2.6: Глава 2 Огляд вправи

Правда чи брехня. У вправах 1 - 4 обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.

1) Функція повинна бути безперервною,$x=a$ якщо$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ вона існує.

2) Ви можете використовувати часткове правило для оцінки$\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}$.

Відповідь

Помилково, оскільки ми не можемо мати$\displaystyle \lim_{x→0}x=0$ в знаменнику.

3) Якщо для функції є$x=a$ вертикальна асимптота$f(x)$,$f$ то не визначена в точці$x=a$.

4) Якщо$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ не існує,$f$ то не визначено в точці$x=a$.

Відповідь

Помилкові. Можливий стрибок розриву.

5) За допомогою графіка знайдіть кожну межу або поясніть, чому ліміт не існує.

а.$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)$

б.$\displaystyle \lim_{x→1}f(x)$

c.$\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)$

д.$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)$

1, починаючи з відкритого кола в (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

У вправах 6 - 15 оцініть межу алгебраїчно або поясніть, чому межа не існує.

6)$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}$

Відповідь

$5$

7)$\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4$

8)$\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}$

Відповідь

$8/7$

9)$\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}$

10)$\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}$

Відповідь

ДЕНЕ

11)$\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}$

12)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}$

Відповідь

$2/3$

13)$\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}$

14)$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}$

Відповідь

$−4$

15)$\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}$

У вправах 16 - 17 використовуйте теорему стискання, щоб довести межу.

16)$\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0$

Відповідь

З тих пір$−1≤\cos(2πx)≤1$$−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2$. Так як$\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2$, випливає, що$\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0$.

17)$\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0$

18) Визначте домен таким чином, щоб функція була$f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x$ безперервною над його доменом.

Відповідь

$[2,∞]$

У вправах 19 - 20 визначають значення$c$ такого, щоб функція залишалася безперервною. Намалюйте свою результуючу функцію, щоб переконатися, що вона безперервна.

19)$f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}$

20)$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}$

У вправах 21 - 22 використовуйте точне визначення межі, щоб довести межу.

21)$\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24$

22)$\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0$

Відповідь

$δ=\sqrt[3]{ε}$

23) М'яч кидається в повітря і задається вертикальне положення$x(t)=−4.9t^2+25t+5$. Використовуйте теорему про проміжні значення, щоб показати, що м'яч повинен приземлитися на землю десь між 5 сек і 6 сек після кидка.

24) Частка, що рухається по лінії, має зсув відповідно до функції$x(t)=t^2−2t+4$, де$x$ вимірюється в метрах і$t$ вимірюється в секундах. Знайти середню швидкість за часовий проміжок$t=[0,2]$.

Відповідь

$0$м/сек

25) З попередніх вправ оцініть миттєву швидкість при,$t=2$ перевіривши середню швидкість в$t=0.01$ сек.