11.2E: Вправи для розділу 11.2

У вправах 1 - 4 кожен набір параметричних рівнянь являє собою лінію. Не усуваючи параметр, знайдіть нахил кожної лінії.

1)\(x=3+t,\quad y=1−t\)

2)\( x=8+2t, \quad y=1\)

Відповідь

\(m=0\)

3)\( x=4−3t, \quad y=−2+6t\)

4)\( x=−5t+7, \quad y=3t−1\)

Відповідь

\(m= -\frac{3}{5}\)

У вправах 5 - 9 визначаємо нахил дотичної прямої, потім знаходимо рівняння дотичної прямої при заданому значенні параметра.

5)\( x=3\sin t,\quad y=3\cos t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

6)\( x=\cos t, \quad y=8\sin t, \quad \text{for }t=\frac{π}{2}\)

Відповідь

Ухил\(=0; y=8.\)

7)\( x=2t, \quad y=t^3, \quad \text{for } t=−1\)

8)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t}, \quad \text{for }t=1\)

Відповідь

Ухил невизначений;\( x=2\).

9)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t, \quad \text{for }t=4\)

У вправах 10 - 13 знайдіть всі точки на кривій, які мають заданий нахил.

10)\( x=4\cos t, \quad y=4\sin t,\) ухил =\(0.5\)

Рішення

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{4\cos t}{-4\sin t} = - \cot t.\)
Встановлюючи цю похідну рівну,\(0.5,\) отримаємо рівняння,\(\tan t = -2.\)
\( \tan t = -2 \implies \dfrac{y}{x} = -2 \implies y = -2x.\)
Зверніть увагу також, що ця пара параметричних рівнянь представляє коло\(x^2 + y^2 = 16.\)
шляхом підстановки, ми виявимо, що ця крива має нахил\(0.5\) в точках:
\(\left(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{−8\sqrt{5}}{5}\right)\) і\(\left(\frac{-4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5}\right).\)

11)\( x=2\cos t, \quad y=8\sin t,\) ухил =\(−1\)

12)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t},\) ухил =\(1\)

Відповідь

Немає можливих точок; невизначений вираз.

13)\( x=2+\sqrt{t}, \quad y=2−4t,\) ухил =\(0\)

У вправах 14 - 16 запишіть рівняння дотичної прямої в декартових координатах для заданого параметра\(t\).

14)\( x=e^{\sqrt{t}}, \quad y=1−\ln t^2, \quad \text{for }t=1\)

Відповідь

\( y=−\left(\frac{4}{e}\right)x+5\)

15)\( x=t\ln t, \quad y=\sin^2t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

16)\( x=e^t, \quad y=(t−1)^2,\) в\((1,1)\)

Відповідь

\( y=-2x+3\)

17) Для\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) де\( 0≤t<2π.\) Знайти всі значення,\(t\) при яких існує горизонтальна дотична лінія.

18) За\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) куди\( 0≤t<2π\). Знайти всі значення,\(t\) в яких існує вертикальна дотична лінія.

Відповідь

Вертикальна дотична лінія існує за адресою\(t = \frac{π}{4},\frac{5π}{4},\frac{3π}{4},\frac{7π}{4}\)

19) Знайти всі точки на кривій\( x=4\cos(t), \quad y=4\sin(t)\), які мають нахил\( \frac{1}{2}\).

20) Знайти\( \dfrac{dy}{dx}\) для\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\).

Відповідь

\( \dfrac{dy}{dx}=−\tan(t)\)

21) Знайти рівняння дотичної прямої до\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\) at\( t=\frac{π}{4}\).

22) Для кривої\( x=4t, \quad y=3t−2,\) знаходимо нахил і увігнутість кривої при\( t=3\).

Відповідь

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{4}\)і\( \dfrac{d^2y}{dx^2}=0\), таким чином, крива не увігнута вгору, ні увігнута вниз на\( t=3\). Тому графік лінійний і має постійний нахил, але не має увігнутості.

23) Для параметричної кривої, рівняння якої є\( x=4\cos θ, \quad y=4\sin θ\), знайти нахил і увігнутість кривої при\( θ=\frac{π}{4}\).

24) Знайдіть нахил і увігнутість для кривої, рівняння якої знаходиться\( x=2+\sec θ, \quad y=1+2\tan θ\) в\( θ=\frac{π}{6}\).

Відповідь

\( \dfrac{dy}{dx}=4, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}=−4\sqrt{3};\)крива увігнута вниз на\( θ=\frac{π}{6}\).

25) Знайти всі точки на кривій,\( x=t+4, \quad y=t^3−3t\) в яких є вертикальні і горизонтальні дотичні.

26) Знайти всі точки на кривій,\( x=\sec θ, \quad y=\tan θ\) в яких існують горизонтальні і вертикальні дотичні.

Відповідь

Відсутність горизонтальних дотичних. Вертикальні тангенси в\( (1,0)\) і\((−1,0)\).

У вправах 27 - 29 знайдіть\( d^2y/dx^2\).

27)\( x=t^4−1, \quad y=t−t^2\)

28)\( x=\sin(πt), \quad y=\cos(πt)\)

Відповідь

\( d^2y/dx^2 = −\sec^3(πt)\)

29)\( x=e^{−t}, \quad y=te^{2t}\)

У вправах 30 - 31 знайдіть точки на кривій, у яких дотична лінія горизонтальна або вертикальна.

30)\( x=t(t^2−3), \quad y=3(t^2−3)\)

Відповідь

Горизонтальний\( (0,−9)\);
Вертикальний\( (±2,−6).\)

31)\( x=\dfrac{3t}{1+t^3}, \quad y=\dfrac{3t^2}{1+t^3}\)

У вправах 32 - 34 знайдіть\( dy/dx\) за значенням параметр.

32)\( x=\cos t,y=\sin t, \quad \text{for }t=\frac{3π}{4}\)

Відповідь

\(dy/dx = 1\)

33)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4,t=9\)

34)\( x=4\cos(2πs), \quad y=3\sin(2πs), \quad \text{for }s=−\frac{1}{4}\)

Відповідь

\(dy/dx = 0\)

У вправах 35 - 36 знайти\( d^2y/dx^2\) в заданій точці, не усуваючи параметр.

35)\( x=\frac{1}{2}t^2, \quad y=\frac{1}{3}t^3, \quad \text{for }t=2\)

36)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4, \quad \text{for }t=1\)

Відповідь

\(d^2y/dx^2 = 4\)

37) Знайти інтервали,\(t\) на яких\( x=3t^2, \quad y=t^3−t\) крива увігнута вгору, а також увігнута вниз.

38) Визначте увігнутість кривої\( x=2t+\ln t, \quad y=2t−\ln t\).

Відповідь

Увігнуті вгору на\( t>0\).

39) Намалюйте і знайдіть ділянку під однією аркою циклоїди\( x=r(θ−\sin θ), \quad y=r(1−\cos θ)\).

40) Знайдіть площу, обмежену кривою\( x=\cos t, \quad y=e^t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) і лініями\( y=1\) і\( x=0\).

Відповідь

\(1\text{ unit}^2\)

41) Знайдіть область, обнесену еліпсом\( x=a\cos θ, \quad y=b\sin θ, \quad \text{for }0≤θ<2π.\)

42) Знайти площу області, обмеженої\( x=2\sin^2θ, \quad y=2\sin^2θ\tan θ\), для\( 0≤θ≤\frac{π}{2}\).

Відповідь

\( \frac{3π}{2}\text{ units}^2\)

У вправах 43 - 46 знайти площу областей, обмежених параметричними кривими і зазначеними значеннями параметра.

43)\( x=2\cot θ, \quad y=2\sin^2θ, \quad \text{for }0≤θ≤π\)

44) [Т]\( x=2a\cos t−a\cos(2t), \quad y=2a\sin t−a\sin(2t), \quad \text{for }0≤t<2π\)

Відповідь

\( 6πa^2\text{ units}^2\)

45) [T]\( x=a\sin(2t), \quad y=b\sin(t), \quad \text{for }0≤t<2π\) («пісочний годинник»)

46) [Т]\( x=2a\cos t−a\sin(2t), \quad y=b\sin t, \quad \text{for }0≤t<2π\) («сльоза»)

Відповідь

\( 2πab\text{ units}^2\)

У вправах 47 - 52 знайти довжину дуги кривої на вказаному інтервалі параметра.

47)\( x=4t+3, \quad y=3t−2, \quad \text{for }0≤t≤2\)

48)\( x=\frac{1}{3}t^3, \quad y=\frac{1}{2}t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Відповідь

\( s = \frac{1}{3}(2\sqrt{2}−1)\)одиниць

49)\( x=\cos(2t), \quad y=\sin(2t), \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\)

50)\( x=1+t^2, \quad y=(1+t)^3, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Відповідь

\(s = 7.075\)одиниць

51)\( x=e^t\cos t, \quad y=e^t\sin t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) (експрес-відповідь у вигляді десяткової коми з округленням до трьох знаків)

52)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ\) на інтервалі\( [0,2π)\) (гіпоциклоїд)

Відповідь

\( s = 6a\)одиниць

53) Знайти довжину однієї дуги циклоїди\( x=4(t−\sin t), \quad y=4(1−\cos t).\)

54) Знайдіть відстань, пройдену частинкою, з положенням\( (x,y)\), як\(t\) змінюється в заданому часовому інтервалі:\( x=\sin^2t, \quad y=\cos^2t, \quad \text{for }0≤t≤3π\).

Відповідь

\( 6\sqrt{2}\)одиниць

55) Знайти довжину однієї дуги циклоїди\( x=θ−\sin θ, \quad y=1−\cos θ\).

56) Показати, що загальна довжина еліпса\( x=4\sin θ, \quad y=3\cos θ\) дорівнює\( \displaystyle L=16∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\sin^2θ}\,dθ\), де\( e=\frac{c}{a}\) і\( c=\sqrt{a^2−b^2}\).

57) Знайти довжину кривої\( x=e^t−t, \quad y=4e^{t/2}, \quad \text{for }−8≤t≤3.\)

У вправах 58 - 59 знайдіть площу поверхні, отриманої обертанням заданої кривої навколо\(x\) -осі.

58)\( x=t^3, \quad y=t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Відповідь

\( \dfrac{2π(247\sqrt{13}+64)}{1215}\text{ units}^2\)

59)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ, \quad \text{for }0≤θ≤\frac{π}{2}\)

60) [T] Використовуйте CAS, щоб знайти площу поверхні, що генерується\( x=t+t^3, \quad y=t−\frac{1}{t^2}, \quad \text{for }1≤t≤2\) обертанням навколо\(x\) -осі. (Відповідь до трьох знаків після коми.)

Відповідь

\(59.101\text{ units}^2\)

61) Знайдіть площу поверхні, отриману\( x=3t^2, \quad y=2t^3, \quad \text{for }0≤t≤5\) обертанням навколо\(y\) -осі.

62) Знайдіть площу поверхні, утворену обертанням\( x=t^2, \quad y=2t, \quad \text{for }0≤t≤4\) навколо\(x\) -осі.

Відповідь

\( \frac{8π}{3}(17\sqrt{17}−1) \text{ units}^2\)

63) Знайдіть площу поверхні, утворену\( x=t^2, \quad y=2t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\) обертанням навколо\(y\) -осі.