3.6: Правило ланцюга

Цілі навчання

• Створіть правило ланцюга для складу двох функцій.
• Застосовуйте правило ланцюга разом з силовим правилом.
• Застосовуйте правило ланцюга та правила продукту/частки правильно в поєднанні, коли обидва необхідні.
• Розпізнайте правило ланцюга для композиції з трьох і більше функцій.
• Опишіть доказ правила ланцюга.

Ми бачили методи диференціації основних функцій ($x^n,\sin x,\cos x,$тощо), а також сум, відмінностей, добутків, коефіцієнтів та постійних кратних цих функцій. Однак ці прийоми не дозволяють диференціювати склади функцій, таких як$h(x)=\sin(x^3)$ або$k(x)=\sqrt{3x^2+1}$. У цьому розділі ми вивчаємо правило знаходження похідної від складу двох і більше функцій.

Виведення правила ланцюга

Коли у нас є функція, яка є складом двох або більше функцій, ми могли б використовувати всі методи, які ми вже навчилися диференціювати її. Однак, використовуючи всі ці методи, щоб розбити функцію на простіші частини, які ми можемо диференціювати, може стати громіздким. Замість цього ми використовуємо правило ланцюга, яке стверджує, що похідна складеної функції є похідною зовнішньої функції, оціненої у внутрішній час функції похідною внутрішньої функції.

Щоб поставити це правило в контекст, давайте розглянемо приклад:$h(x)=\sin(x^3)$. Ми можемо думати про похідну цієї функції стосовно$x$ як швидкість зміни$\sin(x^3)$ відносно зміни в$x$. Отже, ми хочемо знати, як$\sin(x^3)$ змінюються$x$ зміни. Ми можемо розглядати цю подію як ланцюгову реакцію: як$x$$x^3$ зміни, зміни, що призводить до змін$\sin(x^3)$. Ця ланцюгова реакція дає нам підказки щодо того, що бере участь у обчисленні похідної$\sin(x^3)$. Перш за все, зміна$x$ форсування зміни$x^3$ говорить про те, що якимось чином бере участь$x^3$ похідне від. Крім того, зміна$x^3$ форсування зміни$\sin(x^3)$ говорить про те, що похідна$\sin(u)$ щодо$u$, де$u=x^3$, також є частиною кінцевої похідної.

Ми можемо взяти більш формальний погляд на похідну від,$h(x)=\sin(x^3)$ встановивши ліміт, який дасть нам похідну при$a$ певному значенні в області$h(x)=\sin(x^3)$.

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x−a}\nonumber$$

Цей вираз не здається особливо корисним; однак ми можемо змінити його, множивши та діливши на вираз,$x^3−a^3$ щоб отримати

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3}⋅\dfrac{x^3−a^3}{x−a}.\nonumber$$

З визначення похідної ми бачимо, що другий фактор є похідною від$x^3$ at$x=a.$ That is,

$$\lim_{x→a}\dfrac{x^3−a^3}{x−a}=\dfrac{d}{dx}(x^3)\Big|_{x=a}=3a^2.\nonumber$$

Однак може бути трохи складніше визнати, що перший термін також є похідним. Ми можемо побачити це, дозволивши$u=x^3$ і спостерігаючи, що як$x→a,u→a^3$:

$$\begin{align*} \lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3} &=\lim_{u→a^3}\dfrac{\sin u−\sin(a^3)}{u−a^3} \\[4pt] &=\dfrac{d}{du}(\sin u)\Big|_{u=a^3} \\[4pt] &=\cos(a^3) \end{align*}. \nonumber$$

Таким чином,$h'(a)=\cos(a^3)⋅3a^2$.

Іншими словами, якщо$h(x)=\sin(x^3)$, то$h'(x)=\cos(x^3)⋅3x^2$. Таким чином, якщо ми думаємо про склад$(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big)$ де$f(x)= \sin x$ і$g(x)=x^3$, то похідна$h(x)=\sin(x^3)$ - це добуток похідної$g(x)=x^3$ і похідної функції,$f(x)=\sin x$ оціненої на функції$g(x)=x^3$.$h(x)=\sin(x^3)$ На даний момент ми передбачаємо, що для$h(x)=\sin\big(g(x)\big)$, цілком ймовірно, що$h'(x)=\cos\big(g(x)\big)g'(x)$. Як ми визначили вище, це справа для$h(x)=\sin(x^3)$.

Тепер, коли ми вивели особливий випадок правила ланцюга, ми констатуємо загальний випадок, а потім застосуємо його в загальному вигляді до інших складових функцій. Неофіційне підтвердження надається в кінці розділу.

Правило: Правило ланцюга

$g$Дозволяти$f$ і бути функціями. Для всіх$x$ в області$g$ для яких$g$ диференційовна at$x$ і$f$ диференційовна at$g(x)$, похідна від складеної функції

$$h(x)=(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big) \nonumber$$

дається

$$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x). \nonumber$$

Крім того, якщо$y$ є функцією$u$, і$u$ є функцією$x$, то

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber$$

Стратегія вирішення проблем: застосування правила ланцюга

1. Щоб диференціювати$h(x)=f\big(g(x)\big)$, почніть з виявлення$f(x)$ і$g(x)$.
2. Знайдіть$f'(x)$ і оцініть його в$g(x)$, щоб отримати$f'\big(g(x)\big)$.
3. Знайти$g'(x).$
4. Напишіть$h'(x)=f'\big(g(x)\big)⋅g'(x).$

Примітка: Застосовуючи правило ланцюга до складу двох або більше функцій, майте на увазі, що ми працюємо наш шлях від зовнішньої функції в. Корисно також пам'ятати, що похідна від складу двох функцій може розглядатися як має дві частини; похідна від складу трьох функцій має три частини; і так далі. Також пам'ятайте, що ми ніколи не оцінюємо похідну на похідній.

Правила ланцюга та влади в поєднанні

Тепер ми можемо застосувати правило ланцюга до складових функцій, але зауважте, що нам часто потрібно використовувати його з іншими правилами. Наприклад, щоб знайти похідні функцій виду$h(x)=\big(g(x)\big)^n$, нам потрібно використовувати правило ланцюга, поєднане з правилом потужності. Для цього ми можемо думати про те$h(x)=\big(g(x)\big)^n$,$f\big(g(x)\big)$ де$f(x)=x^n$. Потім$f'(x)=nx^{n−1}$. Таким чином,$f'\big(g(x)\big)=n\big(g(x)\big)^{n−1}$. Це призводить нас до похідної силової функції, використовуючи правило ланцюга,

$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$

Правило: Правило влади для складу функцій (Загальне правило влади)

Для всіх значень,$x$ для яких визначено похідну, якщо

$$h(x)=\big(g(x)\big)^n, \nonumber$$

Тоді

$$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x) \label{genpow}.$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Using the Chain and Power Rules

Знайдіть похідну від$h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}$.

Рішення

По-перше, перепишіть$h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}=(3x^2+1)^{−2}$.

Застосовуючи правило влади з$g(x)=3x^2+1$, ми маємо

$h'(x)=−2(3x^2+1)^{−3}\cdot 6x$.

Переписування назад в первісну форму дає нам

$h'(x)=\dfrac{−12x}{(3x^2+1)^3}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть похідну від$h(x)=(2x^3+2x−1)^4$.

Підказка

Скористайтеся загальним правилом потужності (Equation\ ref {genpow}) с$g(x)=2x^3+2x−1$.

Відповідь

$h'(x)=4(2x^3+2x−1)^3(6x^2+2)=8(3x^2+1)(2x^3+2x−1)^3$

Приклад$\PageIndex{2}$: Using the Chain and Power Rules with a Trigonometric Function

Знайдіть похідну від$h(x)=\sin^3x$.

Рішення

Спочатку нагадаємо$\sin^3x=(\sin x)^3$, що, так що ми можемо переписати$h(x)=\sin^3x$ як$h(x)=(\sin x)^3$.

Застосовуючи правило харчування с$g(x)=\sin x$, отримуємо

$h'(x)=3(\sin x)^2\cos x=3\sin^2x\cos x$.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding the Equation of a Tangent Line

Знайти рівняння прямої дотичної до графіка$h(x)=\dfrac{1}{(3x−5)^2}$ at$x=2$.

Рішення

Оскільки ми знаходимо рівняння прямої, нам потрібна точка. $x$-координата точки дорівнює 2. Щоб знайти$y$ -координату, підставити 2 в$h(x)$. Так як$h(2)=\dfrac{1}{(3(2)−5)^2}=1$, справа в тому$(2,1)$.

Для укосу нам знадобиться$h'(2)$. Щоб знайти$h'(x)$, спочатку переписуємо$h(x)=(3x−5)^{−2}$ і застосовуємо правило харчування для отримання

$h'(x)=−2(3x−5)^{−3}(3)=−6(3x−5)^{−3}$.

Підставляючи, ми маємо$h'(2)=−6(3(2)−5)^{−3}=−6.$

Тому лінія має рівняння$y−1=−6(x−2)$. Переписуючи, рівняння лінії є$y=−6x+13$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайти рівняння прямої дотичної до графіка$f(x)=(x^2−2)^3$ at$x=−2$.

Підказка

Використовуйте попередній приклад як орієнтир.

Відповідь

$y=−48x−88$

Поєднання правила ланцюга з іншими правилами

Тепер, коли ми можемо поєднати правило ланцюга та правило влади, ми розглянемо, як поєднати правило ланцюга з іншими правилами, які ми дізналися. Зокрема, ми можемо використовувати його з формулами для похідних тригонометричних функцій або з правилом добутку.

Приклад$\PageIndex{4}$: Using the Chain Rule on a General Cosine Function

Знайдіть похідну від$h(x)=\cos\big(g(x)\big).$

Рішення

Думайте про$h(x)=\cos\big(g(x)\big)$ те$f\big(g(x)\big)$, де$f(x)=\cos x$. З тих пір$f'(x)=−\sin x$, у нас є$f'\big(g(x)\big)=−\sin\big(g(x)\big)$. Потім робимо наступний розрахунок.

\ [\ begin {align*} h '(x) &=f\ big (g (x)\ big)\ cdot g' (x) &\ text {Застосувати правило ланцюга.}\\ [4pt]
&= −\ sin\ big (g (x)\ cdot g' (x)' (x) &\ text {Заміна}\ f\ big (g\ x) великий) =−\ гріх\ великий (g (x)\ великий). \ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

Таким чином,$h(x)=\cos\big(g(x)\big)$ похідне від дається$h'(x)=−\sin\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

У наступному прикладі ми застосовуємо правило, яке ми щойно вивели.

Приклад$\PageIndex{5}$: Using the Chain Rule on a Cosine Function

Знайдіть похідну від$h(x)=\cos(5x^2).$

Рішення

Нехай$g(x)=5x^2$. Потім$g'(x)=10x$. Використовуючи результат з попереднього прикладу,

$h'(x)=−\sin(5x^2)⋅10x=−10x\sin(5x^2)$

Приклад$\PageIndex{6}$: Using the Chain Rule on Another Trigonometric Function

Знайдіть похідну від$h(x)=\text{sec}(4x^5+2x).$

Рішення

Застосуйте правило ланцюга,$h(x)=\text{sec}\big(g(x)\big)$ щоб отримати

$h'(x)=\text{sec}(g(x))\tan\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

У цій проблемі ми маємо$g(x)=4x^5+2x,$$g'(x)=20x^4+2.$ Отже, ми отримуємо

$h'(x)=\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x)(20x^4+2)=(20x^4+2)\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x).$

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайдіть похідну від$h(x)=\sin(7x+2).$

Підказка

Застосуйте правило ланцюга$h(x)=\sin\big(g(x)\big)$ спочатку, а потім використовуйте$g(x)=7x+2$.

Відповідь

$h'(x)=7\cos(7x+2)$

На цьому етапі наведено перелік похідних формул, які можуть бути отримані шляхом застосування правила ланцюга спільно з формулами для похідних тригонометричних функцій. Їх похідні аналогічні тим, що використовуються в прикладах вище. Для зручності формули також наведені в позначеннях Лейбніца, які деяким учням легше запам'ятати. (Ми обговорюємо правило ланцюга, використовуючи позначення Лейбніца в кінці цього розділу.) Не обов'язково запам'ятовувати їх як окремі формули, оскільки всі вони є додатками правила ланцюга до раніше вивчених формул.

Використання правила ланцюга з тригонометричними функціями

Для всіх значень,$x$ для яких визначено похідну,

$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin(g(x))\Big)=\cos(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin u\Big)=\cos u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\cos(g(x))\Big)=−\sin(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\cos u\Big)=−\sin u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan(g(x))\Big)=\sec^2(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan u\Big)= \text{sec}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\cot(g(x))\Big)=−\text{csc}^2(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\cot u\Big)=−\text{csc}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}(g(x))\Big)=\text{sec}(g(x))\tan(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}\,u\Big)=\text{sec}\,u\tan u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}(g(x))\Big)=−\text{csc}(g(x))\cot(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}\,u\Big)=−\text{csc}\,u\cot u \cdot\dfrac{du}{dx}.$

Приклад$\PageIndex{7}$: Combining the Chain Rule with the Product Rule

Знайдіть похідну від$h(x)=(2x+1)^5(3x−2)^7$.

Рішення

Спочатку застосуйте правило продукту, потім застосуйте правило ланцюга до кожного терміну виробу.

\ (\ begin {align*} h '(x) &=\ dfrac {d} {dx}\ великий ((2x+1) ^5\ великий) ⋅ (3x−2) ^7+\ dfrac {d} {dx}\ великий ((3x−2) ^7\ big) ⋅ (2x+1) ^5 &\ text {Застосувати правило продукту.}\\ 4pt]
&=5 (2x+1) ^4⋅2⋅ (3x−2) ^7+7 (3x−2) ^6⋅3⋅ (2x+1) ^5 &\ text {Застосувати правило ланцюжка.}\\ [4pt]
&=10 (2x+1) ^4 (3x−2) ^7+21 ( 3x−2) ^6 (2x+1) ^5 &\ текст {Спрощення.}\\ [4pt]
& =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6 (10 (3x−2) +21 (2x+1)) &\ текст {Фактор} (2x+1) ^4 (3x−2) ^6\\ [4pt] & =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6\ [4pt]
& =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6 (72x+1) &\ text {Спрощення.} \ end {вирівнювати*}\)

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайдіть похідну від$h(x)=\dfrac{x}{(2x+3)^3}$.

Підказка

Почніть з застосування правила частки. Не забудьте використовувати правило ланцюга, щоб диференціювати знаменник.

Відповідь

$h'(x)=\dfrac{3−4x}{(2x+3)^4}$

Композити трьох і більше функцій

Тепер ми можемо поєднувати правило ланцюга з іншими правилами для диференціації функцій, але коли ми диференціюємо склад трьох або більше функцій, нам потрібно застосовувати правило ланцюга не один раз. Якщо ми подивимось на цю ситуацію в загальних рисах, ми можемо створити формулу, але нам не потрібно її пам'ятати, оскільки ми можемо просто застосувати правило ланцюга кілька разів.

У загальних рисах спочатку дозволимо

$$k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber$$

Потім, застосовуючи правило ланцюга, як тільки отримаємо

$$k'(x)=\dfrac{d}{dx}\Big(h\big(f\big(g(x)\big)\big)\Big)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)⋅\dfrac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber$$

Застосовуючи правило ланцюга знову, отримуємо

$$k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\nonumber$$

Правило: Ланцюгове правило для композиції з трьох функцій

Для всіх значень,$x$ для яких функція диференційовна, якщо

$k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big),$

потім

$k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

Іншими словами, ми застосовуємо правило ланцюга двічі.

Зверніть увагу, що похідна від складу трьох функцій має три частини. (Аналогічно похідна від складу чотирьох функцій має чотири частини і т. Д.) Також пам'ятайте, що ми завжди можемо працювати ззовні, беручи по одній похідній за раз.

Приклад$\PageIndex{8}$: Differentiating a Composite of Three Functions

Знайдіть похідну від$k(x)=\cos^4(7x^2+1).$

Рішення

По-перше, перепишіть$k(x)$ як

$k(x)=\big(\cos(7x^2+1)\big)^4$.

Потім кілька разів прикладіть правило ланцюга.

\ (\ begin {align*} k' (x) &=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ великий (\ cos (7x^2+1)\ big) &\ text {Застосувати правило ланцюга.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 −\ sin (7x^2+1))\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ великий (7x^2+1\ big) &\ text {Застосувати правило ланцюга.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 (−\ sin (7x^2+1)) (14x) &\ text {Застосувати правило ланцюга.}\\ [4pt]
&=−56x\ sin (7x^2+1)\ cos^3 (7x^2+1) &\ text {спростити}\ кінець {align*}\)

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть похідну від$h(x)=\sin^6(x^3).$

Підказка

Перепишіть$h(x)=\sin^6(x^3)=\big(\sin(x^3)\big)^6$ і використовуйте Example$\PageIndex{8}$ як керівництво.

Відповідь

$h'(x)=18x^2\sin^5(x^3)\cos(x^3)$

Приклад$\PageIndex{9}$: Using the Chain Rule in a Velocity Problem

Частка рухається вздовж осі координат. Своє становище в момент t задано$s(t)=\sin(2t)+\cos(3t)$. Яка швидкість частинки в часі$t=\dfrac{π}{6}$?

Рішення

Щоб знайти$v(t)$, швидкість частинки в часі$t$, ми повинні диференціювати$s(t)$. Таким чином,

$$v(t)=s'(t)=2\cos(2t)−3\sin(3t).\nonumber$$

Доказ правила ланцюга

На цьому етапі ми представляємо дуже неформальний доказ правила ланцюга. Заради простоти ми ігноруємо певні проблеми: Наприклад, ми припускаємо, що$g(x)≠g(a)$ для$x≠a$ в деякому відкритому інтервалі містить$a$. Почнемо з застосування граничного визначення похідної$h(x)$ до функції для отримання$h'(a)$:

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{x−a}. \nonumber$$

Рерайтинг, отримуємо

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}. \nonumber$$

Хоча зрозуміло, що

$$\lim_{x→a}\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=g'(a), \nonumber$$

не очевидно, що

$$\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}=f'\big(g(a)\big). \nonumber$$

Щоб побачити, що це правда, спочатку нагадайте, що оскільки$g$ диференціюється при$a$,$g$ також безперервно при$a.$ Таким чином,

$$\lim_{x→a}g(x)=g(a). \nonumber$$

Далі зробіть підстановку$y=g(x)$$b=g(a)$ і використовуйте зміну змінних в ліміті для отримання

$$\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f \big(g(a) \big)}{g(x)−g(a)}=\lim_{y→b}\dfrac{f(y)−f(b)}{y−b}=f'(b)=f'\big(g(a)\big). \nonumber$$

Нарешті,

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big )}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a). \nonumber$$

□

Приклад$\PageIndex{10}$: Using the Chain Rule with Functional Values

Нехай$h(x)=f\big(g(x)\big).$ якщо$g(1)=4,g'(1)=3$, і$f'(4)=7$, знайдіть$h'(1).$

Рішення

Скористайтеся правилом ланцюга, потім підставляйте.

\ [\ begin {align*} h' (1) &=f '\ великий (g (1)\ великий)\ cdot g' (1) &\ text {Застосувати правило ланцюга.}\\ [4pt]
&=f' (4) ⋅3 &\ text {Заміна}\; g (1) =4\;\ text {і}\; g' (1) =3.\ [4pt]
&=7⋅3 &\ текст {Заміна}\; f' (4) =7.\\ [4pt]
&=21 &\ текст {Спрощення.} \ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

Вправа$\PageIndex{6}$

Дано$h(x)=f(g(x))$. Якщо$g(2)=−3,g'(2)=4,$ і$f'(−3)=7$, знайдіть$h'(2)$.

Підказка

Дотримуйтесь приклад$\PageIndex{10}$.

Відповідь

28

Правило ланцюга з використанням позначення Лейбніца

Як і в інших похідних, які ми бачили, ми можемо висловити правило ланцюга, використовуючи позначення Лейбніца. Це позначення для правила ланцюга широко використовується в додатках фізики.

Бо$h(x)=f(g(x)),$ нехай$u=g(x)$ і$y=h(x)=f(u).$ таким чином,

$$h'(x)=\dfrac{dy}{dx}\nonumber$$

$$f'(g(x))=f'(u)=\dfrac{dy}{du}\nonumber$$

і

$$g'(x)=\dfrac{du}{dx}.\nonumber$$

Отже,

$$\dfrac{dy}{dx}=h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}.\nonumber$$

Правило: Правило ланцюга з використанням позначення Лейбніца

Якщо$y$ є функцією$u$, і$u$ є функцією$x$, то

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{11}$: Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation I

Знайдіть похідну від$y=\left(\dfrac{x}{3x+2}\right)^5.$

Рішення

По-перше, нехай$u=\dfrac{x}{3x+2}$. Таким чином,$y=u^5$. Далі знайдіть$\dfrac{du}{dx}$ і$\dfrac{dy}{du}$. Використовуючи частне правило,

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2}{(3x+2)^2}$

і

$\dfrac{dy}{du}=5u^4$.

Нарешті, ми склали все разом.

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dy} {du} ⋅\ dfrac {du} {dx} &\ text {Застосувати правило ланцюга.}\\ [
4pt] &=5u^4⋅\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} &\ text {Заміна}\;\ frac {dy} {ду} =5u^4\;\ текст {і}\;\ розрив {ду} {dx} =\ розрив {2} {(3x+2) ^2}.\\ [4pt]
&= 5\ ліворуч (\ dfrac {x} {3x+2}\ праворуч) ^4⋅\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} & &\ текст {Заміна}\; u=\ frac {x} {3x+2}.\\ [4pt]
&=\ dfrac {10x^4} {(3x+2) ^6} &\ текст {спростити.} \ end {вирівнювати*}\]

Важливо пам'ятати, що при використанні форми правила ланцюга Лейбніца остаточна відповідь повинна бути виражена цілком через вихідну змінну, наведену в задачі.

Приклад$\PageIndex{12}$: Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation II

Знайдіть похідну від$y=\tan(4x^2−3x+1).$

Рішення

По-перше, нехай$u=4x^2−3x+1.$ Тоді$y=\tan u$. Далі знайдіть$\dfrac{du}{dx}$ і$\dfrac{dy}{du}$:

$\dfrac{du}{dx}=8x−3$і$\dfrac{dy}{du}=\text{sec}^2u.$

Нарешті, ми склали все разом.

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dy} {du} ⋅\ dfrac {du} {dx} &\ text {Застосувати правило ланцюга.}\\ [4pt]
&=\ текст {сек} ^2u⋅ (8x−3) &\ text {Використання}\;\ dfrac {du} {dx} =8x−3\;\ текст {і}\;\ dfrac {dy} {du} =\ текст {сек} ^2u.\\ [4pt]
&=\ текст {сек} ^2 (4x^2−3x+1) ⋅ (8х−3) & amp;\ текст {Заміна}\; u=4x^2−3x+1. \ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

Вправа$\PageIndex{7}$

Використовуйте позначення Лейбніца, щоб знайти похідну від$y=\cos(x^3)$. Переконайтеся, що остаточна відповідь виражена повністю в терміні змінної$x$.

Підказка

Нехай$u=x^3$.

Відповідь

$\dfrac{dy}{dx}=−3x^2\sin(x^3).$

Ключові концепції

• Правило ланцюга дозволяє диференціювати композиції двох і більше функцій. У ньому зазначено, що для$h(x)=f\big(g(x)\big),$

$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

У позначеннях Лейбніца це правило набуває вигляду

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}$.

• Ми можемо використовувати правило ланцюга з іншими правилами, які ми вивчили, і можемо вивести формули для деяких з них.
• Правило ланцюга поєднується з правилом влади, щоб сформувати нове правило:

Якщо$h(x)=\big(g(x)\big)^n$, то$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$.

• При застосуванні до складу трьох функцій правило ланцюга може виражатися наступним чином: Якщо$h(x)=f\Big(g\big(k(x)\big)\Big),$ тоді$h'(x)=f'\Big(g\big(k(x)\big)\Big)\cdot g'\big(k(x)\big)\cdot k'(x).$

Ключові рівняння

• Правило ланцюга

$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$

• Правило харчування для функцій

$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$

Глосарій

правило ланцюга

правило ланцюга визначає похідну від складеної функції як похідну зовнішньої функції, оцінену у часи внутрішньої функції, похідну внутрішньої функції