3.9: Похідні експоненціальних та логарифмічних функцій

Цілі навчання

• Знайти похідну від експоненціальних функцій.
• Знайти похідну логарифмічних функцій.
• Використовуйте логарифмічну диференціацію для визначення похідної функції.

Поки що ми навчилися диференціювати різноманітні функції, включаючи тригонометричні, обернені та неявні функції. У цьому розділі ми досліджуємо похідні експоненціальних та логарифмічних функцій. Як ми обговорювали у Вступ до функцій та графіків, експоненціальні функції відіграють важливу роль у моделюванні зростання населення та розпаду радіоактивних матеріалів. Логарифмічні функції можуть допомогти масштабувати великі величини і особливо корисні для переписування складних виразів.

Похідна від експоненціальної функції

Так само, як коли ми знайшли похідні інших функцій, ми можемо знайти похідні експоненціальних та логарифмічних функцій за допомогою формул. У міру розробки цих формул нам потрібно робити певні основні припущення. Докази, які дотримуються ці припущення, виходять за рамки цього курсу.

Перш за все, почнемо з припущення, що функція$B(x)=b^x,\, b>0,$ визначена для кожного дійсного числа і є безперервною. У попередніх курсах були визначені значення експоненціальних функцій для всіх раціональних чисел - починаючи з визначення$b^n$, де$n$ є додатне ціле число - як добутку$b$ помноженого на себе$n$ часу. Пізніше, ми визначили$b^0=1,b^{−n}=\dfrac{1}{b^n}$, для натурального цілого$n$, і$b^{s/t}=(\sqrt[t]{b})^s$ для натуральних чисел$s$ і$t$. Ці визначення залишають відкритим питання про значення$b^r$ де$r$ - довільне дійсне число. Припускаючи безперервність$B(x)=b^x,b>0$, ми можемо інтерпретувати$b^r$,$\displaystyle \lim_{x→r}b^x$ де значення,$x$ як ми приймаємо межу, є раціональними. Наприклад, ми можемо розглядати$4^π$ як число задовольняє

$$4^3<4^π<4^4,\quad 4^{3.1}<4^π<4^{3.2},\quad 4^{3.14}<4^π<4^{3.15}, \nonumber$$

$$4^{3.141}<4^{π}<4^{3.142},\quad 4^{3.1415}<4^{π}<4^{3.1416},\quad …. \nonumber$$

Як ми бачимо в наступній таблиці,$4^π≈77.88.$

$x$	$4^x$	$x$	$4^x$
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^3$	\ (4^x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 64	\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.141593}$	\ (4^x\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 77.8802710486
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.1}$	\ (4^x\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 73.5166947198	\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.1416}$	\ (4^x\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 77.8810268071
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.14}$	\ (4^x\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 77.7084726013	\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.142}$	\ (4^x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 77.9242251944
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.141}$	\ (4^x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 77.8162741237	\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.15}$	\ (4^x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 78.7932424541
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.1415}$	\ (4 ^ x\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 77.8702309526	\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.2}$	\ (4 ^ x\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 84.4485062895
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{3.14159}$	\ (4^x\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 77.8799471543	\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$4^{4}$	\ (4^x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 256

Наближення значення$4^π$

Також припустимо$B(x)=b^x,\, b>0$, що для,$B′(0)$ значення похідної існує. У цьому розділі ми показуємо, що, зробивши це одне додаткове припущення, можна довести, що функція$B(x)$ є диференційованою скрізь.

Зробимо одне остаточне припущення: що існує унікальне значення$b>0$ для якого$B′(0)=1$. Ми визначаємо e як це унікальне значення, як ми це робили у Вступ до функцій та графіків. На малюнку$\PageIndex{1}$ наведені графіки функцій$y=2^x, \,y=3^x, \,y=2.7^x,$ і$y=2.8^x$. Наочна оцінка нахилів дотичних ліній до цих функцій при 0 дає докази того, що значення e лежить десь між 2,7 і 2,8. Функція$E(x)=e^x$ називається природною експоненціальною функцією. Його обернена,$L(x)=\log_e x=\ln x$ називається природною логарифмічною функцією.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Графік$E(x)=e^x$ знаходиться між$y=2^x$ і$y=3^x$.

Для кращої оцінки$e$ ми можемо побудувати таблицю оцінок$B′(0)$ для функцій виду$B(x)=b^x$. Перш ніж робити це, нагадайте, що

$$B′(0)=\lim_{x→0}\frac{b^x−b^0}{x−0}=\lim_{x→0}\frac{b^x−1}{x}≈\frac{b^x−1}{x} \nonumber$$

для значень$x$ дуже близьких до нуля. За нашими оцінками ми вибираємо$x=0.00001$ і$x=−0.00001$

для отримання кошторису

$$\frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}. \nonumber$$

Дивіться наступну таблицю.

Таблиця: Оцінка вартості$e$

$b$	$\frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}.$	$b$	$\frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}.$
\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$0.693145<B′(0)<0.69315$	\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.7183	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$1.000002<B′(0)<1.000012$
\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.7	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$0.993247<B′(0)<0.993257$	\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.719	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$1.000259<B′(0)<1.000269$
\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.71	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$0.996944<B′(0)<0.996954$	\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.72	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$1.000627<B′(0)<1.000637$
\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.718	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$0.999891<B′(0)<0.999901$	\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.8	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$1.029614<B′(0)<1.029625$
\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.7182	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$0.999965<B′(0)<0.999975$	\ (b\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3	\ (\ розрив {b^ {−0.00001} −1} {−0.00001} <B′ (0) <\ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}.\)» style="text-align:center; ">$1.098606<B′(0)<1.098618$

Докази з таблиці свідчать про те, що$2.7182<e<2.7183.$

Графік$E(x)=e^x$ разом з лінією$y=x+1$ наведено на малюнку$\PageIndex{2}$. Ця лінія є дотичною до графіка$E(x)=e^x$ at$x=0$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Дотична лінія до$E(x)=e^x$ at$x=0$ має нахил 1.

Тепер, коли ми виклали наші основні припущення, ми починаємо наше розслідування з вивчення похідної$B(x)=b^x, \,b>0$. Нагадаємо, що ми припустили, що$B′(0)$ існує. Застосовуючи визначення межі до похідної, ми робимо висновок, що

$$B′(0)=\lim_{h→0}\frac{b^{0+h}−b^0}{h}=\lim_{h→0}\frac{b^h−1}{h} \nonumber$$

$B′(x)$Перейшовши до, отримуємо наступне.

\ (\ displaystyle\ begin {align*} B′ (x) &=\ lim_ {h→0}\ frac {b^ {x+h} −b^x} {h} &\ text {Застосувати граничне визначення похідної.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h → 0}\ frac {b^xb^h} &\ текст {Зауважте, що} b^ {x+h} =b^xb^h.\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {b^x (b^h−1)} {h} &\ текст {Фактор з} b^x.\\ [4pt]
&=b^x\ lim_ {h→0}\ frac {b^h−1} {h} &\ text {Застосувати властивість обмежень.}\\ [4pt]
&=B^xB′ (0) &\ текст {Використання} B′ (0) =\ lim_ {h → 0}\ frac b^ {0+h} −b^0} {h} =\ lim_ {h→0}\ frac {b^h−1} {h}. \ end {вирівнювати*}\)

Ми бачимо, що на підставі припущення, яке$B(x)=b^x$ диференційоване при$0,B(x)$, не тільки всюди диференціюється, але і його похідна

$$B′(x)=b^xB′(0).\nonumber$$

Для$E(x)=e^x, \,E′(0)=1.$ Таким чином, ми маємо$E′(x)=e^x$. (Значення$B′(0)$ для довільної функції форми$B(x)=b^x, \,b>0,$ буде виведено пізніше.)

Похідна природної експоненціальної функції

$E(x)=e^x$Дозволяти природна експоненціальна функція. Тоді

$$E′(x)=e^x. \nonumber$$

Загалом,

$$\frac{d}{dx}\Big(e^{g(x)}\Big)=e^{g(x)}g′(x) \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Derivative of an Exponential Function

Знайдіть похідну від$f(x)=e^{\tan(2x)}$.

Рішення:

Використовуючи похідну формулу і правило ланцюга,

$$f′(x)=e^{\tan(2x)}\frac{d}{dx}\Big(\tan(2x)\Big)=e^{\tan(2x)}\sec^2(2x)⋅2 \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$: Combining Differentiation Rules

Знайдіть похідну від$y=\dfrac{e^{x^2}}{x}$.

Рішення

Використовуйте похідну природної експоненціальної функції, часткове правило та правило ланцюга.

\ (\ begin {align*} y′&=\ dfrac {(e^ {x^2} ⋅2) x⋅x−1⋅e^ {x^2}} {x^2} &\ text {Застосувати правило частки.}\\ [4pt]
&=\ dfrac {e^ {x^2} (2x^2−1)} {x^2}} {x^2}} &\ текст {Спрощення.} \ end {вирівнювати*}\)

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть похідну від$h(x)=xe^{2x}$.

Підказка

Не забудьте скористатися правилом продукту.

Відповідь

$h′(x)=e^{2x}+2xe^{2x}$

Приклад$\PageIndex{3}$: Applying the Natural Exponential Function

Колонія комарів має початкову популяцію 1000. Через$t$ добу популяція дається по$A(t)=1000e^{0.3t}$. Показати, що відношення темпів зміни населення$A′(t)$, до населення,$A(t)$ постійне.

Рішення

Перша знахідка$A′(t)$. Використовуючи правило ланцюга, ми маємо.$A′(t)=300e^{0.3t}.$ Таким чином, відношення швидкості зміни популяції до населення задається

$$\frac{A′(t)}{A(t)}=\frac{300e^{0.3t}}{1000e^{0.3t}}=0.3. \nonumber$$

Ставлення темпів зміни популяції до населення - постійне 0,3.

Вправа$\PageIndex{2}$

Якщо$A(t)=1000e^{0.3t}$ описується популяція комарів через$t$ дні, як в попередньому прикладі, то яка швидкість зміни$A(t)$ через 4 дні?

Підказка

Знайти$A′(4)$.

Відповідь

$996$

Похідна логарифмічної функції

Тепер, коли ми маємо похідну природної експоненціальної функції, ми можемо використовувати неявну диференціацію, щоб знайти похідну від її зворотної, природної логарифмічної функції.

Означення: Похідна природної логарифмічної функції

Якщо$x>0$ і$y=\ln x$, то

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}. \nonumber$$

Більш загально, нехай$g(x)$ буде диференційована функція. Для всіх значень,$x$ для яких$g′(x)>0$, похідна від$h(x)=\ln(g(x))$ задається

$$h′(x)=\frac{1}{g(x)}g′(x). \nonumber$$

Доказ

Якщо$x>0$ і$y=\ln x$, то$e^y=x.$ диференціація обох сторін цього рівняння призводить до рівняння

$$e^y\frac{dy}{dx}=1. \nonumber$$

Рішення для$\dfrac{dy}{dx}$ врожайності

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}. \nonumber$$

Нарешті, підставляємо$x=e^y$ для отримання

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}. \nonumber$$

Ми також можемо отримати цей результат, застосувавши теорему оберненої функції наступним чином. Так як$y=g(x)=\ln x$

є оберненою$f(x)=e^x$, застосовуючи обернену функцію теореми ми маємо

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f′(g(x))}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}. \nonumber$$

Використання цього результату та застосування правила ланцюга до$h(x)=\ln(g(x))$ прибутковості

$$h′(x)=\frac{1}{g(x)}g′(x). \label{lnder}$$

□

Графік$y=\ln x$ і його похідна$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}$ наведені на рис$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$:$y=\ln x$ Функція збільшується на$(0,+∞)$. Його похідна$y'=\frac{1}{x}$ більша за нуль на$(0,+∞)$

Приклад$\PageIndex{4}$: Taking a Derivative of a Natural Logarithm

Знайдіть похідну від$f(x)=\ln(x^3+3x−4)$.

Рішення

Використовуйте рівняння\ ref {lnder} безпосередньо.

\ (\ begin {align*} f′ (x) &=\ dfrac {1} {x^3+3x−4} ⋅ (3x^2+3) &\ текст {Використовувати} g (x) =x^3+3x−4\ текст {in} h′ (x) =\ dfrac {1} {g (x)} g′ (x).\\ 4 pt]
&=\ dfrac {3x^2+3} {x^3+3x−4} &\ текст {Переписати.} \ end {вирівнювати*}\)

Приклад$\PageIndex{5}$: Using Properties of Logarithms in a Derivative

Знайдіть похідну від$f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2\sin x}{2x+1}\right)$.

Рішення

На перший погляд, взяття цієї похідної представляється досить складним. Однак, використовуючи властивості логарифмів до знаходження похідної, ми можемо значно спростити задачу.

\ (\ begin {align*} f (x) &=\ ln\ ліворуч (\ frac {x^2\ sin x} {2x+1}\ праворуч) =2\ ln x′\ ln (\ sin x) −\ ln (2x+1) &\ text {Застосувати властивості логарифмів.}\\ [4pt]
f′ (x) &=\ dfrac {2} {x} +\ cot x−\ dfrac {2} {2x+1} &\ text {Застосувати правило суми та} h′ (x) =\ dfrac {1} {g (x)} g′ (x). \ end {вирівнювати*}\)

Вправа$\PageIndex{3}$

Диференціювати:$f(x)=\ln(3x+2)^5$.

Підказка

Використовуйте властивість логарифмів для спрощення перед прийняттям похідної.

Відповідь

$f′(x)=\dfrac{15}{3x+2}$

Тепер, коли ми можемо диференціювати природні логарифмічні функції, ми можемо використовувати цей результат, щоб знайти похідні$y=\log_b x$ і$y=b^x$ для$b>0, \,b≠1$.

Похідні загальних експоненціальних та логарифмічних функцій

Нехай$b>0,b≠1,$ і$g(x)$ нехай диференційована функція.

i. якщо$y=\log_b x$, то

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln b}. \nonumber$$

Більш загально, якщо$h(x)=\log_b(g(x))$, то для всіх значень,$x$ для яких$g(x)>0$,

$$h′(x)=\frac{g′(x)}{g(x)\ln b}. \label{genlogder}$$

II. Якщо$y=b^x,$ тоді

$$\frac{dy}{dx}=b^x\ln b. \nonumber$$

Більш загально, якщо$h(x)=b^{g(x)},$ тоді

$$h′(x)=b^{g(x)}g'(x)\ln b \label{genexpder}$$

Доказ

Якщо$y=\log_b x,$ тоді$b^y=x.$ випливає, що$\ln(b^y)=\ln x$. Таким чином$y\ln b=\ln x$. Рішення для$y$, ми маємо$y=\dfrac{\ln x}{\ln b}$. Диференціюючи і маючи на увазі, що$\ln b$ це константа, ми бачимо, що

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln b}. \nonumber$$

Похідна в Equation\ ref {genlogder} тепер випливає з правила ланцюга.

Якщо$y=b^x$. то$\ln y=x\ln b.$ Використовуючи неявну диференціацію, знову маючи на увазі, що$\ln b$ є постійним, випливає, що$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\ln b$. Вирішуючи$\dfrac{dy}{dx}$ і підставляючи$y=b^x$, ми бачимо, що

$$\frac{dy}{dx}=y\ln b=b^x\ln b. \nonumber$$

Більш загальна похідна (Equation\ ref {genexpder}) випливає з правила ланцюга.

□

Приклад$\PageIndex{6}$: Applying Derivative Formulas

Знайдіть похідну від$h(x)=\dfrac{3^x}{3^x+2}$.

Рішення

Використовуйте часткове правило і Примітка.

\ (\ begin {align*} h′ (x) &=\ dfrac {3^x\ ln 3 (3^x+2) −3^x\ ln 3 (3^x)} {(3^x+2) ^2} &\ text {Застосувати правило частки.}\\ [4pt]
&=\ dfrac {2⋅3^x\ ln 3} {(3xx\ ln 3} +2) ^2} &\ текст {Спрощення.} \ end {вирівнювати*}\)

Приклад$\PageIndex{7}$: Finding the Slope of a Tangent Line

Знайти нахил прямої дотичної до графіка$y=\log_2 (3x+1)$ at$x=1$.

Рішення

Щоб знайти ухил, ми повинні оцінити$\dfrac{dy}{dx}$ на$x=1$. Використовуючи рівняння\ ref {genlogder}, ми бачимо, що

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{(3x+1)\ln 2}. \nonumber$$

Оцінюючи похідну в$x=1$, ми бачимо, що дотична лінія має нахил

$$\frac{dy}{dx}\bigg{|}_{x=1}=\frac{3}{4\ln 2}=\frac{3}{\ln 16}. \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайти нахил для прямої дотичної до$y=3^x$ at$x=2.$

Підказка

Оцініть похідну при$x=2.$

Відповідь

$9\ln(3)$

Логарифмічна диференціація

У цей момент ми можемо приймати похідні функцій виду$y=(g(x))^n$ для певних значень$n$, а також функції виду$y=b^{g(x)}$, де$b>0$ і$b≠1$. На жаль, ми досі не знаємо похідних функцій, таких як$y=x^x$ або$y=x^π$. Ці функції вимагають техніки, яка називається логарифмічною диференціацією, яка дозволяє диференціювати будь-яку функцію форми$h(x)=g(x)^{f(x)}$. Він також може бути використаний для перетворення дуже складної задачі диференціації в простішу, наприклад, пошук похідної від$y=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}$. Ми окреслимо цю техніку в наступній стратегії вирішення проблем.

Стратегія вирішення проблем: використання логарифмічної диференціації

1. Для диференціації$y=h(x)$ за допомогою логарифмічної диференціації візьміть натуральний логарифм обох сторін рівняння для отримання$\ln y=\ln(h(x)).$
2. Використовуйте властивості логарифмів, щоб$\ln(h(x))$ максимально розширити.
3. Диференціювати обидві сторони рівняння. Зліва у нас буде$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}$.
4. Помножте обидві сторони рівняння на$y$, щоб вирішити для$\dfrac{dy}{dx}$.
5. Замінити$y$ на$h(x)$.

Приклад$\PageIndex{8}$: Using Logarithmic Differentiation

Знайдіть похідну від$y=(2x^4+1)^{\tan x}$.

Рішення

Використовуйте логарифмічну диференціацію, щоб знайти цю похідну.

\ (\ begin {align*}\ ln y&=\ ln (2x^4+1) ^ {\ tan x} &\ text {Крок 1. Візьміть натуральний логарифм обох сторін.}\\ [4pt]
\ ln y&=\ tan x\ ln (2x^4+1) &\ text {Крок 2. Розгорніть за допомогою властивостей логарифмів.}\\ [4pt]
\ dfrac {1} {y}\ dfrac {dy} {dx} &=\ sec^2 x\ ln (2x^4+1) +\ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅\ tan x & &\ text {Крок 3. Диференціювати обидві сторони. Використовуйте правило продукту праворуч.}\\ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} &=y⋅ (\ sec ^ 2 x\ ln (2x^4+1) +\ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅\ tan x) &\ текст {Крок 4. Помножте на} y\ текст {з обох сторін.}\\ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} & =( 2x^4+1) ^ {\ tan x} (\ сек ^ 2 х\ ln (2x^4+1) +\ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅\ tan x) &\ текст {Крок 5. Заміна} y= (2x^4+1) ^ {\ tan x}. \ end {вирівнювати*}\)

Приклад$\PageIndex{9}$: Extending the Power Rule

Знайдіть похідну від$y=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}$.

Рішення

Ця проблема дійсно використовує властивості логарифмів та правила диференціації, наведені в цьому розділі.

$\ln y=\ln\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}$	Крок 1. Візьміть натуральний логарифм обох сторін.
$\ln y=\ln x+\frac{1}{2}\ln(2x+1)−x\ln e−3\ln \sin x$	Крок 2. Розгорніть за допомогою властивостей логарифмів.
$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\dfrac{\cos x}{\sin x}$	Крок 3. Диференціювати обидві сторони.
$\dfrac{dy}{dx}=y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\cot x\right)$	Крок 4. Помножте$y$ на обидві сторони.
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\cot x\right)$	Крок 5. Замінник$y=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}.$

Вправа$\PageIndex{5}$

Використовуйте логарифмічну диференціацію, щоб знайти похідну від$y=x^x$.

Підказка

Дотримуйтесь стратегії вирішення проблем.

Відповідь

Рішення:$\dfrac{dy}{dx}=x^x(1+\ln x)$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть похідну від$y=(\tan x)^π$.

Підказка

Використовуйте правило потужності (так як показник$\pi$ є постійною) і правило ланцюга.

Відповідь

$y′=π(\tan x)^{π−1}\sec^2 x$

Ключові концепції

• На підставі припущення, що експоненціальна функція$y=b^x, \,b>0$ всюди безперервна і диференційовна при$0$, ця функція диференційовна всюди і існує формула її похідної.
• Ми можемо використовувати формулу, щоб знайти похідну$y=\ln x$, і зв'язок$\log_b x=\dfrac{\ln x}{\ln b}$ дозволяє нам розширити наші формули диференціації, включивши логарифми з довільними основами.
• Логарифмічна диференціація дозволяє диференціювати функції виду$y=g(x)^{f(x)}$ або дуже складні функції, приймаючи природний логарифм обох сторін і використовуючи властивості логарифмів перед диференціацією.

Ключові рівняння

• Похідна природної експоненціальної функції

$\dfrac{d}{dx}\Big(e^{g(x)}\Big)=e^{g(x)}g′(x)$

• Похідна натуральної логарифмічної функції

$\dfrac{d}{dx}\Big(\ln g(x)\Big)=\dfrac{1}{g(x)}g′(x)$

• Похідна загальної експоненціальної функції

$\dfrac{d}{dx}\Big(b^{g(x)}\Big)=b^{g(x)}g′(x)\ln b$

• Похідна загальної логарифмічної функції

$\dfrac{d}{dx}\Big(\log_b g(x)\Big)=\dfrac{g′(x)}{g(x)\ln b}$

Глосарій

логарифмічна диференціація

- це техніка, яка дозволяє диференціювати функцію, спочатку взявши натуральний логарифм обох сторін рівняння, застосовуючи властивості логарифмів для спрощення рівняння та диференціюючи неявно