3.3E: Вправи для секції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62286

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У вправах 1 - 12 знайдіть$f'(x)$ для кожної функції.

1)$f(x)=x^7+10$

2)$f(x)=5x^3−x+1$

Відповідь: $f'(x)=15x^2−1$

3)$f(x)=4x^2−7x$

4)$f(x)=8x^4+9x^2−1$

Відповідь: $f'(x) = 32x^3+18x$

5)$f(x)=x^4+2x$

6)$f(x)=3x\left(18x^4+\dfrac{13}{x+1}\right)$

Відповідь: $f'(x) = 270x^4+\dfrac{39}{(x+1)^2}$

7)$f(x)=(x+2)(2x^2−3)$

8)$f(x)=x^2\left(\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$

Відповідь: $f'(x) = \dfrac{−5}{x^2}$

9)$f(x)=\dfrac{x^3+2x^2−4}{3}$

10)$f(x)=\dfrac{4x^3−2x+1}{x^2}$

Відповідь: $f'(x) = \dfrac{4x^4+2x^2−2x}{x^4}$

11)$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2−4}$

12)$f(x)=\dfrac{x+9}{x^2−7x+1}$

Відповідь: $f'(x) = \dfrac{−x^2−18x+64}{(x^2−7x+1)^2}$

У вправах 13 - 16 знайти рівняння дотичної$T(x)$ прямої до графіка даної функції в зазначеній точці. Використовуйте графічний калькулятор для графіків функції та дотичної лінії.

13) [Т]$y=3x^2+4x+1$ в$(0,1)$

14) [Т]$y=2\sqrt{x}+1$ в$(4,5)$

Відповідь

$T(x)=\frac{1}{2}x+3$

$Цей графік має пряму лінію з перехопленням y поблизу 0 і нахилом трохи менше 3.$

15) [Т]$y=\dfrac{2x}{x−1}$ в$(−1,1)$

16) [Т]$y=\dfrac{2}{x}−\dfrac{3}{x^2}$ в$(1,−1)$

Відповідь

$T(x)=4x−5$

$Графік y - це два півмісяця з півмісяцем у третьому квадранті, похилим пологим від (−3, −1) до (−1, −5), а інший півмісяць більш різко нахилений від (0,8, −5) до (3, 0,2). Пряму T (x) проводять через (0, −5) з нахилом 4.$

У вправах 17 - 20 припустимо, що$f(x)$ і$g(x)$ є обома диференційованими функціями для всіх$x$. Знайдіть похідну кожної з функцій$h(x)$.

17)$h(x)=4f(x)+\dfrac{g(x)}{7}$

18)$h(x)=x^3f(x)$

Відповідь: $h'(x)=3x^2f(x)+x^3f′(x)$

19)$h(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{2}$

20)$h(x)=\dfrac{3f(x)}{g(x)+2}$

Відповідь: $h'(x)=\dfrac{3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)}{(g(x)+2)^2}$

Для вправ 21 - 24, припустимо, що$f(x)$ і обидві$g(x)$ диференційовані функції зі значеннями, як наведено в наступній таблиці. Використовуйте наступну таблицю для обчислення наступних похідних.

$x$	1	2	3	4
$f(x)$	3	5	−2	0
$g(x)$	2	3	−4	6
$f′(x)$	−1	7	8	−3
$g′(x)$	4	1	2	9

21) Знайти,$h′(1)$ якщо$h(x)=x f(x)+4g(x)$.

22) Знайти,$h′(2)$ якщо$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Відповідь: $h'(2) =\frac{16}{9}$

23) Знайти,$h′(3)$ якщо$h(x)=2x+f(x)g(x)$.

24) Знайти,$h′(4)$ якщо$h(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{g(x)}{f(x)}$.

Відповідь: $h'(4)$не визначено.

У вправах 25 - 27 використовуйте наступний малюнок, щоб знайти зазначені похідні, якщо вони існують.

$Позначено дві функції: f (x) і g (x). Функція f (x) починається з (−1, 5) і лінійно зменшується до (3, 1), після чого вона лінійно збільшується до (5, 3). Функція g (x) починається з початку, лінійно збільшується до (2,5, 2,5), а потім залишається постійною при y = 2,5.$

25) Нехай$h(x)=f(x)+g(x)$. Знайти

а)$h′(1)$,

б)$h′(3)$, і

в)$h′(4)$.

26) Нехай$h(x)=f(x)g(x).$ знайде

а)$h′(1),$

б)$h′(3)$, і

в)$h′(4).$

Відповідь: а.$h'(1) = 2$,
б.$h'(3)$ не існує,
c.$h'(4) = 2.5$

27) Нехай$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$ знайде

а)$h′(1),$

б)$h′(3)$, і

в)$h′(4).$

У вправах 28 - 31

а) оцінювати$f′(a)$, і

б) графік функції$f(x)$ і дотичної лінії в$x=a$.

28) [Т]$f(x)=2x^3+3x−x^2, \quad a=2$

Відповідь

а. 23
б.$y=23x−28$

$Графік являє собою злегка деформовану кубічну функцію, що проходить через початок. Дотичну лінію проводять через (0, −28) з нахилом 23.$

29) [Т]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^2, \quad a=1$

30) [Т]$f(x)=x^2−x^{12}+3x+2, \quad a=0$

Відповідь

а.$3$
б.$y=3x+2$

$Графік починається в третьому квадранті, швидко збільшується і проходить через вісь x поблизу −0,9, потім збільшується з меншою швидкістю, проходить через (0, 2), збільшується до (1, 5), а потім швидко зменшується і проходить через вісь x близько 1,2.$

31) [Т]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^{2/3}, \quad a=−1$

32) Знайти рівняння дотичної прямої до графіка$f(x)=2x^3+4x^2−5x−3$ at$x=−1.$

Відповідь: $y=−7x−3$

33) Знайти рівняння дотичної прямої до графіка$f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}−10$ at$x=8$.

34) Знайти рівняння дотичної прямої до графіка$f(x)=(3x−x^2)(3−x−x^2)$ at$x=1$.

Відповідь: $y=−5x+7$

35) Знайдіть точку на графіку$f(x)=x^3$ такої, що дотична лінія в цій точці має$x$ -перехоплення$(6,0)$.

36) Знайти рівняння прямої, що проходить через точку$P(3,3)$ і дотичну до графіка$f(x)=\dfrac{6}{x−1}$.

Відповідь: $y=−\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

37) Визначте всі точки на графіку,$f(x)=x^3+x^2−x−1$ для яких нахил дотичної прямої

a. горизонтальний

б. −1.

38) Знайти квадратичний многочлен такий, що$f(1)=5,\; f′(1)=3$ і$f''(1)=−6.$

Відповідь: $y=−3x^2+9x−1$

39) Автомобіль, що їхав по автостраді з рухом, проїхав$s(t)=t^3−6t^2+9t$ метри за$t$ лічені секунди.

а. визначити час в секундах, коли швидкість руху автомобіля дорівнює 0.

б. визначити прискорення автомобіля, коли швидкість дорівнює 0.

40) [T] Оселедець, що плаває по прямій лінії, пройшов$s(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2}$ ноги в$t$

секунд. Визначте швидкість оселедця, коли вона пройшла 3 секунди.

Відповідь: $\frac{12}{121}$або 0,0992 фут/с

41) Популяція в мільйоні арктичної камбали в Атлантичному океані моделюється функцією$P(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}$, де$t$ вимірюється роками.

а. визначити початкову популяцію камбали.

б. визначити$P′(10)$ і коротко інтерпретувати результат.

42) [T] Концентрація антибіотика в крові через$t$ години після введення визначається функцією$C(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}$, де$C$ вимірюється в міліграмах на літр крові.

a. знайти швидкість зміни$C(t).$

б. визначити швидкість зміни для$t=8,12,24$, і$36$.

c Коротко опишіть те, що, здається, відбувається у міру збільшення кількості годин.

Відповідь: а.$\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}$
б.$−0.02395$ мг/л-год,$−0.01344$ мг/л-год,$−0.003566$ мг/л-год,$−0.001579$ мг/л-год, мг/л-год
c Швидкість, з якою знижується концентрація препарату в крові, сповільнюється до 0 з часом.

43) Видавець книги має функцію витрат$C(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$, задану, де$x$ - кількість примірників книги в тисячах і$C$ вартість, за книгу, вимірюється в доларах. Оцініть$C′(2)$ і поясніть його значення.

44) [Т] Згідно з законом Ньютона про всесвітнє тяжіння, сила$F$ між двома тілами постійної маси$m_1$ і$m_2$ задається за формулою$F=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$, де$G$ знаходиться гравітаційна константа і$d$ відстань між тілами.

а Припустимо, що$G,m_1,$ і$m_2$ є константами. Знайти швидкість зміни сили$F$ по відношенню до відстані$d$.

б. знайти швидкість зміни сили$F$ з гравітаційною постійною$G=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2$, на двох тілах 10 метрів один від одного, кожен з масою 1000 кілограм.

Відповідь: а.$F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}$
б.$−1.33×10^{−7}$ н/м

\(x\)	1	2	3	4
\(f(x)\)	3	5	−2	0
\(g(x)\)	2	3	−4	6
\(f′(x)\)	−1	7	8	−3
\(g′(x)\)	4	1	2	9