3.10: Глава 3 Огляд вправ

Розділ Огляд Вправи

Правда чи брехня? Обгрунтуйте відповідь доказом або контрприкладом.

1) Кожна функція має похідну.

Відповідь

Помилковий

2) Неперервна функція має неперервну похідну.

3) Неперервна функція має похідну.

Відповідь

Помилковий

4) Якщо функція диференційована, вона є безперервною.

У вправах 5 і 6 використовуйте граничне визначення похідної для точної оцінки похідної.

5)$f(x)=\sqrt{x+4}$

Відповідь

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}$

6)$f(x)=\dfrac{3}{x}$

У вправах 7 - 15 знайдіть похідні заданих функцій.

7)$f(x)=3x^3−\dfrac{4}{x^2}$

Відповідь

$f'(x) = 9x^2+\frac{8}{x^3}$

9)$f(x)=(4−x^2)^3$

10)$f(x)=e^{\sin x}$

Відповідь

$f'(x) = e^{\sin x}\cos x$

11)$f(x)=\ln(x+2)$

12)$f(x)=x^2\cos x+x\tan x$

Відповідь

$f'(x) = x\sec^2 x+2x\cos x+\tan x−x^2\sin x$

13)$f(x)=\sqrt{3x^2+2}$

14)$f(x)=\dfrac{x}{4}\sin^{−1}(x)$

Відповідь

$f'(x) = \frac{1}{4}\left(\frac{x}{\sqrt{1−x^2}}+\sin^{−1} x\right)$

15)$x^2y=(y+2)+xy\sin x$

У вправах 16 - 18 знайдіть зазначені похідні різних порядків.

16) Перша похідна$y=x(\ln x)\cos x$

Відповідь

$\dfrac{dy}{dx} = \cos x⋅(\ln x+1)−x(\ln x)\sin x$

17) Третя похідна$y=(3x+2)^2$

18) Друга похідна від$y=4^x+x^2\sin x$

Відповідь

$\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4^x(\ln 4)^2+2\sin x+4x\cos x−x^2\sin x$

У вправах 19 і 20 знайдіть рівняння дотичної прямої до наступних рівнянь в заданій точці.

19)$y=\cos^{−1}(x)+x$ в$x=0$

20)$y=x+e^x−\dfrac{1}{x}$ в$x=1$

Відповідь

$y = (2+e)x−2$

У вправах 21 і 22 намалюйте похідну функцій з заданими графіками.

21)

22)

Відповідь

Питання 22 і 23 стосуються рівня води в Оушен-Сіті, штат Нью-Джерсі, в січні, який можна наблизити,$w(t)=1.9+2.9\cos(\frac{π}{6}t),$ де$t$ вимірюється годинами після півночі, а висота вимірюється в футах.

22) Знайдіть і графуйте похідну. У чому полягає фізичний сенс?

23) Знайти$w′(3).$ Який фізичний сенс цієї величини?

Відповідь

$w′(3)=−\frac{2.9π}{6}$. О 3 годині ранку приплив зменшується зі швидкістю 1,514 фут/год.

Питання 24 і 25 розглядають швидкість вітру урагану «Катріна», який торкнувся Нового Орлеана, штат Луїзіана, в серпні 2005 року. Дані відображаються в таблиці.

Години після півночі, 26 серпня	Швидкість вітру (миль/год)
1	45
5	75
11	100
29	115
49	145
58	175
73	155
81	125
85	95
107	35

Швидкість вітру урагану КатрінаДжерело: news.nationalgeographic.com/n... _timeline.html.

24) Використовуючи таблицю, оцініть похідну від швидкості вітру на 39 годині. У чому полягає фізичний сенс?

25) Оцініть похідну від швидкості вітру на годину 83. У чому полягає фізичний сенс?

Відповідь

$−7.5.$Швидкість вітру зменшується зі швидкістю 7,5 миль/год