11.6: Глава 11 Огляд вправ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61697

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або зустрічнимприкладом.

1) Прямокутні$\left(4,\frac{5π}{6}\right)$ координати точки$\left(2\sqrt{3},−2\right).$

2) Рівняння$x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)$ являють собою гіперболу.

Відповідь: Правда

3) Довжина дуги спіралі, заданої$r=\dfrac{θ}{2}$ for,$0≤θ≤3π$ є$\frac{9}{4}π^3$ одиницями.

4) Дано$x=f(t)$ і$y=g(t)$, якщо$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}$,$C$ то$f(t)=g(t)+C,$ де константа.

Відповідь: Помилкові. Уявіть$y=t+1, \; x=−t+1.$

У вправах 5 -8 накидайте параметричну криву і усуньте параметр, щоб знайти декартове рівняння кривої.

5)$x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1$

6)$x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1$

Відповідь

$y=1−x^3$

$Графік кривої, що починається з (1, 0) і зменшується в четвертий квадрант.$

7)$x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π$

8)$x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π$

Відповідь

$\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1$

$Графік еліпса з центром (0, 1), головною віссю горизонтальною і довжиною 8 і малою віссю довжини 2.$

У вправах 9 - 10 накидайте полярну криву і визначте, який тип симетрії існує, якщо такий є.

9)$r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)$

10)$r=5\cos(5θ)$

Відповідь

Симетричний щодо полярної осі

$Графік п'ятипелюсткової троянди з початковою пелюсткою при θ = 0.$

У вправах 11 - 12 знайдіть полярне рівняння для кривої, заданої як декартове рівняння.

11)$x+y=5$

12)$y^2=4+x^2$

Відповідь: $r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}$

У вправах 13 - 14 знайти рівняння дотичної прямої до заданої кривої. Графік функції та її дотичної лінії.

13)$x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1$

14)$r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}$

Відповідь

$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

$Графік фігури у формі арахісу, з перехопленнями y при ± 2 і x перехоплює при ± 4. Дотична лінія відбувається у другому квадранті.$

15) Знайти$\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},$$\dfrac{d^2x}{dy^2}$ і$y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t$

У вправах 16 -17 знайдіть область області.

16)$x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e$

Відповідь: $\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2$

17)$r=1−\sin θ$ в першому квадранті

У вправах 18 - 19 знайти довжину дуги кривої за заданий інтервал.

18)$x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3$

Відповідь: $9\sqrt{10}$одиниць

19)$r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.$ Перевірте свою відповідь по геометрії.

У вправах 20 - 22 знайдіть декартове рівняння, що описує задані форми.

20) Парабола з фокусом$(2,−5)$ і директрикою$x=6$

Відповідь: $(y+5)^2=−8x+32$

21) Еліпс з великою довжиною осі 10 і осередками при$(−7,2)$ і$(1,2)$

22) Гіпербола з вершинами в$(3,−2)$ і$(−5,−2)$ і вогнищами при$(−2,−6)$ і$(−2,4)$

Відповідь: $\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1$

У вправах 23 - 25 визначають ексцентриситет і визначають конус. Намалюйте конус.

23)$r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}$

24)$r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}$

Відповідь

$e=\frac{2}{3}$, еліпс

$Графік еліпса з центром поблизу (1,5, 0), великою віссю майже 5 і горизонтальною, а незначною віссю майже 4.$

25)$r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}$

26) Визначити декартове рівняння, що описує орбіту Плутона, найбільш ексцентричну орбіту навколо Сонця. Довжина великої осі становить 39,26 AU, а другорядна - 38.07 AU. Що таке ексцентриситет?

Відповідь: $\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447$

27) Комета C/1980 E1 спостерігалася в 1980 році. З огляду на ексцентриситет$1.057$ і перигелію (точка найближчого наближення до Сонця)$3.364$ АС, знайти декартові рівняння, що описують траєкторію комети. Чи гарантовано ми знову побачимо цю комету? (Підказка: Розглянемо Сонце в точці$(0,0)$.)