3.5: Похідні тригонометричних функцій
- Page ID
- 62244
- Знайти похідні функції синуса і косинуса.
- Знайдіть похідні стандартних тригонометричних функцій.
- Обчисліть похідні вищого порядку синуса і косинуса.
Одним з найважливіших видів руху у фізиці є просте гармонійне рух, яке пов'язане з такими системами, як об'єкт з масою, що коливається на пружині. Простий гармонічний рух можна описати за допомогою синусоїдних або косинусних функцій. У цьому розділі ми розширюємо наші знання про похідні формули, включивши похідні цих та інших тригонометричних функцій. Почнемо з похідних синусоїдних і косинусних функцій і потім використовуємо їх для отримання формул для похідних інших чотирьох тригонометричних функцій. Можливість обчислити похідні синусоїдних і косинусних функцій дозволить нам знайти швидкість і прискорення простого гармонічного руху.
Похідні синусоїдних і косинусних функцій
Розвідку похідної для синусоїдальної функції ми починаємо з використання формули, щоб зробити розумну здогадку на її похідній. Нагадаємо, що для функції\(f(x),\)
\[f′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}. \nonumber \]
Отже, для значень\(h\) дуже близьких до\(0\),
\[f′(x)≈\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}. \nonumber \]
Ми бачимо, що\(h=0.01\), використовуючи,
\[\dfrac{d}{dx}(\sin x)≈\dfrac{\sin (x+0.01)−\sin x}{0.01} \nonumber \]
За налаштуванням
\[D(x)=\dfrac{\sin (x+0.01)−\sin x}{0.01} \nonumber \]
і за допомогою графічної утиліти ми можемо отримати графік наближення до похідної від\(\sin x\) (рис.\(\PageIndex{1}\)).
При огляді графік\(D(x)\) виявляється дуже близьким до графіка функції косинуса. Дійсно, ми покажемо, що
\[\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x. \nonumber \]
Якби ми виконали ті самі кроки, щоб наблизити похідну від функції косинуса, ми б виявили, що
\[\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x. \nonumber \]
Похідна функції синуса - косинус, а похідна функції косинуса - негативний синус.
\[\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \nonumber \]
\[\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x \nonumber \]
Оскільки\(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\) докази та\(\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x\) використання подібних методів, ми надаємо лише докази для\(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\). Перед початком згадайте два важливих тригонометричних межі:
\(\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{\sin h}{h}=1\)і\(\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{\cos h−1}{h}=0\).
Графіки\(y=\dfrac{\sin h}{h}\) і\(y=\dfrac{\cos h−1}{h}\) наведені на рис\(\PageIndex{2}\).
Згадаємо також наступну тригонометричну ідентичність синуса суми двох кутів:
\[\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h. \nonumber \]
Тепер, коли ми зібрали всі необхідні рівняння та тотожності, приступаємо до доказування.
\ [\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} (\ sin x) &=\ lim_ {h→0}\ dfrac {\ sin (x+h) −\ sin x} {h} &\ text {Застосувати визначення похідної.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ dfrac {\ sin x\ cos h+\ cos x\ sin h −\ sin x} {h} &\ text {Використовувати ідентичність трига для синуса суми двох кутів.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h → 0}\ ліворуч (\ dfrac {\ sin x\ cos h -\ sin x} {h} +\ dfrac {\ cos x\ sin h} {h}\ праворуч) &\ text {перегрупувати.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h → 0}\ ліворуч (\ sin x\ ліворуч (\ dfrac {\ cos h−1} {h}\ праворуч) + (\ cos x)\ ліворуч (\ dfrac {\ sin h} {h}\ праворуч)\ праворуч) &\ text {Фактор}\ sin x\ text {і}\ cos x\\ [4pt]
& =(\ sin x)\ lim_ {h → 0}\ ліворуч (\ dfrac {\ cos h−1} {h}\ праворуч) + (\ cos x)\ lim_ {h→0}\ ліворуч (\ dfrac {\ sin h} {h}\ праворуч) &\ текст {фактор}\ sin x\ text {і}\ cos x\ текст {з обмеження.}\\ [4pt]
& =(\ sin x) (0) + (\ cos x) (1) &\ text {Застосувати формули обмеження трига.}\\ [4pt]
&=\ cos x & &\ текст {спростити.} \ end {вирівнювати*}\ nonumber\]
□
\(\PageIndex{3}\)На малюнку показана залежність між графіком\(f(x)=\sin x\) і його похідною\(f′(x)=\cos x\). Зверніть увагу, що в точках, де\(f(x)=\sin x\) має горизонтальний тангенс, його похідна\(f′(x)=\cos x\) приймає значення нуль. Ми також бачимо, що де f\((x)=\sin x\) збільшується,\(f′(x)=\cos x>0\) а де\(f(x)=\sin x\) зменшується,\(f′(x)=\cos x<0.\)
Знайдіть похідну від\(f(x)=5x^3\sin x\).
Рішення
Використовуючи правило продукту, ми маємо
\[ \begin{align*} f'(x) &=\dfrac{d}{dx}(5x^3)⋅\sin x+\dfrac{d}{dx}(\sin x)⋅5x^3 \\[4pt] &=15x^2⋅\sin x+\cos x⋅5x^3. \end{align*}\]
Після спрощення отримуємо
\[f′(x)=15x^2\sin x+5x^3\cos x. \nonumber \]
Знайдіть похідну від\(f(x)=\sin x\cos x.\)
- Підказка
-
Не забудьте скористатися правилом продукту.
- Відповідь
-
\[f′(x)=\cos^2x−\sin^2x \nonumber \]
Знайдіть похідну від\(g(x)=\dfrac{\cos x}{4x^2}\).
Рішення
Застосовуючи правило частки, ми маємо
\[g′(x)=\dfrac{(−\sin x)4x^2−8x(\cos x)}{(4x^2)^2}. \nonumber \]
Спрощуючи, отримуємо
\[g′(x)=\dfrac{−4x^2\sin x−8x\cos x}{16x^4}=\dfrac{−x\sin x−2\cos x}{4x^3}. \nonumber \]
Знайдіть похідну від\(f(x)=\dfrac{x}{\cos x}\).
- Підказка
-
Скористайтеся правилом частки.
- Відповідь
-
\(f'(x) = \dfrac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}\)
Частка рухається вздовж осі координат таким чином, що її положення в часі\(t\) задається\(s(t)=2\sin t−t\) for\(0≤t≤2π.\) У який час частка знаходиться в стані спокою?
Рішення
Щоб визначити, коли частинка знаходиться в стані спокою, встановлюємо\(s′(t)=v(t)=0.\) Почати з знаходження\(s′(t).\) Ми отримуємо
\[s′(t)=2 \cos t−1, \nonumber \]
тому ми повинні вирішити
\[2 \cos t−1=0\text{ for }0≤t≤2π. \nonumber \]
Розв'язками цього рівняння є\(t=\dfrac{π}{3}\) і\(t=\dfrac{5π}{3}\). При цьому частка знаходиться в спокої часом\(t=\dfrac{π}{3}\) і\(t=\dfrac{5π}{3}\).
Частка рухається вздовж осі координат. Його положення в часі\(t\) задається\(s(t)=\sqrt{3}t+2\cos t\) для\(0≤t≤2π.\) У який час частка знаходиться в стані спокою?
- Підказка
-
Використовуйте попередній приклад як орієнтир.
- Відповідь
-
\(t=\dfrac{π}{3},\quad t=\dfrac{2π}{3}\)
Похідні інших тригонометричних функцій
Оскільки решта чотирьох тригонометричних функцій можуть бути виражені у вигляді коефіцієнтів за участю синуса, косинуса або обох, ми можемо використовувати часткове правило для пошуку формул для їх похідних.
Знайдіть похідну від\(f(x)=\tan x.\)
Рішення
Почніть з вираження\(\tan x \) як частка\(\sin x\) і\(\cos x\):
\(f(x)=\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x}\).
Тепер застосуйте часткове правило, щоб отримати
\(f′(x)=\dfrac{\cos x\cos x−(−\sin x)\sin x}{(\cos x)^2}\).
Спрощуючи, отримуємо
\[f′(x)=\dfrac{\cos^2x+\sin^2 x}{\cos^2x}. \nonumber \]
\(\cos^2x+\sin^2x=1,\)Визнаючи, що за теоремою Піфагора, ми тепер маємо
\[f′(x)=\dfrac{1}{\cos^2x} \nonumber \]
Нарешті, використовуйте посвідчення\(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\) для отримання
\(f′(x)=\text{sec}^2 x\).
Знайдіть похідну від\(f(x)=\cot x .\)
- Підказка
-
Перепишіть\(\cot x \) як\(\dfrac{\cos x}{\sin x}\) і використовуйте часткове правило.
- Відповідь
-
\(f′(x)=−\csc^2 x\)
Похідні інших тригонометричних функцій можуть бути отримані за допомогою аналогічних прийомів. Ці формули ми наводимо в наступній теоремі.
Похідні інших тригонометричних функцій такі:
\ [\ почати {вирівнювання}\ dfrac {d} {dx} (\ тан х) &=\ сек^2x\\ [4pt]
\ dfrac {d} {dx} (\ кот х) &=−\ csc^2x\\ [4pt]
\ dfrac {d} {dx} (\ сек х) &=\ сек х\ tan x\\ [4pt]
\ dfrac {d} {dx} (\ csc x) &=−\ csc x\ cot x.\ кінець {вирівняти}\ nonumber\]
Знайти рівняння прямої дотичної до графіка\(f(x)=\cot x \) at\(x=\frac{π}{4}\).
Рішення
Щоб знайти рівняння дотичної лінії, нам потрібна точка і нахил в цій точці. Щоб знайти точку, обчисліть
\(f\left(\frac{π}{4}\right)=\cot\frac{π}{4}=1\).
Таким чином дотична лінія проходить через точку\(\left(\frac{π}{4},1\right)\). Далі знайдіть нахил, знайшовши похідну від\(f(x)=\cot x \) і оцінивши її за адресою\(\frac{π}{4}\):
\(f′(x)=−\csc^2 x\)і\(f′\left(\frac{π}{4}\right)=−\csc^2\left(\frac{π}{4}\right)=−2\).
Використовуючи рівняння точка-нахил прямої, отримаємо
\(y−1=−2\left(x−\frac{π}{4}\right)\)
або еквівалентно,
\(y=−2x+1+\frac{π}{2}\).
Знайдіть похідну від\(f(x)=\csc x+x\tan x .\)
Рішення
Щоб знайти цю похідну, ми повинні використовувати як правило суми, так і правило добутку. Використовуючи правило суми, знаходимо
\(f′(x)=\dfrac{d}{dx}(\csc x)+\dfrac{d}{dx}(x\tan x )\).
У першому семестрі,\(\dfrac{d}{dx}(\csc x)=−\csc x\cot x ,\) і застосовуючи правило продукту до другого терміну, ми отримуємо
\(\dfrac{d}{dx}(x\tan x )=(1)(\tan x )+(\sec^2 x)(x)\).
Тому у нас є
\(f′(x)=−\csc x\cot x +\tan x +x\sec^2 x\).
Знайдіть похідну від\(f(x)=2\tan x −3\cot x .\)
- Підказка
-
Використовуйте правило для диференціації постійної кратної і правило для диференціації різниці двох функцій.
- Відповідь
-
\(f′(x)=2\sec^2 x+3\csc^2 x\)
Знайти нахил прямої дотичної до графіка\(f(x)=\tan x \) at\(x=\dfrac{π}{6}\).
- Підказка
-
Оцініть похідну при\(x=\dfrac{π}{6}\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{4}{3}\)
Похідні для вищого порядку
Похідні вищого порядку\(\sin x\) і\(\cos x\) слідують повторюваному шаблону. Дотримуючись шаблону, ми можемо знайти будь-яку похідну вищого порядку\(\sin x\) і\(\cos x.\)
Знайдіть перші чотири похідні\(y=\sin x.\)
Рішення
Кожен крок в ланцюжку нехитрий:
\ [\ почати {вирівнювати*} y&=\ sin x\\ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} &=\ cos x\\ [4pt]
\ dfrac {d^2y} {dx^2} &=−\ sin x\\ [4pt]\ dfrac {d^3y} {dx^3} &= −
\ cos x\\ [4pt]\ dfrac {d^3y} &=\ cos x
\\ 4pt]\ dfrac {d^4y} {dx^4} &=\ sin x\ end {вирівнювати*}\]
Аналіз
Як тільки ми визнаємо закономірність похідних, ми можемо знайти будь-яку похідну вищого порядку, визначивши крок у шаблоні, якому вона відповідає. Наприклад, кожна четверта похідна\(\sin x\) дорівнює\(\sin x\), так
\[\dfrac{d^4}{dx^4}(\sin x)=\dfrac{d^8}{dx^8}(\sin x)=\dfrac{d^{12}}{dx^{12}}(\sin x)=…=\dfrac{d^{4n}}{dx^{4n}}(\sin x)=\sin x \nonumber \]
\[\dfrac{d^5}{dx^5}(\sin x)=\dfrac{d^9}{dx^9}(\sin x)=\dfrac{d^{13}}{dx^{13}}(\sin x)=…=\dfrac{d^{4n+1}}{dx^{4n+1}}(\sin x)=\cos x. \nonumber \]
Для\(y=\cos x\), знайдіть\(\dfrac{d^4y}{dx^4}\).
- Підказка
-
Дивіться попередній приклад.
- Відповідь
-
\(\cos x\)
Знайти\(\dfrac{d^{74}}{dx^{74}}(\sin x)\).
Рішення
Ми відразу бачимо, що для 74-ї похідної\(\sin x\)\(74=4(18)+2\), так
\[\dfrac{d^{74}}{dx^{74}}(\sin x)=\dfrac{d^{72+2}}{dx^{72+2}}(\sin x)=\dfrac{d^2}{dx^2}(\sin x)=−\sin x. \nonumber \]
Для\(y=\sin x\), знайдіть\(\dfrac{d^{59}}{dx^{59}}(\sin x).\)
- Підказка
-
\(\dfrac{d^{59}}{dx^{59}}(\sin x)=\dfrac{d^{4⋅14+3}}{dx^{4⋅14+3}}(\sin x)\)
- Відповідь
-
\(−\cos x\)
Частка рухається вздовж осі координат таким чином, що її положення в часі\(t\) задається\(s(t)=2−\sin t\). Знайти\(v(π/4)\) і\(a(π/4)\). Порівняйте ці значення і вирішіть, прискорюється чи сповільнюється частка.
Рішення
Перша знахідка\(v(t)=s′(t)\)
\[v(t)=s′(t)=−\cos t . \nonumber \]
Таким чином,
\(v\left(\frac{π}{4}\right)=−\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Далі знайдіть\(a(t)=v′(t)\). Таким чином,\(a(t)=v′(t)=\sin t\) і у нас є
\(a\left(\frac{π}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Оскільки\(v\left(\frac{π}{4}\right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0\) і\(a\left(\frac{π}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0\), ми бачимо, що швидкість і прискорення діють в протилежних напрямках; тобто об'єкт прискорюється в напрямку, протилежному напрямку, в якому він рухається. Отже, частка сповільнюється.
Блок, прикріплений до пружини, рухається вертикально. Своє становище в момент t задано\(s(t)=2\sin t\). Знайти\(v\left(\frac{5π}{6}\right)\) і\(a\left(\frac{5π}{6}\right)\). Порівняйте ці значення і вирішіть, прискорюється або сповільнюється блок.
- Підказка
-
Використовуйте\(\PageIndex{9}\) Example як орієнтир.
- Відповідь
-
\(v\left(\frac{5π}{6}\right)=−\sqrt{3}<0\)і\(a\left(\frac{5π}{6}\right)=−1<0\). Блок прискорюється.
Ключові поняття
- Ми можемо знайти похідні від\(\sin x\) і за\(\cos x\) допомогою визначення похідних і граничних формул, знайдених раніше. Результати:
\(\dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x\quad\text{and}\quad\dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=−\sin x\).
- За допомогою цих двох формул ми можемо визначити похідні всіх шести основних тригонометричних функцій.
Ключові рівняння
- Похідна синусоїдальної функції
\(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
- Похідна функції косинуса
\(\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x\)
- Похідна від тангенсної функції
\(\dfrac{d}{dx}(\tan x )=\sec^2x\)
- Похідна функції котангенса
\(\dfrac{d}{dx}(\cot x )=−\csc^2x\)
- Похідна від сікантної функції
\(\dfrac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x \)
- Похідна від косекансної функції
\(\dfrac{d}{dx}(\csc x)=−\csc x\cot x \)