Search

13.2: Обчислення векторно-значних функцій
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/13%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97/13.02%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9
Для вивчення числення векторно-значних функцій ми слідуємо аналогічним шляхом до того, який ми взяли при вивченні дійсних функцій. Спочатку визначаємо похідну, потім вивчаємо додатки похідної, потім п...Для вивчення числення векторно-значних функцій ми слідуємо аналогічним шляхом до того, який ми взяли при вивченні дійсних функцій. Спочатку визначаємо похідну, потім вивчаємо додатки похідної, потім переходимо до визначення інтегралів. Однак ми знайдемо кілька цікавих нових ідей на цьому шляху в результаті векторної природи цих функцій та властивостей космічних кривих.
16.6E: Вправи для розділу 16.6
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/16%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F/16.06%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8/16.6E%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D1%96%D0%BB%D1%83_16.6
Compute $\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} - 5y\,\mathbf{\hat j} + 4z\,\mathbf{\hat k}$ and $\vecs N$ is an outward normal vector...Compute $\displaystyle \int \int_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} - 5y\,\mathbf{\hat j} + 4z\,\mathbf{\hat k}$ and $\vecs N$ is an outward normal vector $S,$ where $S$ is the union of two squares $S_1$ : $x = 0, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$ and $S_2 \, : \, x = 0, \, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$ .
12.8: Глава 12 Огляд вправ
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/12%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8_%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96/12.08%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0_12_%D0%9E%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D0%B4_%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2
1) Для векторів $\vecs a$ і $\vecs b$ і будь-якого заданого скаляра $c, \, c(\vecs a⋅\vecs b)=(c\vecs a)⋅\vecs b.$ 2) Для векторів $\vecs a$ і $\vecs b$ і будь-якого заданого скаляра\( c, \, c(\...1) Для векторів $\vecs a$ і $\vecs b$ і будь-якого заданого скаляра $c, \, c(\vecs a⋅\vecs b)=(c\vecs a)⋅\vecs b.$ 2) Для векторів $\vecs a$ і $\vecs b$ і будь-якого заданого скаляра $c, \, c(\vecs a×\vecs b)=(c\vecs a)×\vecs b$ . 4) Якщо $\vecs a⋅\vecs b=0,$ то $\vecs a$ перпендикулярно $\vecs b$ . 6) $\vecs a=2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}−9\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs b=−\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{k}},\quad \vecs c=4\hat{\mathbf{i}}−2\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$
17.4E: Вправи для розділу 17.4
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/17%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83/17.04%3A_%D0%A0%D1%8F%D0%B4%D0%B8_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BA%D1%96%D0%B2_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D1%8C/17.4E%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D1%96%D0%BB%D1%83_17.4
$\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{(x)^{2n}}{(2n)!}+c_1 \sum_{n=0}^∞ \frac{(x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{x^{2n}}{n!}=c_0e^{x^2}$ \(\displaystyle y=c_0 \sum_{n=... $\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{(x)^{2n}}{(2n)!}+c_1 \sum_{n=0}^∞ \frac{(x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{x^{2n}}{n!}=c_0e^{x^2}$ $\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{x^{2n}}{2^nn!}+c_1 \sum_{n=0}^∞ \frac{x^{2n+1}}{1⋅3⋅5⋅7⋯(2n+1)}$ 13. $x^2y″+xy′+(x^2−1)y=0$ Диференціальне рівняння - це рівняння Бесселя порядку $1.$ Використовуйте степеневий ряд форми, $\displaystyle y=\sum_{n=0}^∞ a_nx^n$ щоб знайти рішення.
14.5: Правило ланцюга для багатоваріантних функцій
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/14%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9_%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D1%85_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85/14.05%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%8E%D0%B3%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B1%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9
В однозмінному численні ми виявили, що одним з найбільш корисних правил диференціації є правило ланцюга, яке дозволяє знайти похідну від складу двох функцій. Те ж саме справедливо і для багатоваріантн...В однозмінному численні ми виявили, що одним з найбільш корисних правил диференціації є правило ланцюга, яке дозволяє знайти похідну від складу двох функцій. Те ж саме справедливо і для багатоваріантного обчислення, але на цей раз нам доводиться мати справу з більш ніж однією формою правила ланцюга. У цьому розділі ми вивчимо розширення правила ланцюга і дізнаємося, як приймати похідні композицій функцій більш ніж однієї змінної.
11.5: Конічні перерізи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/11%3A_%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8/11.05%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B7%D0%B8
Конічні перерізи отримали свою назву тому, що вони можуть бути створені шляхом перетину площини з конусом. Конус має дві однакові за формою частини, які називаються ворсом. Конічні перерізи генеруютьс...Конічні перерізи отримали свою назву тому, що вони можуть бути створені шляхом перетину площини з конусом. Конус має дві однакові за формою частини, які називаються ворсом. Конічні перерізи генеруються перетином площини з конусом. Якщо площина паралельна осі обертання (осі Y), то конічний перетин - гіпербола. Якщо площина паралельна формує лінії, то конічний переріз є параболою. Якщо площина перпендикулярна осі обертання, конічний перетин - це коло.
17.4: Ряди розв'язків диференціальних рівнянь
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/17%3A_%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83/17.04%3A_%D0%A0%D1%8F%D0%B4%D0%B8_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BA%D1%96%D0%B2_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D1%8C
У деяких випадках для пошуку розв'язків диференціальних рівнянь можна використовувати степеневі ряди представлення функцій та їх похідних.
4.10: Антипохідні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/04%3A_%D0%97%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D1%85/4.10%3A_%D0%90%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96
На цьому етапі ми бачили, як обчислити похідні багатьох функцій, і були ознайомлені з різноманітними їх застосуваннями. Тепер ми задаємо питання, яке обертає цей процес навколо: З огляду на функцію f,...На цьому етапі ми бачили, як обчислити похідні багатьох функцій, і були ознайомлені з різноманітними їх застосуваннями. Тепер ми задаємо питання, яке обертає цей процес навколо: З огляду на функцію f, як ми знаходимо функцію з похідною f і чому б нас зацікавила така функція?
15.7: Зміна змінних в декількох інтегралах
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/15%3A_%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F/15.07%3A_%D0%97%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D1%85_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%85
При вирішенні інтеграційних задач ми робимо відповідні заміни, щоб отримати інтеграл, який стає набагато простішим, ніж початковий інтеграл. Ми також використовували цю ідею, коли ми перетворювали под...При вирішенні інтеграційних задач ми робимо відповідні заміни, щоб отримати інтеграл, який стає набагато простішим, ніж початковий інтеграл. Ми також використовували цю ідею, коли ми перетворювали подвійні інтеграли в прямокутні координати в полярні координати і перетворювали потрійні інтеграли в прямокутні координати в циліндричні або сферичні координати, щоб спростити обчислення.
3.8: Неявна диференціація
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/03%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96/3.08%3A_%D0%9D%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F
Використовується неявна диференціація для пошуку похідних неявно визначених функцій (функцій, визначених рівняннями). Використовуючи неявне диференціювання, ми можемо знайти рівняння дотичної лінії до...Використовується неявна диференціація для пошуку похідних неявно визначених функцій (функцій, визначених рівняннями). Використовуючи неявне диференціювання, ми можемо знайти рівняння дотичної лінії до графіка кривої.
10.4: Робота з серією Тейлора
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/10%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B6%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F/10.04%3A_%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D0%B7_%D1%81%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%94%D1%8E_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0
У цьому розділі ми показуємо, як використовувати ці серії Тейлора для отримання серії Тейлора для інших функцій. Потім ми представляємо два загальних застосування силових рядів. Спочатку ми покажемо, ...У цьому розділі ми показуємо, як використовувати ці серії Тейлора для отримання серії Тейлора для інших функцій. Потім ми представляємо два загальних застосування силових рядів. Спочатку ми покажемо, як силові ряди можуть бути використані для розв'язання диференціальних рівнянь. По-друге, показано, як степеневі ряди можуть бути використані для оцінки інтегралів, коли антипохідне цілого не може бути виражено термінами елементарних функцій.