3: Похідні
- Page ID
- 62221
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Обчислення швидкості та зміни швидкості є важливим використанням обчислення, але воно набагато більш поширене, ніж це. Обчислення є важливим у всіх галузях математики, науки та техніки, і це має вирішальне значення для аналізу в бізнесі та охороні здоров'я, а також. У цьому розділі ми досліджуємо один з основних інструментів числення, похідну, і покажемо зручні способи обчислення похідних. Ми застосовуємо ці правила до різних функцій у цьому розділі, щоб потім дослідити застосування цих методів.
- 3.0: Прелюдія до похідних
- Обчислення швидкості та зміни швидкості є важливим використанням обчислення, але воно набагато більш поширене, ніж це. Обчислення є важливим у всіх галузях математики, науки та техніки, і це має вирішальне значення для аналізу в бізнесі та охороні здоров'я, а також. У цьому розділі ми досліджуємо один з основних інструментів числення, похідну, і покажемо зручні способи обчислення похідних. Ми застосовуємо ці правила до різних функцій у цьому розділі, щоб потім ми могли досліджувати програми
- 3.1: Визначення похідної
- Нахил дотичної лінії до кривої вимірює миттєву швидкість зміни кривої. Ми можемо обчислити його, знайшовши межу коефіцієнта різниці або коефіцієнт різниці з приростом h. Похідна функції f (x) при значенні a знайдено за допомогою будь-якого з визначень нахилу дотичної прямої. Швидкість - це швидкість зміни положення. Таким чином, швидкість v (t) в момент t є похідною положення s (t) в момент t.
- 3.3: Правила диференціації
- Похідна постійної функції дорівнює нулю. Похідна від степеневої функції - це функція, при якій влада на х стає коефіцієнтом члена, а потужність на х у похідній зменшується на 1. Похідна константи c, помножена на функцію f, така ж, як і константа, помножена на похідну. Похідна суми функції f і функції g збігається з сумою похідної f і похідної g.
- 3.4: Похідні як темпи змін
- У цьому розділі ми розглянемо деякі застосування похідної, зосередившись на інтерпретації похідної як швидкості зміни функції. Ці програми включають прискорення та швидкість у фізиці, темпи зростання населення в біології та граничні функції в економіці.
- 3.5: Похідні тригонометричних функцій
- Ми можемо знайти похідні від sin x та cos x за допомогою визначення похідної та граничних формул, знайдених раніше. За допомогою цих двох формул ми можемо визначити похідні всіх шести основних тригонометричних функцій.
- 3.6: Правило ланцюга
- Ключові поняття Правило ланцюга дозволяє диференціювати композиції двох або більше функцій. Він стверджує, що для\(h(x)=f(g(x)),\)\(h′(x)=f′(g(x))g′(x).\) Ми можемо використовувати правило ланцюга з іншими правилами, які ми вивчили, і ми можемо вивести формули для деяких з них. Правило ланцюга поєднується з правилом влади, щоб сформувати нове правило: Якщо\(h(x)=(g(x))^n\), то\(h′(x)=n(g(x))^{n−1}g′(x)\).
- 3.7: Похідні обернених функцій
- Теорема оберненої функції дозволяє обчислити похідні обернених функцій без використання граничного визначення похідної. Ми можемо використовувати теорему обернених функцій для розробки формул диференціювання обернених тригонометричних функцій.
- 3.8: Неявна диференціація
- Використовується неявна диференціація для пошуку похідних неявно визначених функцій (функцій, визначених рівняннями). Використовуючи неявне диференціювання, ми можемо знайти рівняння дотичної лінії до графіка кривої.
- 3.9: Похідні експоненціальних та логарифмічних функцій
- У цьому розділі ми досліджуємо похідні експоненціальних та логарифмічних функцій. Як ми обговорювали у Вступ до функцій та графіків, експоненціальні функції відіграють важливу роль у моделюванні зростання населення та розпаду радіоактивних матеріалів. Логарифмічні функції можуть допомогти масштабувати великі величини і особливо корисні для переписування складних виразів.
Мініатюра: похідні (CC BY; OpenStax)