10.5: Глава 10 Огляд вправ

Правда чи брехня? У вправах 1 - 4 обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.

1) Якщо радіус збіжності для степеневого ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ дорівнює$5$, то радіус збіжності для ряду також$\displaystyle \sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}$ є$5$.

Відповідь

Правда

2) Силові серії можуть бути використані, щоб показати, що похідна від$e^x$ є$e^x$. (Підказка: нагадайте, що$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}x^n.$)

3) Для малих значень$x,$$\sin x ≈ x.$

Відповідь

Правда

4) Радіус збіжності для ряду Маклоріна$f(x)=3^x$ є$3$.

У вправах 5 - 8 знайти радіус збіжності і інтервал збіжності для заданого ряду.

5)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞n^2(x−1)^n$

Відповідь

РПЦ:$1$; МОК:$(0,2)$

6)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n^n}$

7)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{3nx^n}{12^n}$

Відповідь

РПЦ:$12;$ МОК:$(−16,8)$

8)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{e^n}(x−e)^n$

У вправах 9 - 10 знайдіть уявлення степеневого ряду для даної функції. Визначте радіус збіжності та інтервал збіжності для цього ряду.

9)$f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}$

Відповідь

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{3^{n+1}}x^n;$РПЦ:$3$; МОК:$(−3,3)$

10)$f(x)=\dfrac{8x+2}{2x^2−3x+1}$

У вправах 11 - 12 знайти ряди степенів для даної функції за допомогою термінової диференціації або інтеграції.

11)$f(x)=\tan^{−1}(2x)$

Відповідь

інтеграція:$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{2n+1}(2x)^{2n+1}$

12)$f(x)=\dfrac{x}{(2+x^2)^2}$

У вправах 13 - 14 оцініть розширення ряду Тейлора четвертого ступеня для даної функції в зазначеній точці. Що таке похибка в наближенні?

13)$f(x)=x^3−2x^2+4, \quad a=−3$

Відповідь

$p_4(x)=(x+3)^3−11(x+3)^2+39(x+3)−41;$точний

14)$f(x)=e^{1/(4x)}, \quad a=4$

У вправах 15 - 16 знайти ряд Маклорена для даної функції.

15)$f(x)=\cos(3x)$

Відповідь

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(3x)^{2n}}{2n!}$

16)$f(x)=\ln(x+1)$

У вправах 17 - 18 знайдіть ряд Тейлора за заданим значенням.

17)$f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}$

Відповідь

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n)!}\left(x−\frac{π}{2}\right)^{2n}$

18)$f(x)=\dfrac{3}{x},\quad a=1$

У вправах 19 - 20 знайдіть ряд Маклорена для даної функції.

19)$f(x)=e^{−x^2}−1$

Відповідь

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{n!}x^{2n}$

20)$f(x)=\cos x−x\sin x$

У вправах 21 - 23 знайти ряд Маклоріна для$F(x)=∫^x_0f(t)dt$ шляхом інтеграції ряду Маклоріна$f(x)$ термін за терміном.

21)$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$

Відповідь

$\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}$

22)$f(x)=1−e^x$

23) Використовуйте силові ряди, щоб довести формулу Ейлера:$e^{ix}=cosx+isinx$

Відповідь

Відповіді можуть відрізнятися.

Вправи 24 - 26 розглядають проблеми ануїтетних виплат.

24) Для ануїтетів з поточною вартістю$$1$ мільйона, обчислити щорічні виплати, наведені протягом$25$ багатьох років, припускаючи процентні ставки$1\%,5\%$, і$10\%.$

25) Переможець лотереї має ануїтет, який має теперішню вартість$$10$ мільйона. Яка процентна ставка їм потрібна, щоб жити на безстрокові щорічні платежі$$250,000$?

Відповідь

$2.5\%$

26) Обчисліть необхідну поточну вартість ануїтету з метою підтримки щорічних виплат$$15,000$ даного протягом$25$ багатьох років, беручи на себе процентні ставки$1\%,5\%$, і$10\%.$