11.5: Конічні перерізи

Цілі навчання

• Визначте рівняння параболи в стандартній формі з заданим фокусом і директрисою.
• Визначте рівняння еліпса в стандартній формі з заданими вогнищами.
• Визначте рівняння гіперболи в стандартній формі з заданими вогнищами.
• Розпізнайте параболу, еліпс або гіперболу за значенням її ексцентриситету.
• Запишіть полярне рівняння конічного перерізу з ексцентриситетом$e$.
• Визначте, коли загальне рівняння другого ступеня є параболою, еліпсом або гіперболою.

Конічні розрізи вивчалися ще з часів стародавніх греків, і вважалися важливим математичним поняттям. Ще в 320 році до н.е. Такі грецькі математики, як Менаехм, Апполлоній, Архімед були зачаровані цими кривими. Апполлоній написав цілий восьмитомний трактат про конічних перерізах, в якому він, наприклад, зміг вивести специфічний метод ідентифікації конічного перерізу за допомогою використання геометрії. З тих пір виникли важливі застосування конічних перерізів (наприклад, в астрономії), а властивості конічних перерізів використовуються в радіотелескопах, приймачах супутникових антен і навіть в архітектурі. У цьому розділі ми обговоримо три основні конічні перерізи, деякі їх властивості та їх рівняння.

Конічні перерізи отримали свою назву тому, що вони можуть бути створені шляхом перетину площини з конусом. Конус має дві однакові за формою частини, які називаються ворсом. Одна підгузник - це те, що більшість людей мають на увазі під «конусом», маючи форму вечірнього капелюха. Правий круговий конус може бути сформований обертанням лінії, що проходить через початок навколо осі y, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Конус, утворений обертанням лінії$y=3x$ навколо$y$ -осі.

Конічні перерізи генеруються перетином площини з конусом (рис.$\PageIndex{2}$). Якщо площина паралельна осі обертання (осі y), то конічний перетин є гіперболою. Якщо площина паралельна формує лінії, то конічний переріз є параболою. Якщо площина перпендикулярна осі обертання, конічний перетин - це коло. Якщо площина перетинається одним ворсом під кутом до осі (відмінним 90 #xB0;),90°)," role="presentation" tabindex="0">від 90° ) , то конічний перетин - еліпс.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Чотири конічні перерізи. Кожна коніка визначається кутом, який площина складає з віссю конуса.

Параболи

Парабола генерується, коли площина перетинає конус, паралельний генеруючій лінії. При цьому площину перетинає тільки один з ворсинок. Параболу також можна визначити з точки зору відстаней.

Визначення: Фокус, Директриса та Вершина

Парабола - це сукупність всіх точок, відстань яких від нерухомої точки, званої фокусом, дорівнює відстані від нерухомої лінії, званої директрисою. Точка на півдорозі між фокусом і директрисою називається вершиною параболи.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Типова парабола, в якій відстань від фокуса до вершини представлено змінною$p$.

Графік типової параболи відображається на малюнку$\PageIndex{3}$. Використовуючи цю діаграму в поєднанні з формулою відстані, ми можемо вивести рівняння для параболи. Нагадаємо формулу відстані: Задана точка P з координатами$(x_1,y_1)$ і точка Q з координатами$(x_2,y_2),$ відстань між ними задається за формулою

$$d(P,Q)=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}. \nonumber$$

Тоді з визначення параболи і$\PageIndex{3}$ малюнка отримаємо

$$d(F,P)=d(P,Q) \nonumber$$

$$\sqrt{(0−x)^2+(p−y)^2}=\sqrt{(x−x)^2+(−p−y)^2}. \nonumber$$

Квадратування обох сторін і спрощення врожайності

$$\begin{align} x^2+(p−y)^2 = 0^2+(−p−y)^2 \\ x^2+p^2−2py+y^2 = p^2+2py+y^2 \\ x^2−2py =2py \\ x^2 =4py. \end{align} \nonumber$$

Тепер припустимо, ми хочемо, щоб перемістити вершину. Використовуємо змінні$(h,k)$ для позначення координат вершини. Тоді, якщо фокус знаходиться безпосередньо над вершиною, він має координати,$(h,k+p)$ а директриса має рівняння$y=k−p$. Проходячи через ту ж деривацію, виходить формула$(x−h)^2=4p(y−k)$. Рішення цього рівняння для$y$ призводить до наступної теореми.

Рівняння для парабол: стандартна форма

З огляду на параболу, що відкривається вгору з вершиною, розташованою на,$(h,k)$ і фокусом$(h,k+p)$, розташованим на, де$p$ є константа, рівняння для параболи задається

$$y=\dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k. \nonumber$$

Це стандартна форма параболи.

Ми також можемо вивчити випадки, коли парабола відкривається вниз або вліво або вправо. Рівняння для кожного з цих випадків також може бути записано в стандартному вигляді, як показано на наступних графіках.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Чотири параболи, що відкриваються в різні боки, разом з їх рівняннями в стандартному вигляді.

Крім того, рівняння параболи можна записати в загальному вигляді, хоча в такому вигляді значення$h$$k$, і не відразу$p$ впізнаються. Загальна форма параболи пишеться як

$$ax^2+bx+cy+d=0 \label{para1}$$

або

$$ay^2+bx+cy+d=0.\label{para2}$$

Рівняння\ ref {para1} являє собою параболу, яка відкривається або вгору, або вниз. Рівняння\ ref {para2} являє собою параболу, яка відкривається або ліворуч, або праворуч. Щоб поставити рівняння в стандартний вигляд, скористайтеся методом заповнення квадрата.

Приклад$\PageIndex{1}$: Converting the Equation of a Parabola from General into Standard Form

Ставимо рівняння

$$x^2−4x−8y+12=0 \nonumber$$

в стандартну форму і графувати отриману параболу.

Рішення

Оскільки y не знаходиться в квадраті в цьому рівнянні, ми знаємо, що парабола відкривається або вгору, або вниз. Тому нам потрібно вирішити це рівняння для y, яке поставить рівняння в стандартний вигляд. Для цього спочатку додайте$8y$ до обох сторін рівняння:

$$8y=x^2−4x+12. \nonumber$$

Наступний крок - завершити квадрат з правого боку. Почніть з групування перших двох термінів праворуч за допомогою дужок:

$$8y=(x^2−4x)+12. \nonumber$$

Далі визначте константу, яка при додаванні всередині дужок робить величину всередині дужок ідеальним квадратним триноміалом. Для цього візьміть половину коефіцієнта х і квадрат його. Це дає$(\dfrac{−4}{2})^2=4.$ Додати 4 всередині дужок і відняти 4 поза дужками, тому значення рівняння не змінюється:

$$8y=(x^2−4x+4)+12−4. \nonumber$$

Тепер об'єднайте подібні терміни та коефіцієнт кількості всередині дужок:

$$8y=(x−2)^2+8. \nonumber$$

Нарешті, розділіть на 8:

$$y=\dfrac{1}{8}(x−2)^2+1. \nonumber$$

Це рівняння зараз знаходиться в стандартному вигляді. Порівняння цього з рівнянням дає$h=2, k=1$, і$p=2$. Парабола відкривається вгору, з вершиною на$(2,1)$, фокусом на$(2,3)$ та директрисі$y=−1$. Графік цієї параболи виглядає наступним чином.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Парабола в прикладі$\PageIndex{1}$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Помістіть рівняння$2y^2−x+12y+16=0$ в стандартний вигляд і зробіть графік отриманої параболи.

Підказка

Вирішити для$x$. Перевірте, в якому напрямку відкривається парабола.

Відповідь

$$x=2(y+3)^2−2 \nonumber$$

Вісь симетрії вертикальної (відкривається вгору або вниз) параболи являє собою вертикальну лінію, що проходить через вершину. Парабола має цікаве світловідбиваючу властивість. Припустимо, у нас є супутникова антена з параболічним перетином. Якщо пучок електромагнітних хвиль, таких як світло або радіохвилі, потрапляє в тарілку по прямій лінії від супутника (паралельно осі симетрії), то хвилі відбиваються від тарілки і збираються у фокусі параболи, як показано на малюнку.

Розглянемо параболічну тарілку, призначену для збору сигналів з супутника в космосі. Блюдо спрямоване безпосередньо на супутник, а у фокусі параболи розташований приймач. Радіохвилі, що надходять із супутника, відбиваються від поверхні параболи до приймача, який збирає та декодує цифрові сигнали. Це дозволяє невеликому приймачу збирати сигнали з широкого кута неба. Ліхтарі і фари в автомобілі працюють за тим же принципом, але в зворотному напрямку: джерело світла (тобто лампочка) розташовується в фокусі і відбиває поверхню на параболічному дзеркалі фокусує промінь прямо вперед. Це дозволяє невеликій лампочці висвітлювати широкий кут простору перед ліхтариком або автомобілем.

еліпси

Еліпс також можна визначити з точки зору відстаней. У випадку еліпса є два вогнища (множина фокусу) і дві директриси (множина директриси). Дивимося докладніше на директорії далі в цьому розділі.

Визначення: Еліпс

Еліпс - це сукупність всіх точок, для яких сума їх відстаней від двох нерухомих точок (вогнищ) постійна.

Графік типового еліпса показаний на малюнку$\PageIndex{6}$. На цьому малюнку вогнища$F$ позначені як і$F′$. Обидва є однаковою фіксованою відстанню від початку, і ця відстань представлена змінною$c$. Тому координати$F$ є$(c,0)$ і координати точки$F′$$P$ і$P′$ розташовані на кінцях великої осі еліпса, і мають координати$(a,0)$ і$(−a,0)$, відповідно.$(−c,0).$ Велика вісь завжди найдовша відстань через еліпс, і може бути горизонтальною або вертикальною. Таким чином, довжина великої осі в цьому еліпсі дорівнює$2a$. Крім того,$P$ і$P′$ називаються вершинами еліпса. Точки$Q$ і$Q′$ розташовані на кінцях другорядної осі еліпса, і мають координати$(0,b)$ і$(0,−b),$ відповідно. Мала вісь - це найкоротша відстань через еліпс. Мала вісь перпендикулярна великій осі.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Типовий еліпс, в якому сума відстаней від будь-якої точки на еліпсі до вогнищ постійна.

За визначенням еліпса ми можемо вибрати будь-яку точку на еліпсі і сума відстаней від цієї точки до двох вогнищ постійна. Припустимо, вибираємо точку$P$. Так як координати точки$P$ є$(a,0),$ сумою відстаней дорівнює

$$d(P,F)+d(P,F′)=(a−c)+(a+c)=2a. \nonumber$$

Тому сума відстаней від довільної точки А з координатами також$(x,y)$ дорівнює$2a$. Використовуючи формулу відстані, отримуємо

$$d(A,F)+d(A,F′)=2a. \nonumber$$

$$\sqrt{(x−c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a \nonumber$$

Відніміть другий радикал з обох сторін і квадрат з обох сторін:

$$\sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a−\sqrt{(x+c)^2+y^2} \nonumber$$

$$(x−c)^2+y^2=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2 \nonumber$$

$$x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 \nonumber$$

$$−2cx=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx. \nonumber$$

Тепер виділіть радикал з правого боку і знову квадрат:

$$−2cx=4a^2−4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx \nonumber$$

$$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4cx \nonumber$$

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\dfrac{cx}{a} \nonumber$$

$$(x+c)^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2} \nonumber$$

$$x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2} \nonumber$$

$$x^2+c^2+y^2=a^2+\dfrac{c^2x^2}{a^2}. \nonumber$$

Виділіть змінні в лівій частині рівняння і константи з правого боку:

$$x^2−\dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2 \nonumber$$

$$\dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2. \nonumber$$

Розділіть обидві сторони на$a^2−c^2$. Це дає рівняння

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1. \nonumber$$

Якщо ми повернемося до малюнка$\PageIndex{6}$, то довжина кожного з двох зелених відрізків лінії дорівнює$a$. Це вірно тому, що сума відстаней від точки$Q$ до вогнищ$F′$ дорівнює$F$ і дорівнює$2a$, а довжини цих двох відрізків лінії рівні. Цей відрізок лінії утворює прямокутний трикутник з довжиною гіпотенузи$a$ і довжинами катетів$b$ і$c$. З теореми Піфагора,$b^2+c^2=a^2$ і$b^2=a^2−c^2$. Тому рівняння еліпса стає

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1. \nonumber$$

Нарешті, якщо центр еліпса переміщений від початку до точки$(h,k)$, ми маємо наступну стандартну форму еліпса.

Рівняння еліпса в стандартній формі

Розглянемо еліпс з центром$(h,k)$, горизонтальну велику вісь з довжиною$2a$ і вертикальну незначну вісь з довжиною$2b$. Тоді рівняння цього еліпса в стандартному вигляді

$$\dfrac{(x−h)^2}{a^2}+\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 \label{HorEllipse}$$

а вогнища розташовуються при$(h±c,k)$, де$c^2=a^2−b^2$. Рівняння напрямків є$x=h±\dfrac{a^2}{c}$.

Якщо велика вісь вертикальна, то рівняння еліпса стає

$$\dfrac{(x−h)^2}{b^2}+\dfrac{(y−k)^2}{a^2}=1 \label{VertEllipse}$$

а вогнища розташовуються при$(h,k±c)$, де$c^2=a^2−b^2$. Рівняння директрик в даному випадку є$y=k±\dfrac{a^2}{c}$.

Якщо велика вісь горизонтальна, то еліпс називається горизонтальним, а якщо велика вісь вертикальна, то еліпс називається вертикальним. Рівняння еліпса в загальному вигляді, якщо воно в формі

$$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0, \nonumber$$

де A і B є або позитивними, або обома негативними. Щоб перетворити рівняння із загальної форми в стандартну форму, скористайтеся методом заповнення квадрата.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding the Standard Form of an Ellipse

Ставимо рівняння

$$9x^2+4y^2−36x+24y+36=0 \nonumber$$

в стандартну форму і графувати отриманий еліпс.

Рішення

Спочатку відніміть 36 з обох сторін рівняння:

$$9x^2+4y^2−36x+24y=−36. \nonumber$$

Далі згрупуйте$x$ терміни разом і$y$ терміни разом, і врахуйте загальний фактор:

$$(9x^2−36x)+(4y^2+24y)=−36 \nonumber$$

$$9(x^2−4x)+4(y^2+6y)=−36. \nonumber$$

Нам потрібно визначити константу, яка при додаванні всередині кожного набору дужок призводить до ідеального квадрата. У першому наборі дужок візьміть половину коефіцієнта x і квадрат його. Це дає$(\dfrac{−4}{2})^2=4.$ У другому наборі дужок взяти половину коефіцієнта y і квадрат його. Це дає$(\dfrac{6}{2})^2=9.$ Додати їх всередині кожної пари дужок. Оскільки перший набір дужок має 9 спереду, ми насправді додаємо 36 на лівій стороні. Аналогічно ми додаємо 36 до другого набору, а також. Тому рівняння стає

$$9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=−36+36+36 \nonumber$$

$$9(x^2−4x+4)+4(y^2+6y+9)=36. \nonumber$$

Тепер множник обох наборів дужок і ділимо на 36:

$$9(x−2)^2+4(y+3)^2=36 \nonumber$$

$$\dfrac{9(x−2)^2}{36}+\dfrac{4(y+3)^2}{36}=1 \nonumber$$

$$\dfrac{(x−2)^2}{4}+\dfrac{(y+3)^2}{9}=1. \nonumber$$

Рівняння тепер в стандартній формі. Порівняння цього з рівнянням\ ref {Vertellipse} дає$h=2, k=−3, a=3,$ і$b=2$. Це вертикальний еліпс з центром в$(2,−3)$, великою віссю 6 і малою віссю 4. Графік цього еліпса виглядає наступним чином.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Еліпс у прикладі$\PageIndex{2}$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Ставимо рівняння

$$9x^2+16y^2+18x−64y−71=0 \nonumber$$

в стандартну форму і графувати отриманий еліпс.

Підказка

Перемістіть константу над і завершіть квадрат.

Відповідь

$$\dfrac{(x+1)^2}{16}+\dfrac{(y−2)^2}{9}=1 \nonumber$$

Згідно з першим законом Кеплера про рух планет, орбіта планети навколо Сонця являє собою еліпс з Сонцем в одному з вогнищ, як показано на малюнку$\PageIndex{8A}$. Оскільки орбіта Землі є еліпсом, відстань від Сонця змінюється протягом року. Поширеною помилкою є те, що Земля ближче до Сонця влітку. Насправді влітку для північної півкулі Земля знаходиться далі від Сонця, ніж взимку. Різниця в сезоні обумовлена нахилом осі Землі в орбітальній площині. Комети, які обертаються навколо Сонця, такі як комета Галлея, також мають еліптичні орбіти, як і супутники, що обертаються навколо планет і супутників, що обертаються навколо Землі.

Еліпси також мають цікаві світловідбиваючі властивості: світловий промінь, що виходить від одного фокусу, проходить через інший фокус після дзеркального відображення в еліпсі. Те ж саме відбувається і зі звуковою хвилею. Національний скульптурний зал в Капітолії США у Вашингтоні, округ Колумбія, є відомою кімнатою в еліптичній формі, як показано на малюнку$\PageIndex{8B}$. Цей зал служив місцем зустрічі Палати представників США майже п'ятдесят років. Розташування двох вогнищ цієї напівеліптичної кімнати чітко позначено відмітками на підлозі, і навіть якщо кімната переповнена відвідувачами, коли двоє людей стоять на цих плямах і розмовляють один з одним, вони можуть чути один одного набагато чіткіше, ніж чути когось, хто стоїть поруч. Легенда свідчить, що Джон Квінсі Адамс мав свій стіл, розташований на одному з вогнищ і зміг підслуховувати всіх інших у Будинку, не потребуючи стояти. Хоча це і робить хорошу історію, навряд чи це буде правдою, адже оригінальна стеля видав стільки відгомонів, що всю кімнату довелося повісити килимами, щоб гасити шум. Стеля був відбудований у 1902 році, і лише тоді з'явився відомий зараз ефект шепоту. Ще одна відома шепітна галерея - місце багатьох пропозицій про шлюб - знаходиться на Центральному вокзалі в Нью-Йорку.

Малюнок$\PageIndex{8}$: (а) Орбіта Землі навколо Сонця - це еліпс із Сонцем у одному фокусі. (б) Статуарний зал в Капітолії США - це шепітна галерея з еліптичним перерізом.

Гіперболи

Гіпербола також може бути визначена з точки зору відстаней. У разі гіперболи виділяють два вогнища і дві спрямованості. Гіперболи також мають два асимптоти.

Визначення: гіпербола

Гіпербола - це сукупність всіх точок, де різниця між їх відстанями від двох нерухомих точок (вогнищ) постійна.

Графік типової гіперболи з'являється наступним чином.

Малюнок$\PageIndex{9}$: Типова гіпербола, при якій різниця відстаней від будь-якої точки на гіперболі до вогнищ постійна. Поперечну вісь також називають великою віссю, а сполучену вісь ще називають незначною віссю.

Виведення рівняння гіперболи в стандартній формі практично ідентично рівнянню еліпса. Одна невелика заковика полягає у визначенні: різниця між двома числами завжди позитивна. $P$Дозволяти точка на гіперболі з координатами$(x,y)$. Потім дає визначення гіперболи$|d(P,F_1)−d(P,F_2)|=constant$. Щоб спростити виведення, припустимо, що$P$ знаходиться на правій гілці гіперболи, тому стовпчики абсолютного значення падають. Якщо він знаходиться на лівій гілці, то віднімання відбувається зворотним. Вершина правої гілки має координати$(a,0),$ так

$$d(P,F_1)−d(P,F_2)=(c+a)−(c−a)=2a. \nonumber$$

Тому це рівняння вірно для будь-якої точки гіперболи. Повернення до координат$(x,y)$ для$P$:

$$d(P,F_1)−d(P,F_2)=2a \nonumber$$

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}−\sqrt{(x−c)^2+y^2}=2a. \nonumber$$

Виділяють другий радикал і квадрат з обох сторін:

$$\sqrt{(x−c)^2+y^2}=-2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2} \nonumber$$

$$(x−c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2 \nonumber$$

$$x^2−2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2 \nonumber$$

$$−2cx=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx. \nonumber$$

Тепер виділіть радикал з правого боку і знову квадрат:

$−2cx=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx$

$-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=−4a^2−4cx$

$-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=−a−\dfrac{cx}{a}$

$(x+c)^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2}$

$x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2}$

$x^2+c^2+y^2=a^2+\dfrac{c^2x^2}{a^2}$.

Виділіть змінні в лівій частині рівняння і константи з правого боку:

$$x^2−\dfrac{c^2x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2 \nonumber$$

$$\dfrac{(a^2−c^2)x^2}{a^2}+y^2=a^2−c^2. \nonumber$$

Нарешті, розділіть обидві сторони на$a^2−c^2$. Це дає рівняння

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2−c^2}=1. \nonumber$$

Тепер ми визначаємо б так, що$b^2=c^2−a^2$. Це можливо тому, що$c>a$. Тому рівняння гіперболи стає

$$\dfrac{x^2}{a^2}−\dfrac{y^2}{b^2}=1. \nonumber$$

Нарешті, якщо центр гіперболи переміщений від початку до точки,$(h,k),$ ми маємо наступну стандартну форму гіперболи.

Рівняння гіперболи в стандартній формі

Розглянемо гіперболу з центром$(h,k)$, горизонтальною великою віссю та вертикальною незначною віссю. Тоді рівняння цієї гіперболи

$$\dfrac{(x−h)^2}{a^2}−\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1 \label{HorHyperbola}$$

а вогнища розташовуються$(h±c,k),$ там де$c^2=a^2+b^2$. Рівняння асимптотів$y=k±\dfrac{b}{a}(x−h).$ задаються рівняннями директрик

$$x=h±\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=h±\dfrac{a^2}{c} \nonumber$$

Якщо велика вісь вертикальна, то рівняння гіперболи стає

$$\dfrac{(y−k)^2}{a^2}−\dfrac{(x−h)^2}{b^2}=1 \nonumber$$

а вогнища розташовуються$(h,k±c),$ там де$c^2=a^2+b^2$. Рівняння асимптотів задаються за допомогою$y=k±\dfrac{a}{b}(x−h)$. Рівняння директрис є

$$y=k±\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=k±\dfrac{a^2}{c}. \nonumber$$

Якщо велика вісь (поперечна вісь) горизонтальна, то гіперболу називають горизонтальною, а якщо велика вісь вертикальна, то гіперболу називають вертикальною. Рівняння гіперболи знаходиться в загальному вигляді, якщо воно в формі

$$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0, \nonumber$$

де А і В мають протилежні знаки. Для того щоб перетворити рівняння з загальної в стандартну форму, скористайтеся методом заповнення квадрата.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding the Standard Form of a Hyperbola

Помістіть рівняння$9x^2−16y^2+36x+32y−124=0$ в стандартну форму і зробіть графік отриманої гіперболи. Які існують рівняння асимптотів?

Рішення

Спочатку додайте 124 до обох сторін рівняння:

$9x^2−16y^2+36x+32y=124.$

Далі згрупуйте терміни x разом та терміни y разом, а потім врахуйте загальні фактори:

$(9x^2+36x)−(16y^2−32y)=124$

$9(x^2+4x)−16(y^2−2y)=124$.

Нам потрібно визначити константу, яка при додаванні всередині кожного набору дужок призводить до ідеального квадрата. У першому наборі дужок візьміть половину коефіцієнта x і квадрат його. Це дає$(\dfrac{4}{2})^2=4$. У другому наборі дужок візьміть половину коефіцієнта y і квадрат його. Це дає$(\dfrac{−2}{2})^2=1.$ Додати їх всередині кожної пари дужок. Оскільки перший набір дужок має 9 спереду, ми насправді додаємо 36 на лівій стороні. Аналогічно ми віднімаємо 16 з другого набору дужок. Тому рівняння стає

$9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=124+36−16$

$9(x^2+4x+4)−16(y^2−2y+1)=144.$

Наступний множник обидві множини дужок і ділять на 144:

$9(x+2)^2−16(y−1)^2=144$

$\dfrac{9(x+2)^2}{144}−\dfrac{16(y−1)^2}{144}=1$

$\dfrac{(x+2)^2}{16}−\dfrac{(y−1)^2}{9}=1.$

Рівняння тепер в стандартній формі. Порівняння цього з рівнянням\ ref {HorHyperbola} дає$h=−2, k=1, a=4,$ і$b=3$. Це горизонтальна гіпербола з центром в$(−2,1)$ і асимптотами, заданими рівняннями$y=1±\dfrac{3}{4}(x+2)$. Графік цієї гіперболи відображається на рис$\PageIndex{10}$.

Малюнок$\PageIndex{10}$: Графік гіперболи в прикладі$\PageIndex{3}$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Помістіть рівняння$4y^2−9x^2+16y+18x−29=0$ в стандартну форму і зробіть графік отриманої гіперболи. Які існують рівняння асимптотів?

Підказка

Перемістіть константу над і завершіть квадрат. Перевірте, в якому напрямку відкривається гіпербола

Відповідь

$\dfrac{(y+2)^2}{9}−\dfrac{(x−1)^2}{4}=1.$Це вертикальна гіпербола. Асимптоти$y=−2±\dfrac{3}{2}(x−1).$

Гіперболи також мають цікаві світловідбиваючі властивості. Промінь, спрямований до одного вогнища гіперболи, відбивається гіперболічним дзеркалом до іншого вогнища. Це поняття проілюстровано на рис$\PageIndex{11}$.

Малюнок$\PageIndex{11}$: Гіперболічне дзеркало, яке використовується для збору світла від далеких зірок.

Це властивість гіперболи має важливі застосування. Застосовується в радіопеленгації (так як різниця сигналів від двох веж постійна уздовж гіпербол), і в конструкції дзеркал всередині телескопів (для відображення світла, що надходить від параболічного дзеркала до окуляра). Ще один цікавий факт про гіперболи полягає в тому, що для комети, що входить в Сонячну систему, якщо швидкість досить велика, щоб уникнути гравітаційного потягу Сонця, то шлях, який проходить комета, проходячи через Сонячну систему, є гіперболічним.

Ексцентриситет і Directrix

Альтернативний спосіб опису конічного перерізу включає напрямки, вогнища та нову властивість, яка називається ексцентриситетом. Ми побачимо, що значення ексцентриситету конічного перерізу може однозначно визначити цей конічний.

Визначення: Ексцентриситет і спрямованості

Ексцентриситет $e$конічного перерізу визначається як відстань від будь-якої точки конічного перерізу до його вогнища, поділена на перпендикулярну відстань від цієї точки до найближчої директриси. Це значення є постійним для будь-якого конічного перерізу і може визначати також конічний переріз:

1. Якщо$e=1$, конічний - парабола.
2. Якщо$e<1$, то це еліпс.
3. Якщо$e>1,$ це гіпербола.

Ексцентриситет кола дорівнює нулю. Директриса конічного перерізу - це лінія, яка разом з точкою, відомою як фокус, служить для визначення конічного перерізу. Гіперболи і некругові еліпси мають два вогнища і дві пов'язані з ними напрямки. Параболи мають один фокус і одну директрису.

Три конічних перерізу з їх напрямками зображені на рис$\PageIndex{12}$.

Малюнок$\PageIndex{12}$: Три конічних перерізу з їх осередками та напрямками.

Нагадаємо з визначення параболи, що відстань від будь-якої точки параболи до вогнища дорівнює відстані від тієї ж точки до директриси. Тому за визначенням ексцентриситет параболи повинен бути 1. Рівняння напрямків горизонтального еліпса є$x=±\dfrac{a^2}{c}$. Права вершина еліпса розташована на,$(a,0)$ а правий фокус -$(c,0)$. Тому відстань від вершини до фокуса є,$a−c$ а відстань від вершини до правої директриси є$\dfrac{a^2}{c}−c.$ Це дає ексцентриситет як

$$e=\dfrac{a−c}{\dfrac{a^2}{c}−a}=\dfrac{c(a−c)}{a^2−ac}=\dfrac{c(a−c)}{a(a−c)}=\dfrac{c}{a}. \nonumber$$

Так як$c<a$ цей крок доводить, що ексцентриситет еліпса менше 1. Напрямки горизонтальної гіперболи також розташовані на$x=±\dfrac{a^2}{c}$, і подібний розрахунок показує, що ексцентриситет гіперболи також є$e=\dfrac{c}{a}$. Однак у цьому випадку ми маємо$c>a$, тому ексцентриситет гіперболи більше 1.

Приклад$\PageIndex{4}$: Determining Eccentricity of a Conic Section

Визначте ексцентриситет еліпса, описаного рівнянням

$\dfrac{(x−3)^2}{16}+\dfrac{(y+2)^2}{25}=1.$

Рішення

З рівняння бачимо, що$a=5$ і$b=4$. Значення c можна обчислити за допомогою рівняння$a^2=b^2+c^2$ для еліпса. Підстановка значень a і b і розв'язування для c дає$c=3$. Тому ексцентриситет еліпса дорівнює$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{5}=0.6.$

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте ексцентриситет гіперболи, описаної рівнянням

$\dfrac{(y−3)^2}{49}−\dfrac{(x+2)^2}{25}=1.$

Підказка

Спочатку знайдіть значення a і b, потім визначте c за допомогою рівняння$c^2=a^2+b^2$.

Відповідь

$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{74}}{7}≈1.229$

Полярні рівняння конічних перерізів

Іноді корисно написати або ідентифікувати рівняння конічного перерізу в полярному вигляді. Для цього нам знадобиться поняття фокального параметра. Фокусний параметр конічного перерізу p визначається як відстань від фокуса до найближчої директриси. У наступній таблиці наведено фокусні параметри для різних типів коніків, де a - довжина напіввеликої осі (тобто половина довжини великої осі), c - відстань від початку до фокусу, а e - ексцентриситет. У випадку з параболою a представляє відстань від вершини до фокусу.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Ексцентриситети та фокальні параметри конічних перерізів

Конічна	$e$	$p$
Еліпс	\ (e\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$0<e<1$	\ (p\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{a^2−c^2}{c}=\dfrac{a(1−e^2)}{c}$
Парабола	\ (e\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$e=1$	\ (p\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$2a$
Гіпербола	\ (e\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$e>1$	\ (p\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{c^2−a^2}{c}=\dfrac{a(e^2−1)}{c}$

Використовуючи визначення фокального параметра та ексцентриситету конічного перерізу, можна вивести рівняння для будь-якого конічного перерізу в полярних координатах. Зокрема, припустимо, що один з вогнищ заданого конічного перерізу лежить на полюсі. Тоді за допомогою визначення різних конічних перерізів за відстанями можна довести наступну теорему.

Полярне рівняння конічних перерізів

Полярне рівняння конічного перерізу з фокусним параметром p задається

$r=\dfrac{ep}{1±e\cos θ}$або$r=\dfrac{ep}{1±e\sin θ}.$

У рівнянні зліва велика вісь конічного перерізу горизонтальна, а в рівнянні праворуч велика вісь вертикальна. Для роботи з конічним перерізом, записаним у полярній формі, спочатку зробіть постійний член в знаменнику рівним 1. Це можна зробити, розділивши і чисельник, і знаменник дробу на константу, яка з'являється перед плюсом або мінусом в знаменнику. Тоді коефіцієнт синуса або косинуса в знаменнику - ексцентриситет. Це значення ідентифікує конічний конус. Якщо в знаменнику з'являється косинус, то конічний - горизонтальний. Якщо з'являється синус, то конус вертикальний. Якщо обидва з'являються, то осі повертаються. Центр конічного конуса не обов'язково знаходиться біля початку. Центр знаходиться в початковій точці, тільки якщо конічним є коло (тобто$e=0$).

Приклад$\PageIndex{5}$: Graphing a Conic Section in Polar Coordinates

Визначте та створіть графік конічного перерізу, описаного рівнянням

$r=\dfrac{3}{1+2\cos θ}$.

Рішення

Постійний член в знаменнику дорівнює 1, тому ексцентриситет конічного конуса дорівнює 2. Це гіпербола. Фокусний параметр p можна обчислити за допомогою рівняння$ep=3.$ Since$e=2$, це дає$p=\dfrac{3}{2}$. Функція косинуса з'являється в знаменнику, тому гіпербола горизонтальна. Виберіть кілька значень для$θ$ і створіть таблицю значень. Тоді ми можемо скласти графік гіперболи (рис.$\PageIndex{13}$).

$θ$	$r$	$θ$	$r$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 0	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 1	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$π$	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">−3
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{π}{4}$	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}≈1.2426$	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{5π}{4}$	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3}{1−\sqrt{2}}≈−7.2426$
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{π}{2}$	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 3	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3π}{2}$	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 3
\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3π}{4}$	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3}{1−\sqrt{2}}≈−7.2426$	\ (θ\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{7π}{4}$	\ (r\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">$\dfrac{3}{1+\sqrt{2}}≈1.2426$

Малюнок$\PageIndex{13}$: Графік гіперболи, описаний у прикладі$\PageIndex{5}$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Визначте та створіть графік конічного перерізу, описаного рівнянням

$r=\dfrac{4}{1−0.8 \sin θ}$.

Підказка

Спочатку знайдіть значення e і p, а потім створіть таблицю значень.

Відповідь

Ось$e=0.8$ і$p=5$. Цей конічний переріз є еліпсом.

Загальні рівняння другого ступеня

Загальне рівняння ступеня два можна записати у вигляді

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. \nonumber$$

Графік рівняння такого виду є конічним перерізом. Якщо$B≠0$ тоді осі координат обертаються. Для ідентифікації конічного перерізу використовується дискримінант конічного перерізу$4AC−B^2.$

Визначення конічного перерізу

Один з наступних випадків повинен бути вірним:

1. $4AC−B^2>0$. Якщо так, то граф є еліпсом.
2. $4AC−B^2=0$. Якщо так, то граф є параболою.
3. $4AC−B^2<0$. Якщо так, то графік є гіперболою.

Найпростішим прикладом рівняння другого ступеня, що включає перехресний член, є$xy=1$. Це рівняння можна вирішити$y$ для отримання$y=\dfrac{1}{x}$. Графік цієї функції називається прямокутною гіперболою, як показано на малюнку.

Малюнок$\PageIndex{14}$: Графік рівняння$xy=1$; Червоні лінії позначають повернуті осі.

Асимптотами цієї гіперболи є$x$ осі$y$ координат і. Для визначення кута θ повороту конічного перерізу скористаємося формулою$\cot 2θ=\frac{A−C}{B}$. В даному випадку$A=C=0$ і$B=1$, так$\cot 2θ=(0−0)/1=0$ і$θ=45°$. Спосіб побудови графіка конічного перерізу з обертованими осями включає визначення коефіцієнтів конічного перерізу в оберненій системі координат. Нові коефіцієнти маркуються$A′,B′,C′,D′,E′,$$F′,$ і задаються формулами

$$\begin{align} A′ =A\cos^ 2θ+B\cos θ\sin θ+C\sin^2 θ \\ B′ =0 \\ C′ =A\sin^2 θ−B\sin θ\cos θ+C\cos^2θ \\ D′ =D\cos θ+E\sin θ \\ E′ =−D\sin θ+E\cosθ \\ F′ =F. \end{align} \nonumber$$

Процедура: побудова графіка оберненого конічного конуса

Порядок побудови графіка повернутого конічного конуса полягає в наступному:

1. Визначте конічний переріз за допомогою дискримінанту$4AC−B^2$.
2. $θ$Визначаємося за допомогою формули $$\cot2θ=\dfrac{A−C}{B} \label{rot}.$$
3. Розрахувати$A′,B′,C′,D′,E′$, і$F′$.
4. Перепишіть вихідне рівняння за допомогою$A′,B′,C′,D′,E′$, і$F′$.
5. Намалюйте графік, використовуючи повернуте рівняння.

Приклад$\PageIndex{6}$: Identifying a Rotated Conic

Визначити конічний і обчислити кут повороту осей для кривої, описаної рівнянням

$$13x^2−6\sqrt{3}xy+7y^2−256=0. \nonumber$$

Рішення

У цьому рівнянні$A=13,B=−6\sqrt{3},C=7,D=0,E=0,$ і$F=−256$. Дискримінант цього рівняння

$$4AC−B^2=4(13)(7)−(−6\sqrt{3})^2=364−108=256. \nonumber$$

Тому ця коніка є еліпсом.

Для обчислення кута повороту осей використовують Equation\ ref {rot}

$$\cot 2θ=\dfrac{A−C}{B}. \nonumber$$

Це дає

$\cot 2θ=\dfrac{A−C}{B}=\dfrac{13−7}{−6\sqrt{3}}=−\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Тому$2θ=120^o$ і$θ=60^o$, який кут повороту осей.

Для визначення обертових коефіцієнтів скористайтеся формулами, наведеними вище:

$A′=A\cos^2θ+B\cos θ\sinθ+C\sin^2θ$

$=13\cos^260+(−6\sqrt{3})\cos 60 \sin 60+7\sin^260$

$=13(\dfrac{1}{2})^2−6\sqrt{3}(\dfrac{1}{2})(\dfrac{\sqrt{3}}{2})+7(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2$

$=4,$

$B′=0$

$C′=A\sin^2θ−B\sin θ\cos θ+C\cos^2θ$

$=13\sin^260+(6\sqrt{3})\sin 60 \cos 60+7\cos^260$

$=13(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+6\sqrt{3}(\dfrac{\sqrt{3}}{2})(\dfrac{1}{2})+7(\dfrac{1}{2})^2$

$=16,$

$D′=D\cos θ+E\sin θ$

$=(0)\cos 60+(0)\sin 60$

$=0,$

$E′=−D\sin θ+E\cos θ$

$=−(0)\sin 60+(0)\cos 60$

$=0$

$F′= F$

$=−256.$

Рівняння конічного конуса в оберненій системі координат стає

$4(x′)^2+16(y′)^2=256$

$\dfrac{(x′)^2}{64}+\dfrac{(y′)^2}{16}=1$.

Графік цього конічного перерізу виглядає наступним чином.

Малюнок$\PageIndex{15}$: Графік еліпса описується рівнянням$13x^2−6\sqrt{3}xy+7y^2−256=0$. Осі повертаються$60°$. Червоні пунктирні лінії позначають повернуті осі.

Вправа$\PageIndex{6}$

Визначити конічний і обчислити кут повороту осей для кривої, описаної рівнянням

$$3x^2+5xy−2y^2−125=0. \nonumber$$

Підказка

Виконайте кроки 1 і 2 п'ятикрокового методу, описаного вище

Відповідь

Конічна - це гіпербола, а кут повороту осей дорівнює$θ=22.5°.$

Ключові поняття

• Рівняння вертикальної параболи в стандартній формі з заданим фокусом і директрисою$p$ - це$y=\dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k$ де відстань від вершини до вогнища і$(h,k)$ є координатами вершини.
• Рівняння горизонтального еліпса в стандартній формі - це те,$\dfrac{(x−h)^2}{a^2}+\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1$ де центр має координати$(h,k)$, велика вісь має довжину 2а, незначна вісь має довжину 2b, а координати$(h±c,k)$ вогнищ - де$c^2=a^2−b^2$.
• Рівняння горизонтальної гіперболи в стандартній формі - це те$(h,k)$,$\dfrac{(x−h)^2}{a^2}−\dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1$ де центр має координати, вершини розташовані в$(h±a,k)$, а координати вогнищ -$(h±c,k),$ де$c^2=a^2+b^2$.
• Ексцентриситет еліпса менше 1, ексцентриситет параболи дорівнює 1, а ексцентриситет гіперболи більше 1. Ексцентриситет кола дорівнює 0.
• Полярне рівняння конічного перерізу з ексцентриситетом e дорівнює$r=\dfrac{ep}{1±ecosθ}$ або$r=\dfrac{ep}{1±esinθ}$, де p представляє фокальний параметр.
• Для ідентифікації конічного конуса, породженого рівнянням$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$, спочатку обчислити дискримінант$D=4AC−B^2$. Якщо$D>0$ тоді конічний - еліпс, якщо$D=0$ тоді конічний - парабола, а якщо$D<0$ то конічний - гіпербола.

Глосарій

конічний перетин

конічний переріз - це будь-яка крива, утворена перетином площини з конусом двох ворсів

директриса

директриса (множина: директриси) — лінія, яка використовується для побудови та визначення конічного перерізу; парабола має одну директрису; еліпси та гіперболи мають два

дискримінантний

значення$4AC−B^2$, яке використовується для ідентифікації конічного, коли рівняння містить член за участю$xy$, називається дискримінантним

фокус

фокус (множина: вогнища) - точка, яка використовується для побудови та визначення конічного перерізу; парабола має один фокус; еліпс та гіпербола мають два

ексцентриситет

ексцентриситет визначається як відстань від будь-якої точки конічного перерізу до її фокусу, поділене на перпендикулярну відстань від цієї точки до найближчої директриси

фокусний параметр

фокальний параметр - відстань від фокуса конічного перерізу до найближчої директриси

загальна форма

рівняння конічного перерізу, записане як загальне рівняння другого ступеня

велика вісь

велика вісь конічного перерізу проходить через вершину у випадку параболи або через дві вершини у випадку еліпса або гіперболи; вона також є віссю симетрії конічного; також називається поперечною віссю

незначна вісь

незначна вісь перпендикулярна великій осі і перетинає велику вісь в центрі конічної, або у вершині у випадку параболи; також називається сполученою віссю

дрімати

підгузник - одна половина подвійного конуса

стандартна форма

рівняння конічного перерізу, показуючи його властивості, такі як розташування вершини або довжини великих і другорядних осей

вершина

вершина — крайня точка конічного перерізу; парабола має одну вершину в точці повороту. Еліпс має дві вершини, по одній на кожному кінці великої осі; гіпербола має дві вершини, по одній у точці повороту кожної гілки