11.4E: Вправи для розділу 11.4

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61728

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У вправах 1 -13 визначте певний інтеграл, який представляє область.

1) Регіон, укладений\(r=4\)

2) Регіон, укладений\(r=3\sin θ\)

Відповідь: \(\displaystyle\frac{9}{2}∫^π_0\sin^2θ\,dθ\)

3) Область в першому квадранті в межах кардіоїдного\(r=1+\sin θ\)

4) Область, огороджена однією пелюсткою\(r=8\sin(2θ)\)

Відповідь: \(\displaystyle\frac{3}{2}∫^{π/2}_0\sin^2(2θ)\,dθ\)

5) Область, огороджена однією пелюсткою\(r=cos(3θ)\)

6) Область нижче полярної осі і укладена\(r=1−\sin θ\)

Відповідь: \(\displaystyle\frac{1}{2}∫^{2π}_π(1−\sin θ)^2\,dθ\)

7) Область в першому квадранті, укладеному\(r=2−\cos θ\)

8) Область, укладена внутрішнім контуром\(r=2−3\sin θ\)

Відповідь: \(\displaystyle∫^{π/2}_{\sin^{−1}(2/3)}(2−3\sin θ)^2\,dθ\)

9) Область, укладена внутрішнім контуром\(r=3−4\cos θ\)

10) Область,\(r=1−2\cos θ\) закрита внутрішньою петлею та поза нею

Відповідь: \(\displaystyle∫^π_0(1−2\cos θ)^2\,dθ−∫^{π/3}_0(1−2\cos θ)^2\,dθ\)

11) Регіон, спільний для\(r=3\sin θ\) і\(r=2−\sin θ\)

12) Регіон, спільний для\(r=2\) і\(r=4\cos θ\)

Відповідь: \(\displaystyle4∫^{π/3}_0\,dθ+16∫^{π/2}_{π/3}(\cos^2θ)\,dθ\)

13) Регіон, спільний для\(r=3\cos θ\) і\(r=3\sin θ\)

У вправах 14 -26 знайдіть область описуваного регіону.

14) Закритий\(r=6\sin θ\)

Відповідь: \(9π\text{ units}^2\)

15) Над полярною віссю, укладеної\(r=2+\sin θ\)

16) Нижче полярної осі і укладена\(r=2−\cos θ\)

Відповідь: \(\frac{9π}{4}\text{ units}^2\)

17) Огороджений однією пелюсткою\(r=4\cos(3θ)\)

18) Огороджений однією пелюсткою\(r=3\cos(2θ)\)

Відповідь: \(\frac{9π}{8}\text{ units}^2\)

19) Закритий\(r=1+\sin θ\)

20) Закрита внутрішньою петлею\(r=3+6\cos θ\)

Відповідь: \(\frac{18π−27\sqrt{3}}{2}\text{ units}^2\)

21)\(r=2+4\cos θ\) Закрита внутрішньою петлею та зовні

22) Загальний інтер'єр\(r=4\sin(2θ)\) і\(r=2\)

Відповідь: \(\frac{4}{3}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

23) Загальний інтер'єр\(r=3−2\sin θ\) і\(r=−3+2\sin θ\)

24) Загальний інтер'єр\(r=6\sin θ\) і\(r=3\)

Відповідь: \(\frac{3}{2}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

25) Всередині\(r=1+\cos θ\) і зовні\(r=\cos θ\)

26) Загальний інтер'єр\(r=2+2\cos θ\) і\(r=2\sin θ\)

Відповідь: \((2π−4)\text{ units}^2\)

У вправах 27 - 30 знайдіть певний інтеграл, який представляє довжину дуги.

27)\(r=4\cos θ\) на проміжку\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

28)\(r=1+\sin θ\) на проміжку\(0≤θ≤2π\)

Відповідь: \(\displaystyle∫^{2π}_0\sqrt{(1+\sin θ)^2+\cos^2θ}\,dθ\)

29)\(r=2\sec θ\) на проміжку\(0≤θ≤\frac{π}{3}\)

30)\(r=e^θ\) на проміжку\(0≤θ≤1\)

Відповідь: \(\displaystyle\sqrt{2}∫^1_0e^θ\,dθ\)

У вправах 31 - 35 знайти довжину кривої за заданий інтервал.

31)\(r=6\) на проміжку\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

32)\(r=e^{3θ}\) на проміжку\(0≤θ≤2\)

Відповідь: \(\frac{\sqrt{10}}{3}(e^6−1)\)одиниць

33)\(r=6\cos θ\) на проміжку\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

34)\(r=8+8\cos θ\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

Відповідь: \(32\)одиниць

35)\(r=1−\sin θ\) на проміжку\(0≤θ≤2π\)

У вправах 36 - 40 використовуйте інтеграційні можливості калькулятора для наближення довжини кривої.

36) [T]\(r=3θ\) на інтервалі\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

Відповідь: \(6.238\)одиниць

37) [Т]\(r=\dfrac{2}{θ}\) на інтервалі\(π≤θ≤2π\)

38) [T]\(r=\sin^2\left(\frac{θ}{2}\right)\) на інтервалі\(0≤θ≤π\)

Відповідь: \(2\)одиниць

39) [T]\(r=2θ^2\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

40) [T]\(r=\sin(3\cos θ)\) на інтервалі\(0≤θ≤π\)

Відповідь: \(4.39\)одиниць

У вправах 41 - 43 використовуйте звичну формулу з геометрії, щоб знайти площу описаної області, а потім підтвердити за допомогою певного інтеграла.

41)\(r=3\sin θ\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

42)\(r=\sin θ+\cos θ\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

Відповідь: \(A=π\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{π}{2}\text{ units}^2\)і\(\displaystyle\frac{1}{2}∫^π_0(1+2\sin θ\cos θ)\,dθ=\frac{π}{2}\text{ units}^2\)

43)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

У вправах 44 - 46 використовуйте звичну формулу з геометрії, щоб знайти довжину кривої і потім підтвердити, використовуючи певний інтеграл.

44)\(r=3\sin θ\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

Відповідь: \(C=2π\left(\frac{3}{2}\right)=3π\)одиниці та\(\displaystyle∫^π_03\,dθ=3π\) одиниці

45)\(r=\sin θ+\cos θ\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

46)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) на проміжку\(0≤θ≤π\)

Відповідь: \(C=2π(5)=10π\)одиниці та\(\displaystyle∫^π_010\,dθ=10π\) одиниці

47) Переконайтеся, що якщо\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\) тоді\(\dfrac{dy}{dθ}=f'(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ.\)

У вправах 48 - 56 знайти нахил дотичної лінії до полярної кривої\(r=f(θ)\). Нехай\(x=r\cos θ=f(θ)\cos θ\) і\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\), так\(r=f(θ)\) полярне рівняння тепер записується в параметричному вигляді.

48) Використовуйте визначення похідної\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dθ}{dx/dθ}\) та правило добутку, щоб вивести похідну полярного рівняння.

Відповідь: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ}{f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ}\)

49)\(r=1−\sin θ; \; \left(\frac{1}{2},\frac{π}{6}\right)\)

50)\(r=4\cos θ; \; \left(2,\frac{π}{3}\right)\)

Відповідь: Ухил є\(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

51)\(r=8\sin θ; \; \left(4,\frac{5π}{6}\right)\)

52)\(r=4+\sin θ; \; \left(3,\frac{3π}{2}\right)\)

Відповідь: Ухил дорівнює 0.

53)\(r=6+3\cos θ; \; (3,π)\)

54)\(r=4\cos(2θ);\) кінчики листя

Відповідь: \((4,0),\)На схилі не визначено. В\(\left(−4,\frac{π}{2}\right)\), нахил дорівнює 0.

55)\(r=2\sin(3θ);\) кінчики листя

56)\(r=2θ; \; \left(\frac{π}{2},\frac{π}{4}\right)\)

Відповідь: Ухил невизначений в\(θ=\frac{π}{4}\).

57) Знайти точки на проміжку,\(−π≤θ≤π\) на якому кардіоїд\(r=1−\cos θ\) має вертикальну або горизонтальну дотичну лінію.

58) Для кардіоїда\(r=1+\sin θ,\) знайти нахил дотичної лінії при\(θ=\frac{π}{3}\).

Відповідь: Ухил = −1.

У вправах 59 - 62 знайти нахил дотичної лінії до заданої полярної кривої в точці, заданій значенням\(θ\).

59)\(r=3\cos θ,\; θ=\frac{π}{3}\)

60)\(r=θ, \; θ=\frac{π}{2}\)

Відповідь: Ухил є\(\frac{−2}{π}\).

61)\(r=\ln θ, \; θ=e\)

62) [T] Використання технології:\(r=2+4\cos θ\) в\(θ=\frac{π}{6}\)

Відповідь: Відповідь калькулятора: −0.836.

У вправах 63 - 66 знайдіть точки, в яких наступні полярні криві мають горизонтальну або вертикальну дотичну лінію.

63)\(r=4\cos θ\)

64)\(r^2=4\cos(2θ)\)

Відповідь: Горизонтальна тангенс в\(\left(±\sqrt{2},\frac{π}{6}\right), \; \left(±\sqrt{2},−\frac{π}{6}\right)\).

65)\(r=2\sin(2θ)\)

66) Кардіоїдна\(r=1+\sin θ\)

Відповідь: Горизонтальні тангенси у\(\frac{π}{2},\, \frac{7π}{6},\, \frac{11π}{6}.\)
вертикальних дотичних на полюсі,\(\frac{π}{6},\, \frac{5π}{6}\) а також на полюсі\((0,0)\).

67) Покажіть, що крива\(r=\sin θ\tan θ\) (звана циссоїдом Діокля) має лінію\(x=1\) як вертикальну асимптоту.