2.6: Глава 2 Огляд вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62341

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Правда чи брехня. У вправах 1 - 4 обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.

1) Функція повинна бути безперервною,\(x=a\) якщо\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) вона існує.

2) Ви можете використовувати часткове правило для оцінки\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}\).

Відповідь: Помилково, оскільки ми не можемо мати\(\displaystyle \lim_{x→0}x=0\) в знаменнику.

3) Якщо для функції є\(x=a\) вертикальна асимптота\(f(x)\),\(f\) то не визначена в точці\(x=a\).

4) Якщо\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) не існує,\(f\) то не визначено в точці\(x=a\).

Відповідь: Помилкові. Можливий стрибок розриву.

5) За допомогою графіка знайдіть кожну межу або поясніть, чому ліміт не існує.

а.\(\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)\)

б.\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\)

c.\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)\)

д.\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

1, починаючи з відкритого кола в (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

У вправах 6 - 15 оцініть межу алгебраїчно або поясніть, чому межа не існує.

6)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}\)

Відповідь: \(5\)

7)\(\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4\)

8)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}\)

Відповідь: \(8/7\)

9)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}\)

10)\(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}\)

Відповідь: ДЕНЕ

11)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}\)

12)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}\)

Відповідь: \(2/3\)

13)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}\)

14)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}\)

Відповідь: \(−4\)

15)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}\)

У вправах 16 - 17 використовуйте теорему стискання, щоб довести межу.

16)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\)

Відповідь: З тих пір\(−1≤\cos(2πx)≤1\)\(−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2\). Так як\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2\), випливає, що\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\).

17)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0\)

18) Визначте домен таким чином, щоб функція була\(f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x\) безперервною над його доменом.

Відповідь: \([2,∞]\)

У вправах 19 - 20 визначають значення\(c\) такого, щоб функція залишалася безперервною. Намалюйте свою результуючу функцію, щоб переконатися, що вона безперервна.

19)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}\)

20)\(f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}\)

У вправах 21 - 22 використовуйте точне визначення межі, щоб довести межу.

21)\(\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24\)

22)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0\)

Відповідь: \(δ=\sqrt[3]{ε}\)

23) М'яч кидається в повітря і задається вертикальне положення\(x(t)=−4.9t^2+25t+5\). Використовуйте теорему про проміжні значення, щоб показати, що м'яч повинен приземлитися на землю десь між 5 сек і 6 сек після кидка.

24) Частка, що рухається по лінії, має зсув відповідно до функції\(x(t)=t^2−2t+4\), де\(x\) вимірюється в метрах і\(t\) вимірюється в секундах. Знайти середню швидкість за часовий проміжок\(t=[0,2]\).

Відповідь: \(0\)м/сек

25) З попередніх вправ оцініть миттєву швидкість при,\(t=2\) перевіривши середню швидкість в\(t=0.01\) сек.