11.1E: Вправи для розділу 11.1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61766

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У вправах 1 - 4 накидайте криві нижче, усунувши параметр$t$. Дайте орієнтацію кривої.

1)$ x=t^2+2t, \quad y=t+1$

Відповідь

Орієнтація: знизу вгору

$Парабола відкрита праворуч, а (−1, 0) є крапкою ліворуч, зі стрілкою, що йде знизу через (−1, 0) і вгору.$

2)$ x=\cos(t), \quad y=\sin(t), \quad \text{for } (0,2π]$

3)$ x=2t+4, \quad y=t−1$

Відповідь

Орієнтація: зліва направо

$Пряма лінія, що проходить через (0, −3) та (6, 0) зі стрілкою вгору та вправо.$

4)$ x=3−t, \quad y=2t−3, \quad \text{for }1.5≤t≤3$

У вправі 5 усуньте параметр і накидайте графік.

5)$x=2t^2,\quad y=t^4+1$

Відповідь

$ y=\dfrac{x^2}{4}+1$

$Половина параболи, що починається від початку і проходить через (2, 2) зі стрілкою, спрямованою вгору і вправо.$

У вправах 6 - 9 використовуйте технологію (CAS або калькулятор) для ескізу параметричних рівнянь.

6) [Т]$x=t^2+t, \quad y=t^2−1$

7) [Т]$ x=e^{−t}, \quad y=e^{2t}−1$

Відповідь: $Крива, що проходить через (1, 0) і (0, 3) зі стрілкою вгору і вліво.$

8) [Т]$ x=3\cos t, \quad y=4\sin t$

9) [Т]$ x=\sec t, \quad y=\cos t$

Відповідь: $Графік з асимптотами на осях x та y. У третьому квадранті знаходиться частина графіка зі стрілкою вниз і вправо. У першому квадранті є частина графіка зі стрілкою вниз і вправо.$

У вправах 10 - 20 накидайте параметричні рівняння шляхом усунення параметра. Вкажіть будь-які асимптоти графіка.

10)$ x=e^t, \quad y=e^{2t}+1$

11)$ x=6\sin(2θ), \quad y=-4\cos(2θ)$

Відповідь: $Еліпс з малою вертикальною віссю і довжиною 8 і великою віссю горизонтальною і довжиною 12, що знаходиться в центрі початку. Стрілки йдуть проти годинникової стрілки.$

12)$ x=\cos θ, \quad y=2\sin(2θ)$

13)$ x=3−2\cos θ, \quad y=−5+3\sin θ$

Відповідь: $Еліпс у четвертому квадранті з малою горизонтальною віссю довжиною 4 і великою віссю вертикальною і довжиною 6. Стрілки йдуть за годинниковою стрілкою.$

14)$ x=4+2\cos θ, \quad y=−1+\sin θ$

15)$ x=\sec t, \quad y=\tan t$

Відповідь

Асимптоти бувають$ y=x$ і$ y=−x$

$Графік з асимптотами у = x та y = −x. Перша частина графа відбувається у другому та третьому квадрантах з вершиною в (−1, 0). Друга частина графа відбувається в першому та четвертому квадрантах з вершиною як (1, 0).$

16)$ x=\ln(2t), \quad y=t^2$

17)$ x=e^t, \quad y=e^{2t}$

Відповідь: $Крива, що починається трохи вище початку і збільшується вправо зі стрілкою вгору і вправо.$

18)$ x=e^{−2t}, \quad y=e^{3t}$

19)$ x=t^3, \quad y=3\ln t$

Відповідь: $Крива, асимптота якої є віссю y. Крива починається в четвертому квадранті і швидко збільшується через (1, 0), в якій точці збільшується набагато повільніше.$

20)$ x=4\sec θ, \quad y=3\tan θ$

У вправах 21 - 38 перетворюємо параметричні рівняння кривої в прямокутну форму. Ніякого ескізу не потрібно. Вкажіть область прямокутної форми.

21)$ x=t^2−1, \quad y=\dfrac{t}{2}$

Відповідь: $ x=4y^2−1;$домен:$ x∈[1,∞)$.

22)$ x=\dfrac{1}{\sqrt{t+1}}, \quad y=\dfrac{t}{1+t}, \quad \text{for }t>−1$

23)$ x=4\cos θ, \quad y=3\sin θ, \quad \text{for }t∈(0,2π]$

Відповідь: $ \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1;$домен$ x∈[−4,4].$

24)$ x=\cosh t, \quad y=\sinh t$

25)$ x=2t−3, \quad y=6t−7$

Відповідь: $ y=3x+2;$domain: всі дійсні числа.

26)$ x=t^2, \quad y=t^3$

27)$ x=1+\cos t, \quad y=3−\sin t$

Відповідь: $ (x−1)^2+(y−3)^2=1$; домен:$ x∈[0,2]$.

28)$ x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4$

29)$ x=\sec t, \quad y=\tan t, \quad \text{for } π≤t<\frac{3π}{2}$

Відповідь: $ y=\sqrt{x^2−1}$; домен:$ x∈(−\infty,-1]$.

30)$ x=2\cosh t, \quad y=4\sinh t$

31)$ x=\cos(2t), \quad y=\sin t$

Відповідь: $ y^2=\dfrac{1−x}{2};$домен:$ x∈[-1,1].$

32)$ x=4t+3, \quad y=16t^2−9$

33)$ x=t^2, \quad y=2\ln t, \quad \text{for }t≥1$

Відповідь: $ y=\ln x;$домен:$ x∈[1,∞).$

34)$ x=t^3, \quad y=3\ln t, \quad \text{for }t≥1$

35)$ x=t^n, \quad y=n\ln t, \quad \text{for } t≥1,$$n$ де натуральне число

Відповідь: $ y=\ln x;$домен:$ x∈(0,∞).$

36)$ x=\ln(5t), \quad y=\ln(t^2)$ де$ 1≤t≤e$

37)$ x=2\sin(8t), \quad y=2\cos(8t)$

Відповідь: $ x^2+y^2=4;$домен:$ x∈[−2,2].$

38)$ x=\tan t, \quad y=\sec^2t−1$

У вправах 39 - 48 пари параметричних рівнянь представляють лінії, параболи, кола, еліпси або гіперболи. Назвіть тип базової кривої, яку представляє кожна пара рівнянь.

39)$ x=3t+4, \quad y=5t−2$

Відповідь: лінія

40)$ x−4=5t, \quad y+2=t$

41)$ x=2t+1, \quad y=t^2−3$

Відповідь: парабола

42)$ x=3\cos t, \quad y=3\sin t$

43)$ x=2\cos(3t), \quad y=2\sin(3t)$

Відповідь: коло

44)$ x=\cosh t, \quad y=\sinh t$

45)$ x=3\cos t, \quad y=4\sin t$

Відповідь: еліпс

46)$ x=2\cos(3t), \quad y=5\sin(3t)$

47)$ x=3\cosh(4t) \quad y=4\sinh(4t)$

Відповідь: права гілка горизонтально відкритої гіперболи

48)$ x=2\cosh t, \quad y=2\sinh t$

49) Показати, що$ x=h+r\cos θ, \quad y=k+r\sin θ$ представляє рівняння кола.

50) Використовуйте рівняння в попередній задачі, щоб знайти набір параметричних рівнянь для кола, радіус якого дорівнює$5$ і центр якого$ (−2,3)$.

У вправах 51 - 53 використовуйте утиліту графіків, щоб графікувати криву, представлену параметричними рівняннями, та ідентифікувати криву з її рівняння.

51) [Т]$ x=θ+\sin θ, \quad y=1−\cos θ$

Відповідь

Рівняння являють собою циклоїду.

$Графік, що починається з (−6, 0), швидко зростає до різкої точки (−3, 2), а потім швидко зменшується до початку. Графік симетричний щодо осі y, тому графік швидко збільшується до (3, 2), перш ніж швидко зменшуватися до (6, 0).$

52) [Т]$ x=2t−2\sin t, \quad y=2−2\cos t$

53) [Т]$ x=t−0.5\sin t, \quad y=1−1.5\cos t$

Відповідь: $Графік, що починається приблизно (−6, 0), збільшується до округлої точки, а потім зменшується приблизно до (0, −0,5). Графік симетричний щодо осі y, тому графік збільшується до округлої точки, перш ніж зменшуватися до приблизно (6, 0).$

54) Літак, що рухається горизонтально зі швидкістю 100 м/с над рівною землею на висоті 4000 метрів, повинен скинути аварійний пакет на ціль на землю. Траєкторія руху упаковки задається тим,$ x=100t, \quad y=−4.9t^2+4000, \quad \text{where }t≥0$ де початком є точка на землі безпосередньо під площиною в момент випуску. Скільки горизонтальних метрів перед ціллю повинен бути звільнений пакет, щоб вразити ціль?

55) Траєкторія польоту кулі задається$ x=v_0(\cos α)t, \quad y=v_0(\sin α)t−\frac{1}{2}gt^2$ де$ v_0=500$ м/с$g=9.8=9.8\text{ m/s}^2$, і$ α=30$ градусами. Коли куля вдарить об землю? Як далеко від пістолета куля вдариться в землю?

Відповідь: 22 092 метра приблизно за 51 секунду.

56) [T] Використовуйте технологію для ескізу кривої, представленої$ x=\sin(4t), \quad y=\sin(3t), \quad \text{for }0≤t≤2π$.

57) [T] Використовуйте технологію для ескізу$ x=2\tan(t), \quad y=3\sec(t), \quad \text{for }−π<t<π.$

Відповідь: $Графік з асимптотами приблизно близько y = x та y = −x. Перша частина графа знаходиться у першому та другому квадрантах з вершиною поблизу (0, 3). Друга частина графа знаходиться в третьому та четвертому квадрантах з вершиною поруч (0, −3).$

58) Намалюйте криву, відому як епітрохоїда, яка дає шлях точки на колі радіуса$b$, коли вона котиться на зовнішній стороні кола радіуса$a$. Рівняння є

$ x=(a+b)\cos t−c⋅\cos\left[\frac{(a+b)t}{b}\right], \quad y=(a+b)\sin t−c⋅\sin\left[\frac{(a+b)t}{b}\right]$.

Нехай$ a=1,\;b=2,\;c=1.$

59) [T] Використовуйте технологію для ескізу спіральної кривої, заданої$ x=t\cos(t), \quad y=t\sin(t)$ для$ −2π≤t≤2π.$

Відповідь: $Графік, що починається з приблизно (−6, −1) зменшення до мінімуму у третьому квадранті поблизу (−1, −4,8), збільшуючись приблизно (0, −4,7) та (3, 0) до максимуму поблизу (1, 1,9) перед зменшенням через (0, 1,5) до початку. Графік симетричний щодо осі y, тому графік збільшується через (0, 1,5) до максимуму у другому квадранті, знову зменшується через (0, −4,7), а потім збільшується до (6, −1).$

60) [T] Використовуйте технологію для графіка кривої, заданої параметричними рівняннями$ x=2\cot(t), \quad y=1−\cos(2t), \quad \text{for }−π/2≤t≤π/2.$ Ця крива відома як відьма Агнесі.

61) [T] Намалюйте криву, задану параметричними рівняннями$ x=\cosh(t), \quad y=\sinh(t),$ для$ −2≤t≤2.$

Відповідь: $Нечітко параболічний граф з вершиною в точці (1, 0), що відкривається вправо.$