3.2: Похідна як функція

Цілі навчання

• Визначте похідну функцію заданої функції.
• Графік — похідна функція з графа заданої функції.
• Створити зв'язок між похідними і безперервністю.
• Опишіть три умови, коли функція не має похідної.
• Поясніть значення похідної вищого порядку.

Як ми бачили, похідна функції в даній точці дає нам швидкість зміни або нахилу дотичної лінії до функції в цій точці. Якщо ми диференціюємо позиційну функцію в даний час, ми отримаємо швидкість в той час. Здається розумним зробити висновок, що знання похідної функції в кожній точці дасть цінну інформацію про поведінку функції. Однак процес знаходження похідної навіть у декількох значень за допомогою методів попереднього розділу швидко став би досить нудним. У цьому розділі ми визначаємо похідну функцію і вивчимо процес її знаходження.

Похідні функції

Похідна функція дає похідну функції в кожній точці області початкової функції, для якої визначено похідну. Ми можемо формально визначити похідну функцію наступним чином.

Визначення: похідна функція

$f$Дозволяти бути функцією. Похідна функція, позначається$f'$, - це функція, область якої складається з тих значень$x$ таких, що існує наступна межа:

$$f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}. \label{derdef}$$

$f(x)$Функція, як кажуть, диференційована$a$ при$f'(a)$ наявності. Більш загально, функція вважається диференційованою,$S$ якщо вона диференційована в кожній точці відкритої множини$S$, а диференційована функція - це та, в якій$f'(x)$ існує на її області.

У наступних прикладах ми використовуємо Equation\ ref {derdef} для пошуку похідної функції.

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the Derivative of a Square-Root Function

Знайдіть похідну від$f(x)=\sqrt{x}$.

Рішення

Почніть безпосередньо з визначення похідної функції.

$f(x)=\sqrt{x}$Підставляємо$f(x+h)=\sqrt{x+h}$ і в$f'(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$.

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}$
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}⋅\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$	Помножте чисельник і знаменник на,$\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ не розподіляючи в знаменнику.
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}$	Множимо чисельники і спрощуємо.
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}$	Скасувати$h$.
$=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	Оцініть ліміт

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding the Derivative of a Quadratic Function

Знайдіть похідну функції$f(x)=x^2−2x$.

Рішення

Виконайте ту ж процедуру тут, але без необхідності множення на сполучений.

$f(x+h)=(x+h)^2−2(x+h)$$f(x)=x^2−2x$Замінюємо і в$f'(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}.$

$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{((x+h)^2−2(x+h))−(x^2−2x)}{h}$
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x^2+2xh+h^2−2x−2h−x^2+2x}{h}$	Розгорнути$(x+h)^2−2(x+h)$.
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{2xh−2h+h^2}{h}$	Спростити
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h(2x−2+h)}{h}$	Фактор$h$ з чисельника
$=\displaystyle\lim_{h→0}(2x−2+h)$	Скасувати загальний фактор$h$
$=2x−2$	Оцініть ліміт

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть похідну від$f(x)=x^2$.

Підказка

Використовуйте Equation\ ref {derdef} і дотримуйтесь прикладу.

Відповідь

$f'(x)=2x$

Ми використовуємо безліч різних позначень для вираження похідної функції. У прикладі$\PageIndex{2}$ ми показали, що якщо$f(x)=x^2−2x$, то$f'(x)=2x−2$. Якби ми висловили цю функцію у вигляді$y=x^2−2x$, ми могли б висловити похідну як$y′=2x−2$ або$\dfrac{dy}{dx}=2x−2$. Ми могли б передати ту ж інформацію, написавши$\dfrac{d}{dx}\left(x^2−2x\right)=2x−2$. Таким чином, для функції$y=f(x)$ кожне з наступних позначень являє собою похідну від$f(x)$:

$f'(x), \quad \dfrac{dy}{dx}, \quad y′,\quad \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)$.

На місці$f'(a)$ ми також можемо використовувати$\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}$. Використання$\dfrac{dy}{dx}$ позначень (званих позначенням Лейбніца) досить поширене в техніці та фізиці. Щоб краще зрозуміти це позначення, нагадайте, що похідна функції в точці є межею нахилів січних ліній, коли січні лінії наближаються до дотичної лінії. Нахили цих січних ліній часто виражаються в тому вигляді,$\dfrac{Δy}{Δx}$ де$Δy$ знаходиться різниця$y$ значень, відповідних різниці$x$ значень, які виражаються як$Δx$ (рис.$\PageIndex{1}$). Таким чином, похідна, яку можна розглядати як миттєву швидкість зміни$y$ щодо$x$, виражається як

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Похідна виражається як$\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}$.

Графік похідної

Ми вже обговорювали, як графікувати функцію, тому, враховуючи рівняння функції або рівняння похідної функції, ми могли б її графікувати. Враховуючи обидва, ми очікуємо побачити відповідність між графіками цих двох функцій, оскільки$f'(x)$ дає швидкість зміни функції$f(x)$ (або нахил дотичної лінії до$f(x)$).

У прикладі$\PageIndex{1}$, ми виявили, що для$f(x)=\sqrt{x}$,$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Якщо ми графуємо ці функції на однакових осях, як на малюнку$\PageIndex{2}$, ми можемо використовувати графіки, щоб зрозуміти взаємозв'язок між цими двома функціями. По-перше, ми помічаємо,$f(x)$ що збільшується по всій його області, а це означає, що нахили його дотичних ліній у всіх точках позитивні. Отже, ми очікуємо$f'(x)>0$ для всіх значень x у своїй області. Крім того,$x$ зі збільшенням нахили дотичних ліній до$f(x)$ зменшуються, і ми очікуємо відповідного зменшення$f'(x)$. Ми також спостерігаємо,$f(0)$ що не визначено і що$\displaystyle \lim_{x→0^+}f'(x)=+∞$, що відповідає вертикальній дотичній до$f(x)$ at$0$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Похідна$f'(x)$ всюди позитивна,$f(x)$ оскільки функція збільшується.

У$\PageIndex{2}$ прикладі ми виявили, що для$f(x)=x^2−2x,\; f'(x)=2x−2$. Графіки цих функцій наведені на рис$\PageIndex{3}$. Спостерігайте,$f(x)$ що зменшується для$x<1$. Для цих же значень$x$,$f'(x)<0$. Для значень$x>1$,$f(x)$ є збільшенням і$f'(x)>0$. Також,$f(x)$ має горизонтальну дотичну при$x=1$ і$f'(1)=0$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Похідна,$f'(x)<0$ де функція$f(x)$$f(x)$ зменшується$f'(x)>0$, а де збільшується. Похідна дорівнює нулю, де функція має горизонтальний тангенс.

Приклад$\PageIndex{3}$: Sketching a Derivative Using a Function

Використовуйте наступний графік,$f(x)$ щоб намалювати графік$f'(x)$.

Рішення

Рішення наведено на наступному графіку. Спостерігайте,$f(x)$ що збільшується і$f'(x)>0$ далі$(–2,3)$. Також,$f(x)$ зменшується і$f'(x)<0$ далі,$(−∞,−2)$ і далі$(3,+∞)$. Також зверніть увагу, що$f(x)$ має горизонтальні дотичні в$–2$ і$3$,$f'(−2)=0$ і$f'(3)=0$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Намалюйте графік$f(x)=x^2−4$. На якому інтервалі знаходиться графік$f'(x)$ вище$x$ -осі?

Підказка

Графік$f'(x)$ позитивний, де$f(x)$ збільшується.

Відповідь

$(0,+∞)$

Похідні та безперервність

Тепер, коли ми можемо графікувати похідну, давайте розглянемо поведінку графіків. Спочатку розглянемо зв'язок між диференційованістю і безперервністю. Ми побачимо, що якщо функція диференційована в точці, вона повинна бути безперервною там; однак функція, яка є безперервною в точці, не повинна бути диференційованою в цій точці. Насправді функція може бути безперервною в точці і не може бути диференційованою в точці з однієї з кількох причин.

Диференційованість передбачає безперервність

$f(x)$Дозволяти бути функцією і$a$ бути в її області. Якщо$f(x)$ диференційована при$a$,$f$ то безперервна при$a$.

Доказ

Якщо$f(x)$ диференціюється в$a$, то$f'(a)$ існує і, якщо ми дозволимо$h = x - a$, ми маємо$x = a + h$, і як$h=x-a\to 0$, ми можемо бачити, що$x\to a$.

Тоді

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber$$

можна переписати як

$f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}$.

Ми хочемо показати, що$f(x)$ це безперервно,$a$ показуючи, що$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a).$ Таким чином,

\ (\ почати {вирівнювати*}\ стиль відображення\ lim_ {x → a} f (x) &=\ lim_ {x → a}\;\ великий (f (x) −f (a) +f (a)\ великий)\\ [4pt]
&=\ lim_ {x → a}\ ліворуч (\ frac {f (x) −f (a)} {x−a} (x−a) +f (a)\ праворуч) &\ text {Множення та ділення} (f (x) −f (a))\ текст {на} x−a.\\ [4pt]
&=\ ліворуч (\ lim_ {x→a}\ frac {f (x) −f (a)} {x−a}\ праворуч) ⋅ ліворуч (\ lim_ {x→a}\; (x−a)\ праворуч) +\ lim_ {x→a} f (a)\\ [4pt]
&=f' (a) ⋅0+f (a)\\ [4pt]
&=f (a). \ end {вирівнювати*}\)

Тому, оскільки$f(a)$ визначається і$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)$, ми робимо висновок, що$f$ є безперервним при$a$.

□

Ми щойно довели, що диференційовність передбачає безперервність, але тепер ми розглянемо, чи означає безперервність диференційованість. Щоб визначити відповідь на це питання, вивчимо функцію$f(x)=|x|$. Ця функція є безперервною скрізь; однак,$f'(0)$ не визначена. Це спостереження змушує нас вважати, що безперервність не передбачає диференційованості. Давайте досліджуємо далі. Для$f(x)=|x|$,

$f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)−f(0)}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|−|0|}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|}{x}$.

Цей ліміт не існує, оскільки

$\displaystyle \lim_{x→0^−}\frac{|x|}{x}=−1$і$\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{|x|}{x}=1$.

Див$\PageIndex{4}$. Малюнок.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Функція$f(x)=|x|$ є безперервною$0$, але не диференційована при$0$.

Розглянемо деякі додаткові ситуації, в яких безперервна функція не може бути диференційованою. Розглянемо функцію$f(x)=\sqrt[3]{x}$:

$f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sqrt[3]{x}−0}{x−0}=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=+∞$.

Таким чином$f'(0)$ не існує. Швидкий погляд на графік$f(x)=\sqrt[3]{x}$ прояснює ситуацію. Функція має вертикальну дотичну лінію на$0$ (рис.$\PageIndex{5}$).

Малюнок$\PageIndex{5}$: Функція$f(x)=\sqrt[3]{x}$ має вертикальну дотичну в$x=0$. Він безперервний при,$0$ але не диференційований при$0$.

Функція$f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ if } x=0\end{cases}$ також має похідну, яка проявляє цікаву поведінку при$0$.

Ми бачимо, що

$f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_{x→0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$.

Ця межа не існує, по суті тому, що нахили січних ліній безперервно змінюють напрямок у міру наближення до нуля (рис.$\PageIndex{6}$).

Малюнок$\PageIndex{6}$:$f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ if } x=0\end{cases}$ Функція не диференційовна на$0$.

Підсумовуючи:

1. Ми спостерігаємо, що якщо функція не є безперервною, вона не може бути диференційованою, оскільки кожна диференційована функція повинна бути безперервною. Однак, якщо функція є безперервною, вона все одно може не бути диференційованою.
2. Ми побачили, що$f(x)=|x|$ не вдалося диференціюватися в$0$ тому, що межа нахилів дотичних ліній зліва і справа не були однаковими. Візуально це призвело до гострого кута на графіку функції в$0.$ З цього ми робимо висновок, що для того, щоб бути диференційованим у точці, функція повинна бути «гладкою» в цій точці.
3. Як ми бачили в прикладі$f(x)=\sqrt[3]{x}$, функція не може бути диференційованою в точці, де є вертикальна дотична лінія.
4. Як ми бачили$f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases}$ з функцією, може не бути диференційованим у точці більш складними способами.

Приклад$\PageIndex{4}$: A Piecewise Function that is Continuous and Differentiable

Іграшкова компанія хоче спроектувати трек для іграшкового автомобіля, який починається вздовж параболічної кривої, а потім перетворюється на пряму лінію (рис.$\PageIndex{7}$). Функція, яка описує трек, полягає в тому, щоб мати форму$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{10}x^2+bx+c, & & \text{ if }x<−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{ if } x≥−10\end{cases}$, де$x$ і$f(x)$ знаходяться в дюймах. Щоб автомобіль плавно рухався по трасі, функція$f(x)$ повинна бути як безперервною, так і диференційованою при$−10$. Знайдіть значення$b$ і$c$ які роблять$f(x)$ як безперервними, так і диференційованими.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Щоб автомобіль плавно рухався по трасі, функція повинна бути як безперервною, так і диференційованою.

Рішення

Щоб функція була безперервною при$x=−10$,$\displaystyle \lim_{x→10^−}f(x)=f(−10)$. Таким чином, так як

$\displaystyle \lim_{x→−10^−}f(x)=\frac{1}{10}(−10)^2−10b+c=10−10b+c$

і$f(−10)=5$, ми повинні мати$10−10b+c=5$. Аналогічно, у нас є$c=10b−5$.

Щоб функція була диференційована при$−10$,

$f'(10)=\displaystyle \lim_{x→−10}\frac{f(x)−f(−10)}{x+10}$

повинні існувати. Оскільки$f(x)$ визначається за допомогою різних правил праворуч і ліворуч, ми повинні оцінити цю межу справа і зліва, а потім встановити їх рівними один одному:

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x→−10^−}\ розрив {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x →−10^−}\ frac {\ frac {1} {10} x^2+bx+c−5} {x+10}\ [4pt]
&=\ lim _ {x→−10^−}\ розрив {\ розриву {1} {10} x^2+bx+ (10b−5) −5} {x+10} &\ текст {Заміна} c=10b−5.\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {x^2−100+10bx+ 100b} {10 (x+10)}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ розрив {(x+10) (x−10+10b)} {10 (x+10)} &\ текст {Фактор за групуванням}\\ [4pt]
&=b−2\ end {align*}\).

У нас також є

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x→−10^+}\ розрив {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x→−10^+}\ frac {−\ frac {1} {4} x+\ frac {5} {2} −5} {x+10}\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^+}\ розрив {− (x+10)} {4 (x+10)}\\ [4pt]
&=−\ розрив {1} {4}\ end {align*}\).

Це дає нам$b−2=−\frac{1}{4}$. Таким чином$b=\frac{7}{4}$ і$c=10(\frac{7}{4})−5=\frac{25}{2}$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайти значення a і b, які роблять$f(x)=\begin{cases}ax+b, & & \text{ if } x<3\\x^2, & & \text{ if } x≥3\end{cases}$ як неперервними, так і диференційованими при$3$.

Підказка

Використовуйте$\PageIndex{4}$ Example як орієнтир.

Відповідь

$a=6$і$b=−9$

Похідні для вищого порядку

Похідна функції сама по собі є функцією, тому ми можемо знайти похідну від похідної. Наприклад, похідна функції положення - це швидкість зміни положення, або швидкість. Похідна швидкості - це швидкість зміни швидкості, яка є прискоренням. Нова функція, отримана при диференціації похідної, називається другою похідною. Крім того, ми можемо продовжувати приймати похідні для отримання третьої похідної, четвертої похідної тощо. У сукупності їх називають похідними вищого порядку. Позначення для похідних вищого порядку$y=f(x)$ може бути виражено в будь-якій з наступних форм:

$f''(x),\; f'''(x),\; f^{(4)}(x),\; …\; ,\; f^{(n)}(x)$

$y''(x),\; y'''(x),\; y^{(4)}(x),\; …\; ,\; y^{(n)}(x)$

$\dfrac{d^2y}{dx^2},\;\dfrac{d^3y}{dy^3},\;\dfrac{d^4y}{dy^4},\;…\;,\;\dfrac{d^ny}{dy^n}.$

Цікаво відзначити, що позначення для$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ можна розглядати як спробу висловити$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ більш компактно.

Аналогічно,$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)=\dfrac{d^3y}{dx^3}$.

Приклад$\PageIndex{5}$: Finding a Second Derivative

Для$f(x)=2x^2−3x+1$, знайдіть$f''(x)$.

Рішення

Перша знахідка$f'(x)$.

$f(x)=2x^2−3x+1$$f(x+h)=2(x+h)^2−3(x+h)+1$Замінюємо і в$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}.$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(2(x+h)^2−3(x+h)+1)−(2x^2−3x+1)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{4xh+2h^2−3h}{h}$	Спростити чисельник.
$=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+2h−3)$	Коефіцієнт$h$ в чисельнику і скасувати зі знаменником$h$ в.
$=4x−3$	Візьміть ліміт.

Далі знаходимо,$f''(x)$ взявши похідну від$f'(x)=4x−3.$

$f''(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h}$	$f ′(x)$Використовувати$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$ з замість$f(x).$
$=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(4(x+h)−3)−(4x−3)}{h}$	Замінник$f'(x+h)=4(x+h)−3$ і$f'(x)=4x−3.$
$=\displaystyle \lim_{h→0}4$	Спростити.
$=4$	Візьміть ліміт.

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайти$f''(x)$ для$f(x)=x^2$.

Підказка

Ми знайшли$f'(x)=2x$ в попередньому контрольно-пропускному пункті. Використовуйте рівняння\ ref {derdef}, щоб знайти похідну від$f'(x)$

Відповідь

$f''(x)=2$

Приклад$\PageIndex{6}$: Finding Acceleration

Положення частинки вздовж осі координат в часі$t$ (у секундах) задається$s(t)=3t^2−4t+1$ (у метрах). Знайдіть функцію, яка описує її прискорення в часі$t$.

Рішення

Починаючи з$v(t)=s′(t)$ і$a(t)=v′(t)=s''(t)$, ми починаємо з знаходження похідної від$s(t)$:

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*} s′ (t) &=\ lim_ {h → 0}\ frac {s (t+h) −s (t)} {h}\ [4pt]
&=\ lim_ {h → 0}\ frac {3 (t+h) ^2−4 (t+h) +1− (3t^2−4t+1}) {h}\\ [4pt]
&=6t−4. \ end {вирівнювати*}\)

Далі,

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*} s "(t) &=\ lim_ {h → 0}\ frac {s′ (t+h) −s′ (t)} {h}\ [4pt]
&=\ lim_ {h → 0}\ frac {6 (t+h) −4 − (6t−4)} {h}\ [4pt]
= 6. \ end {вирівнювати*}\)

Таким чином,$a=6 \;\text{m/s}^2$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Для$s(t)=t^3$, знайдіть$a(t).$

Підказка

Використовуйте$\PageIndex{6}$ Example як орієнтир.

Відповідь

$a(t)=6t$

Ключові концепції

• Похідна функції$f(x)$ - це функція, значення якої at$x$ дорівнює$f'(x)$.
• Графік похідної функції$f(x)$ пов'язаний з графом$f(x)$. Де$f(x)$ має дотичну лінію з додатним нахилом,$f'(x)>0$. Де$f(x)$ має дотичну лінію з негативним нахилом,$f'(x)<0$. Де$f(x)$ має горизонтальну дотичну лінію,$f'(x)=0.$
• Якщо функція диференційована в точці, то вона є безперервною в цій точці. Функція не диференційована в точці, якщо вона не є безперервною в точці, якщо вона має вертикальну дотичну лінію в точці, або якщо графік має гострий кут або кут.
• Похідні вищого порядку - це похідні від похідних, від другої похідної до$n^{\text{th}}$ похідної.

Ключові рівняння

• похідна функція

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$

Глосарій

похідна функція

дає похідну функції в кожній точці області початкової функції, для якої визначено похідну

диференційований при$a$

функція, для якої$f'(a)$ існує, диференційовна при$a$

диференційований на$S$

функція, для якої$f'(x)$ існує для кожного$x$ у відкритому$S$ множині, диференційована на$S$

диференційована функція

функція, для якої$f'(x)$ існує, є диференційовною функцією

похідна вищого порядку

похідна похідної, від другої похідної до$n^{\text{th}}$ похідної, називається похідною вищого порядку

Автори та атрибуція

• Template:ContribOpenStaxCalc
• Paul Seeburger (Monroe Community College) added explanation of the alternative definition of the derivative used in the proof of that differentiability implies continuity.