3.10: Глава 3 Огляд вправ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62257

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розділ Огляд Вправи

Правда чи брехня? Обгрунтуйте відповідь доказом або контрприкладом.

1) Кожна функція має похідну.

Відповідь: Помилковий

2) Неперервна функція має неперервну похідну.

3) Неперервна функція має похідну.

Відповідь: Помилковий

4) Якщо функція диференційована, вона є безперервною.

У вправах 5 і 6 використовуйте граничне визначення похідної для точної оцінки похідної.

5)$f(x)=\sqrt{x+4}$

Відповідь: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}$

6)$f(x)=\dfrac{3}{x}$

У вправах 7 - 15 знайдіть похідні заданих функцій.

7)$f(x)=3x^3−\dfrac{4}{x^2}$

Відповідь: $f'(x) = 9x^2+\frac{8}{x^3}$

9)$f(x)=(4−x^2)^3$

10)$f(x)=e^{\sin x}$

Відповідь: $f'(x) = e^{\sin x}\cos x$

11)$f(x)=\ln(x+2)$

12)$f(x)=x^2\cos x+x\tan x$

Відповідь: $f'(x) = x\sec^2 x+2x\cos x+\tan x−x^2\sin x $

13)$f(x)=\sqrt{3x^2+2}$

14)$f(x)=\dfrac{x}{4}\sin^{−1}(x)$

Відповідь: $f'(x) = \frac{1}{4}\left(\frac{x}{\sqrt{1−x^2}}+\sin^{−1} x\right)$

15)$x^2y=(y+2)+xy\sin x$

У вправах 16 - 18 знайдіть зазначені похідні різних порядків.

16) Перша похідна$y=x(\ln x)\cos x$

Відповідь: $\dfrac{dy}{dx} = \cos x⋅(\ln x+1)−x(\ln x)\sin x$

17) Третя похідна$y=(3x+2)^2$

18) Друга похідна від$y=4^x+x^2\sin x$

Відповідь: $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4^x(\ln 4)^2+2\sin x+4x\cos x−x^2\sin x$

У вправах 19 і 20 знайдіть рівняння дотичної прямої до наступних рівнянь в заданій точці.

19)$y=\cos^{−1}(x)+x$ в$x=0$

20)$y=x+e^x−\dfrac{1}{x}$ в$x=1$

Відповідь: $y = (2+e)x−2$

У вправах 21 і 22 намалюйте похідну функцій з заданими графіками.

21)

$Функція починається з (−3, 0,5) і зменшується до локального мінімуму (−2.3, −2). Потім функція збільшується через (−1,5, 0) і уповільнює її збільшення через (0, 2). Потім він повільно збільшується до локального максимуму при (2,3, 6) перед зменшенням до (3, 3).$

22)

$Функція лінійно зменшується від (−1, 4) до початку, після чого вона збільшується як x^2, проходячи через (1, 1) та (2, 4).$

Відповідь: $Функцією є пряма y = −4, поки x = 0, тоді вона стає прямою лінією, що починається з початку координат з нахилом 2. Немає значення, призначеного для цієї функції при x = 0.$

Питання 22 і 23 стосуються рівня води в Оушен-Сіті, штат Нью-Джерсі, в січні, який можна наблизити,$w(t)=1.9+2.9\cos(\frac{π}{6}t),$ де$t$ вимірюється годинами після півночі, а висота вимірюється в футах.

22) Знайдіть і графуйте похідну. У чому полягає фізичний сенс?

23) Знайти$w′(3).$ Який фізичний сенс цієї величини?

Відповідь: $w′(3)=−\frac{2.9π}{6}$. О 3 годині ранку приплив зменшується зі швидкістю 1,514 фут/год.

Питання 24 і 25 розглядають швидкість вітру урагану «Катріна», який торкнувся Нового Орлеана, штат Луїзіана, в серпні 2005 року. Дані відображаються в таблиці.

Години після півночі, 26 серпня	Швидкість вітру (миль/год)
1	45
5	75
11	100
29	115
49	145
58	175
73	155
81	125
85	95
107	35

Швидкість вітру урагану КатрінаДжерело: news.nationalgeographic.com/n... _timeline.html.

24) Використовуючи таблицю, оцініть похідну від швидкості вітру на 39 годині. У чому полягає фізичний сенс?

25) Оцініть похідну від швидкості вітру на годину 83. У чому полягає фізичний сенс?

Відповідь: $−7.5.$Швидкість вітру зменшується зі швидкістю 7,5 миль/год