3.3E: Вправи для секції

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.3: Правила диференціації
- 3.4: Похідні як темпи змін

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У вправах 1 - 12 знайдіть $f'(x)$ для кожної функції.

1) $f(x)=x^7+10$

2) $f(x)=5x^3−x+1$

Відповідь: $f'(x)=15x^2−1$

3) $f(x)=4x^2−7x$

4) $f(x)=8x^4+9x^2−1$

Відповідь: $f'(x) = 32x^3+18x$

5) $f(x)=x^4+2x$

6) $f(x)=3x\left(18x^4+\dfrac{13}{x+1}\right)$

Відповідь: $f'(x) = 270x^4+\dfrac{39}{(x+1)^2}$

7) $f(x)=(x+2)(2x^2−3)$

8) $f(x)=x^2\left(\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$

Відповідь: $f'(x) = \dfrac{−5}{x^2}$

9) $f(x)=\dfrac{x^3+2x^2−4}{3}$

10) $f(x)=\dfrac{4x^3−2x+1}{x^2}$

Відповідь: $f'(x) = \dfrac{4x^4+2x^2−2x}{x^4}$

11) $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2−4}$

12) $f(x)=\dfrac{x+9}{x^2−7x+1}$

Відповідь: $f'(x) = \dfrac{−x^2−18x+64}{(x^2−7x+1)^2}$

У вправах 13 - 16 знайти рівняння дотичної $T(x)$ прямої до графіка даної функції в зазначеній точці. Використовуйте графічний калькулятор для графіків функції та дотичної лінії.

13) [Т] $y=3x^2+4x+1$ в $(0,1)$

14) [Т] $y=2\sqrt{x}+1$ в $(4,5)$

Відповідь

$T(x)=\frac{1}{2}x+3$

$Цей графік має пряму лінію з перехопленням y поблизу 0 і нахилом трохи менше 3.$

15) [Т] $y=\dfrac{2x}{x−1}$ в $(−1,1)$

16) [Т] $y=\dfrac{2}{x}−\dfrac{3}{x^2}$ в $(1,−1)$

Відповідь

$T(x)=4x−5$

$Графік y - це два півмісяця з півмісяцем у третьому квадранті, похилим пологим від (−3, −1) до (−1, −5), а інший півмісяць більш різко нахилений від (0,8, −5) до (3, 0,2). Пряму T (x) проводять через (0, −5) з нахилом 4.$

У вправах 17 - 20 припустимо, що $f(x)$ і $g(x)$ є обома диференційованими функціями для всіх $x$ . Знайдіть похідну кожної з функцій $h(x)$ .

17) $h(x)=4f(x)+\dfrac{g(x)}{7}$

18) $h(x)=x^3f(x)$

Відповідь: $h'(x)=3x^2f(x)+x^3f′(x)$

19) $h(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{2}$

20) $h(x)=\dfrac{3f(x)}{g(x)+2}$

Відповідь: $h'(x)=\dfrac{3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)}{(g(x)+2)^2}$

Для вправ 21 - 24, припустимо, що $f(x)$ і обидві $g(x)$ диференційовані функції зі значеннями, як наведено в наступній таблиці. Використовуйте наступну таблицю для обчислення наступних похідних.

$x$	1	2	3	4
$f(x)$	3	5	−2	0
$g(x)$	2	3	−4	6
$f′(x)$	−1	7	8	−3
$g′(x)$	4	1	2	9

21) Знайти, $h′(1)$ якщо $h(x)=x f(x)+4g(x)$ .

22) Знайти, $h′(2)$ якщо $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ .

Відповідь: $h'(2) =\frac{16}{9}$

23) Знайти, $h′(3)$ якщо $h(x)=2x+f(x)g(x)$ .

24) Знайти, $h′(4)$ якщо $h(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{g(x)}{f(x)}$ .

Відповідь: $h'(4)$ не визначено.

У вправах 25 - 27 використовуйте наступний малюнок, щоб знайти зазначені похідні, якщо вони існують.

$Позначено дві функції: f (x) і g (x). Функція f (x) починається з (−1, 5) і лінійно зменшується до (3, 1), після чого вона лінійно збільшується до (5, 3). Функція g (x) починається з початку, лінійно збільшується до (2,5, 2,5), а потім залишається постійною при y = 2,5.$

25) Нехай $h(x)=f(x)+g(x)$ . Знайти

а) $h′(1)$ ,

б) $h′(3)$ , і

в) $h′(4)$ .

26) Нехай $h(x)=f(x)g(x).$ знайде

а) $h′(1),$

б) $h′(3)$ , і

в) $h′(4).$

Відповідь: а. $h'(1) = 2$ ,
б. $h'(3)$ не існує,
c. $h'(4) = 2.5$

27) Нехай $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$ знайде

а) $h′(1),$

б) $h′(3)$ , і

в) $h′(4).$

У вправах 28 - 31

а) оцінювати $f′(a)$ , і

б) графік функції $f(x)$ і дотичної лінії в $x=a$ .

28) [Т] $f(x)=2x^3+3x−x^2, \quad a=2$

Відповідь

а. 23
б. $y=23x−28$

$Графік являє собою злегка деформовану кубічну функцію, що проходить через початок. Дотичну лінію проводять через (0, −28) з нахилом 23.$

29) [Т] $f(x)=\dfrac{1}{x}−x^2, \quad a=1$

30) [Т] $f(x)=x^2−x^{12}+3x+2, \quad a=0$

Відповідь

а. $3$
б. $y=3x+2$

$Графік починається в третьому квадранті, швидко збільшується і проходить через вісь x поблизу −0,9, потім збільшується з меншою швидкістю, проходить через (0, 2), збільшується до (1, 5), а потім швидко зменшується і проходить через вісь x близько 1,2.$

31) [Т] $f(x)=\dfrac{1}{x}−x^{2/3}, \quad a=−1$

32) Знайти рівняння дотичної прямої до графіка $f(x)=2x^3+4x^2−5x−3$ at $x=−1.$

Відповідь: $y=−7x−3$

33) Знайти рівняння дотичної прямої до графіка $f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}−10$ at $x=8$ .

34) Знайти рівняння дотичної прямої до графіка $f(x)=(3x−x^2)(3−x−x^2)$ at $x=1$ .

Відповідь: $y=−5x+7$

35) Знайдіть точку на графіку $f(x)=x^3$ такої, що дотична лінія в цій точці має $x$ -перехоплення $(6,0)$ .

36) Знайти рівняння прямої, що проходить через точку $P(3,3)$ і дотичну до графіка $f(x)=\dfrac{6}{x−1}$ .

Відповідь: $y=−\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

37) Визначте всі точки на графіку, $f(x)=x^3+x^2−x−1$ для яких нахил дотичної прямої

a. горизонтальний

б. −1.

38) Знайти квадратичний многочлен такий, що $f(1)=5,\; f′(1)=3$ і $f''(1)=−6.$

Відповідь: $y=−3x^2+9x−1$

39) Автомобіль, що їхав по автостраді з рухом, проїхав $s(t)=t^3−6t^2+9t$ метри за $t$ лічені секунди.

а. визначити час в секундах, коли швидкість руху автомобіля дорівнює 0.

б. визначити прискорення автомобіля, коли швидкість дорівнює 0.

40) [T] Оселедець, що плаває по прямій лінії, пройшов $s(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2}$ ноги в $t$

секунд. Визначте швидкість оселедця, коли вона пройшла 3 секунди.

Відповідь: $\frac{12}{121}$ або 0,0992 фут/с

41) Популяція в мільйоні арктичної камбали в Атлантичному океані моделюється функцією $P(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}$ , де $t$ вимірюється роками.

а. визначити початкову популяцію камбали.

б. визначити $P′(10)$ і коротко інтерпретувати результат.

42) [T] Концентрація антибіотика в крові через $t$ години після введення визначається функцією $C(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}$ , де $C$ вимірюється в міліграмах на літр крові.

a. знайти швидкість зміни $C(t).$

б. визначити швидкість зміни для $t=8,12,24$ , і $36$ .

c Коротко опишіть те, що, здається, відбувається у міру збільшення кількості годин.

Відповідь: а. $\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}$
б. $−0.02395$ мг/л-год, $−0.01344$ мг/л-год, $−0.003566$ мг/л-год, $−0.001579$ мг/л-год, мг/л-год
c Швидкість, з якою знижується концентрація препарату в крові, сповільнюється до 0 з часом.

43) Видавець книги має функцію витрат $C(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$ , задану, де $x$ - кількість примірників книги в тисячах і $C$ вартість, за книгу, вимірюється в доларах. Оцініть $C′(2)$ і поясніть його значення.

44) [Т] Згідно з законом Ньютона про всесвітнє тяжіння, сила $F$ між двома тілами постійної маси $m_1$ і $m_2$ задається за формулою $F=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$ , де $G$ знаходиться гравітаційна константа і $d$ відстань між тілами.

а Припустимо, що $G,m_1,$ і $m_2$ є константами. Знайти швидкість зміни сили $F$ по відношенню до відстані $d$ .

б. знайти швидкість зміни сили $F$ з гравітаційною постійною $G=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2$ , на двох тілах 10 метрів один від одного, кожен з масою 1000 кілограм.

Відповідь: а. $F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}$
б. $−1.33×10^{−7}$ н/м