, відповідають фіксованим кутам. Для побудови точки в полярній системі координат почніть з кута. Якщо кут позитивний, то виміряйте кут від полярної осі в напрямку проти годинникової стрілки. Якщо він негативний, то вимірюйте його за годинниковою стрілкою. Якщо значення r позитивне, перемістіть цю відстань уздовж кінцевого променя кута. Якщо він негативний, рухайтеся уздовж променя, який знаходиться навпроти кінцевого променя заданого кута.

Приклад$\PageIndex{2}$: Plotting Points in the Polar Plane

Покладіть кожну з наступних точок на полярній площині.

1. $(2,\dfrac{π}{4})$
2. $(−3,\dfrac{2π}{3})$
3. $(4,\dfrac{5π}{4})$

Рішення

Три точки побудовані на малюнку$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Три точки побудовані в полярній системі координат.

Вправа$\PageIndex{2}$

Ділянка$(4,\dfrac{5π}{3})$ і$(−3,−\dfrac{7π}{2})$ на полярній площині.

Підказка

Почніть з$θ$, потім використовуйте$r$.

Відповідь

Полярні криві

Тепер, коли ми знаємо, як побудувати точки в полярній системі координат, ми можемо обговорити, як побудувати криві. У прямокутній системі координат ми можемо намалювати функцію$y=f(x)$ та створити криву в декартовій площині. Аналогічним чином ми можемо графікувати криву, яка генерується функцією$r=f(θ)$.

Загальна ідея графікування функції в полярних координатах така ж, як графікування функції в прямокутних координатах. Почніть зі списку значень незалежної змінної ($θ$в даному випадку) і обчислите відповідні значення залежної змінної$r$. Цей процес генерує список впорядкованих пар, які можуть бути побудовані в полярній системі координат. Нарешті, з'єднайте точки і скористайтеся будь-якими візерунками, які можуть з'явитися. Функція може бути періодичною, наприклад, що вказує на те, що для незалежної змінної потрібна лише обмежена кількість значень.

Стратегія вирішення проблем: побудова кривої в полярних координатах

1. Створіть таблицю з двома стовпцями. Перший стовпець - for$θ$, а другий стовпець - для$r$.
2. Створіть список значень для$θ$.
3. Обчисліть відповідні$r$ значення для кожного$θ$.
4. Покладіть кожну$(r,θ)$ впорядковану пару на осях координат.
5. З'єднайте точки і шукайте викрійку.

Приклад$\PageIndex{3}$: Graphing a Function in Polar Coordinates

Графік кривої, визначеної функцією$r=4\sin θ$. Визначте криву і перепишіть рівняння в прямокутні координати.

Рішення

Оскільки функція кратна синусоїдальної функції, вона є періодичною з періодом$2π$, тому використовуйте значення для$θ$ між$0$ і$2π$. Результат кроків 1—3 відображається в наступній таблиці. $\PageIndex{4}$На малюнку показаний графік, заснований на цій таблиці.

$θ$	$r=4\sin θ$	$θ$	$r=4\sin θ$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 0	\ (r=4\ sin θ\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: середина; "> 0	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$π$	\ (r=4\ sin θ\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: середина; "> 0
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{π}{6}$	\ (r=4\ sin θ\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: середина; "> 2	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{7π}{6}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$-2$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{π}{4}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2\sqrt{2}≈2.8$	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{5π}{4}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$−2\sqrt{2}≈−2.8$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{π}{3}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2\sqrt{3}≈3.4$	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{4π}{3}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$−2\sqrt{3}≈−3.4$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{π}{2}$	\ (r=4\ sin θ\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: середина; "> 4	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3π}{2}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$-4$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{2π}{3}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2\sqrt{3}≈3.4$	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{5π}{3}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$−2\sqrt{3}≈−3.4$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3π}{4}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2\sqrt{2}≈2.8$	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{7π}{4}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$−2\sqrt{2}≈−2.8$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{5π}{6}$	\ (r=4\ sin θ\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: середина; "> 2	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{11π}{6}$	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">−2
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">	\ (r=4\ sin θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2π$	\ (r=4\ sin θ\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: середина; "> 0

Малюнок$\PageIndex{4}$: Графік функції$r=4\sin θ$ являє собою коло.

Це графік кола. Рівняння$r=4\sin θ$ можна перетворити в прямокутні координати, попередньо помноживши обидві сторони на$r$. Це дає рівняння$r^2=4r\sin θ.$ Далі використовувати факти, які$r^2=x^2+y^2$ і$y=r\sin θ$. Це дає$x^2+y^2=4y$. Щоб поставити це рівняння в стандартну форму, відніміть$4y$ з обох сторін рівняння і заповніть квадрат:

$$\begin{align*} x^2+y^2−4y &= 0 \\[4pt] x^2+(y^2−4y) &= 0 \\[4pt] x^2+(y^2−4y+4) &= 0+4 \\[4pt] x^2+(y−2)^2&=4 \end{align*}$$

Це рівняння кола з радіусом 2 і центром$(0,2)$ в прямокутній системі координат.

Вправа$\PageIndex{3}$

Створіть графік кривої, визначеної функцією$r=4+4\cos θ$.

Підказка

Дотримуйтесь стратегії вирішення проблем для створення графа в полярних координатах.

Відповідь

Назва цієї форми - кардіоїдна, яку ми вивчимо далі в цьому розділі.

Графік$\PageIndex{3}$ у прикладі - це коло. Рівняння кола можна перетворити в прямокутні координати за допомогою формул перетворення координат в Equation\ ref {eq1}. У прикладі$\PageIndex{4}$ наведено кілька прикладів функцій для перетворення з полярних до прямокутних координат.

Приклад$\PageIndex{4}$: Transforming Polar Equations to Rectangular Coordinates

Перепишіть кожне з наступних рівнянь в прямокутних координатах і визначте графік.

1. $θ=\dfrac{π}{3}$
2. $r=3$
3. $r=6\cos θ−8\sin θ$

Рішення:

а. візьміть тангенс обох сторін. Це дає$\tan θ=\tan(π/3)=\sqrt{3}$ .Оскільки$\tan θ=y/x$ ми можемо замінити ліву частину цього рівняння на$y/x$. Це дає$y/x=\sqrt{3}$, який можна переписати як$y=x\sqrt{3}$. Це рівняння прямої, що проходить через початок з нахилом$\sqrt{3}$. Взагалі, будь-яке полярне рівняння виду$θ=K$ являє собою пряму лінію через полюс з нахилом, рівним$\tan K$.

б. по-перше, квадрат обидві сторони рівняння. Це дає$r^2=9.$ Next$r^2$ замінити на$x^2+y^2$. Це дає рівняння$x^2+y^2=9$, яке є рівнянням окружності з центром у початку з радіусом 3. Загалом, будь-яке полярне рівняння виду,$r=k$ де k - додатна константа, являє собою коло радіуса k з центром у початку. (Примітка: при квадратизації обох сторін рівняння можна ненавмисно вводити нові точки. Це завжди слід враховувати. Однак в даному випадку ми не вводимо нових пунктів. Наприклад,$(−3,\dfrac{π}{3})$ це та ж точка, що і$(3,\dfrac{4π}{3})$.)

c Помножити обидві сторони рівняння на$r$. Це призводить до$r^2=6r\cos θ−8r\sin θ$. Далі використовуйте формули

$r^2=x^2+y^2,x=r\cos θ,y=r\sin θ.$

Це дає

$r^2=6(r\cos θ)−8(r\sin θ)$

$x^2+y^2=6x−8y.$

Щоб поставити це рівняння в стандартну форму, спочатку перемістіть змінні з правого боку рівняння в ліву сторону, потім завершіть квадрат.

$x^2+y^2=6x−8y$

$x^2−6x+y^2+8y=0$

$(x^2−6x)+(y^2+8y)=0$

$(x^2−6x+9)+(y^2+8y+16)=9+16$

$(x−3)^2+(y+4)^2=25.$

Це рівняння кола з центром в$(3,−4)$ і радіусом 5. Зверніть увагу, що коло проходить через початок, оскільки центр знаходиться на відстані 5 одиниць.

Вправа$\PageIndex{4}$

Перепишіть рівняння$r=\sec θ\tan θ$ в прямокутних координатах і визначте його графік.

Підказка

Перетворити на синус і косинус, потім помножити обидві сторони на косинус.

Відповідь

$y=x^2$, Що є рівнянням параболи, що відкривається вгору.

Зараз ми бачили кілька прикладів малювання графіків кривих, визначених полярними рівняннями. Короткий опис деяких загальних кривих наведено в таблицях нижче. У кожному рівнянні a і b - довільні константи.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Малюнок$\PageIndex{6}$

Кардіоїд - це особливий випадок limaçon (вимовляється «лі-мах-сон»), в якому$a=b$ або$a=−b$. Троянда це дуже цікава крива. Зверніть увагу, що графік$r=3\sin 2θ$ має чотири пелюстки. Однак графік$r=3\sin 3θ$ має три пелюстки, як показано на малюнку.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Графік$r=3\sin 3θ$.

Якщо коефіцієнт$θ$ парний, графік має вдвічі більше пелюсток, ніж коефіцієнт. Якщо коефіцієнт$θ$ непарний, то кількість пелюсток дорівнює коефіцієнту. Вам рекомендується вивчити, чому це відбувається. Ще більш цікаві графіки з'являються, коли коефіцієнт не$θ$ є цілим числом. Наприклад, якщо раціонально, то крива замкнута; тобто вона в кінцевому підсумку закінчується там, де почалася (рис.$\PageIndex{8a}$). Однак якщо коефіцієнт нераціональний, то крива ніколи не замикається (рис.$\PageIndex{8b}$). Хоча може здатися, що крива замкнута, при уважному розгляді виявляється, що пелюстки трохи вище позитивної осі x трохи товщі. Це пояснюється тим, що пелюстка не зовсім збігається з початковою точкою.

Рисунок$\PageIndex{8}$: Графіки полярних троянд функцій з (а) раціональним коефіцієнтом та (b) ірраціональним коефіцієнтом. Зауважте, що троянда в частині (b) фактично заповнила б все коло, якщо вона побудована повністю.

Оскільки крива, визначена графіком$r=3\sin(πθ)$ ніколи не замикається, крива, зображена на малюнку,$\PageIndex{8b}$ є лише частковим зображенням. По суті, це приклад кривої заповнення простору. Крива заповнення простору - це та, яка фактично займає двовимірну підмножину реальної площини. У цьому випадку крива займає коло радіуса 3 з центром у початковій точці.

Приклад$\PageIndex{5}$: Describing a Spiral

Нагадаємо, патерний наутілус, введений в главі прелюдії. Ця істота відображає спіраль, коли половина зовнішньої оболонки відрізана. Можна описати спіраль за допомогою прямокутних координат. $\PageIndex{9}$На малюнку зображена спіраль в прямокутних координатах. Як ми можемо описати цю криву математично?

Малюнок$\PageIndex{9}$: Як математично описати спіральний графік?

Рішення

Коли точка P рухається навколо спіралі в напрямку проти годинникової стрілки, її відстань d від початку збільшується. Припустімо, що відстань d є постійною кратною k кута$θ$, який робить відрізок лінії OP з додатною віссю x. Тому$d(P,O)=kθ$,$O$ де походження. Тепер скористайтеся формулою відстані і деякою тригонометрією:

$d(P,O)=kθ$

$\sqrt{(x−0)^2+(y−0)^2}=k\arctan(\dfrac{y}{x})$

$\sqrt{x^2+y^2}=k\arctan(\dfrac{y}{x})$

$\arctan(\dfrac{y}{x})=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{k}$

$y=x\tan(\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{k})$.

Хоча це рівняння описує спіраль, неможливо вирішити його безпосередньо ні для x, ні y, однак, якщо ми використовуємо полярні координати, рівняння стає набагато простішим. Зокрема$d(P,O)=r$, і$θ$ є другою координатою. Тому рівняння для спіралі стає$r=kθ$. Зверніть увагу, що коли$θ=0$ ми також маємо$r=0$, так спіраль виходить від походження. Ми можемо зняти це обмеження, додавши константу до рівняння. Тоді рівняння для спіралі стає$r=a+kθ$ для довільних констант$a$ і$k$. Це називається Архімедова спіраль, на честь грецького математика Архімеда.

Інший тип спіралі - логарифмічна спіраль, описана функцією$r=a⋅b^θ$. Графік функції$r=1.2(1.25^θ)$ наведено на рисунку$\PageIndex{10}$. Ця спіраль описує форму раковини патерного наутілуса.

Малюнок$\PageIndex{10}$: Логарифмічна спіраль схожа на форму фасонної оболонки наутілуса. (кредит: модифікація роботи Jitze Couperus, Flickr)

Припустимо, що крива описується в полярній системі координат за допомогою функції$r=f(θ)$. Оскільки у нас є формули перетворення з полярних до прямокутних координат, заданих

$$x=r\cos θ \nonumber$$

$$y=r\sin θ \nonumber$$ ,

можна переписати ці формули за допомогою функції

$$x=f(θ)\cos θ \nonumber$$

$$y=f(θ)\sin θ. \nonumber$$

Цей крок дає параметризацію кривої в прямокутних координатах, використовуючи в$θ$ якості параметра. Наприклад, формула спіралі$r=a+bθ$ з малюнка стає

$$x=(a+bθ)\cos θ \nonumber$$

$$y=(a+bθ)\sin θ. \nonumber$$

Допускаючи$θ$ діапазон від$−∞$ до$∞$ генерує всю спіраль.

Симетрія в полярних координатах

При вивченні симетрії функцій в прямокутних координатах (тобто у вигляді$y=f(x)$) ми говоримо про симетрію щодо осі y і симетрії щодо початку. Зокрема, якщо$f(−x)=f(x)$ для всіх$x$ в області$f$, то$f$ є парна функція і її графік симетричний по відношенню до осі y. Якщо$f(−x)=−f(x)$ для всіх x в області$f$, то f - непарна функція, а її графік симетричний щодо походження. Визначивши, які типи симетрії проявляє графік, ми можемо дізнатися більше про форму і зовнішній вигляд графіка. Симетрія також може виявити інші властивості функції, яка генерує графік. Аналогічним чином працює симетрія в полярних кривих.

Симетрія в полярних кривих і рівняннях

Розглянемо криву,$r=f(θ)$ породжену функцією в полярних координатах.

1. Крива симетрична щодо полярної осі, якщо для кожної точки$(r,θ)$ на графіку точка також$(r,−θ)$ знаходиться на графіку. Аналогічно рівняння$r=f(θ)$ незмінне шляхом$θ$ заміни на$−θ$.
2. Крива симетрична щодо полюса, якщо для кожної точки$(r,θ)$ на графіку точка також$(r,π+θ)$ знаходиться на графіку. Аналогічно рівняння$r=f(θ)$ незмінне$r$ при заміні на$−r$, або$θ$ з$π+θ.$
3. Крива симетрична щодо вертикальної лінії,$θ=\dfrac{π}{2}$ якщо для кожної точки$(r,θ)$ на графіку точка також$(r,π−θ)$ знаходиться на графіку. Аналогічно$r=f(θ)$ рівняння незмінне$θ$ при заміні на$π−θ$.

У наступній таблиці наведені приклади кожного типу симетрії.

Приклад$\PageIndex{6}$: Using Symmetry to Graph a Polar Equation

Знайдіть симетрію троянди, визначену рівнянням,$r=3\sin(2θ)$ і створіть графік.

Рішення

Припустимо$(r,θ)$, точка знаходиться на графіку$r=3\sin(2θ).$

i. щоб перевірити на симетрію навколо полярної осі, спочатку спробуйте$θ$ замінити на$−θ$. Це дає$r=3\sin(2(−θ))=−3\sin(2θ)$. Оскільки це змінює вихідне рівняння, цей тест не задовольняється. Однак, повертаючись до вихідного рівняння і замінивши на$−r$ і$r$$θ$ з$π−θ$ врожайністю

$$\begin{align*} −r&=3\sin(2(π−θ)) \\[4pt] −r &=3\sin(2π−2θ) \\[4pt] −r &=3\sin(−2θ) \\[4pt] −r &=−3\sin2θ. \end{align*}$$

Множення обох сторін цього рівняння на$−1$ дає$r=3\sin 2θ$, що є вихідним рівнянням. Це демонструє, що графік симетричний щодо полярної осі.

II. Щоб перевірити на симетрію по відношенню до полюса, спочатку$r$ замініть на$−r$, який дає$−r=3\sin(2θ)$. Множення обох сторін на$−1$ дає$r=−3\sin(2θ)$, що не узгоджується з вихідним рівнянням. Тому рівняння не проходить тест на цю симетрію. Однак повернення до вихідного рівняння і$θ$ заміна на$θ+π$ дає

$$\begin{align*} r&=3\sin(2(θ+π)) \\[4pt] &=3\sin(2θ+2π) \\[4pt] &=3(\sin 2θ \cos 2π + \cos 2θ \sin 2π) \\[4pt] &=3\sin 2θ. \end{align*}$$

Оскільки це узгоджується з вихідним рівнянням, графік симетричний щодо полюса.

III. Щоб перевірити симетрію щодо вертикальної лінії$θ=\dfrac{π}{2}$, спочатку замініть обидва на$−r$ і$r$$θ$ з$−θ$.

$$\begin{align*} −r &=3\sin(2(−θ)) \\[4pt] −r &=3\sin(−2θ) \\[4pt] −r &=−3 \sin 2θ. \end{align*}$$

Множення обох сторін цього рівняння на$−1$ дає$r=3\sin 2θ$, що є вихідним рівнянням. Тому графік симетричний щодо вертикальної лінії$θ=\dfrac{π}{2}$.

Цей графік має симетрію щодо полярної осі, початку та вертикальної лінії, що проходить через полюс. Для побудови графіка функції складіть в таблицю значень$θ$ між,$0$$π/2$ а потім відобразіть отриманий графік.

0	0
$\dfrac{π}{6}$	$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}≈2.6$
$\dfrac{π}{4}$	3
$\dfrac{π}{3}$	$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}≈2.6$
$\dfrac{π}{2}$	0

Це дає один пелюстка троянди, як показано на наступному графіку.

Малюнок$\PageIndex{11}$: Графік рівняння між$θ=0$ і$θ=π/2.$

Відображення цього зображення в інших трьох квадрантах дає весь графік, як показано на малюнку.

Малюнок$\PageIndex{12}$: Весь графік рівняння називається чотирипелюсткової трояндою.

Вправа$\PageIndex{5}$Symmetry

Визначте симетрію графіка, визначеного рівнянням,$r=2\cos(3θ)$ і створіть графік.

Підказка

Використовуйте Примітку.

Відповідь

Симетричний щодо полярної осі.

Ключові концепції

• Полярна система координат забезпечує альтернативний спосіб розташування точок на площині.
• Перетворення точок між прямокутними і полярними координатами за допомогою формул

$$x=r\cos θ \text{ and } y=r\sin θ \nonumber$$

і

$$r=\sqrt{x^2+y^2} \text{ and} \tan θ=\dfrac{y}{x}. \nonumber$$

• Щоб намалювати полярну криву з заданої полярної функції, складіть таблицю значень і скористайтеся періодичними властивостями.
• Використовуйте формули перетворення для перетворення рівнянь між прямокутними та полярними координатами.
• Визначте симетрію в полярних кривих, які можуть відбуватися через полюс, горизонтальну вісь або вертикальну вісь.

Глосарій

кутова координата

$θ$кут, утворений відрізком лінії, що з'єднує початок з точкою в полярній системі координат з позитивною радіальною (x) віссю, виміряною проти годинникової стрілки

кардіоїдних

плоска крива простежується точкою по периметру кола, яка рухається навколо фіксованого кола того ж радіуса; рівняння кардіоїдних є$r=a(1+\sin θ)$ або$r=a(1+\cos θ)$

Лімасон

графік рівняння$r=a+b\sin θ$ або$r=a+b\cos θ.$ Якщо$a=b$ тоді графік кардіоїдний

полярна вісь

горизонтальна вісь у полярній системі координат, що відповідає$r≥0$

полярна система координат

система розташування точок в площині. Координати є$r$, радіальна координата та$θ$ кутова координата

полярне рівняння

рівняння або функція, що стосуються радіальної координати з кутовою координатою в полярній системі координат

полюс

центральна точка полярної системи координат, еквівалентна початку декартової системи

радіальна координата

$r$координата в полярній системі координат, яка вимірює відстань від точки в площині до полюса

троянда

графік полярного рівняння$r=a\cos 2θ$ або$r=a\sin 2θ$ для додатної константи$a$

крива заповнення простору

крива, яка повністю займає двовимірну підмножину реальної площини