4: Застосування похідних
- Page ID
- 62117
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Запуск ракети включає в себе дві пов'язані величини, які змінюються з часом. Можливість вирішити цей тип проблеми - це лише одне застосування похідних, представлених у цій главі. Ми також розглянемо, як використовуються похідні для знаходження максимальних і мінімальних значень функцій. В результаті ми зможемо вирішити прикладні задачі оптимізації, такі як максимізація доходу та мінімізація площі поверхні. Крім того, ми вивчаємо, як похідні використовуються для оцінки складних меж, для наближення коренів функцій та надання точних графіків функцій.
- 4.0: Прелюдія до застосування похідних
- Запуск ракети включає в себе дві пов'язані величини, які змінюються з часом. Можливість вирішити цей тип проблеми - це лише одне застосування похідних, представлених у цій главі. Ми також розглянемо, як використовуються похідні для знаходження максимальних і мінімальних значень функцій. В результаті ми зможемо вирішити прикладні задачі оптимізації, такі як максимізація доходу та мінімізація площі поверхні. Крім того, розглянуто, як похідні використовуються для оцінки складних меж, для наближення коренів f
- 4.1: Супутні тарифи
- Якщо дві пов'язані величини змінюються з плином часу, ставки, з якими змінюються величини, пов'язані. Наприклад, якщо балон наповнюється повітрям, збільшується і радіус балона, і обсяг балона. У цьому розділі ми розглянемо кілька проблем, в яких змінюються дві або більше пов'язаних величин і вивчимо, як визначити залежність між темпами зміни цих величин.
- 4.2: Лінійні наближення та диференціали
- У цьому розділі ми розглянемо ще одне застосування похідних: можливість наближення функцій локально лінійними функціями. Лінійні функції є найпростішими функціями, з якими працювати, тому вони забезпечують корисний інструмент для наближення значень функцій. Крім того, ідеї, представлені в цьому розділі, узагальнюються пізніше в тексті, коли ми вивчаємо, як наблизити функції поліномами вищого ступеня Вступ до степенних рядів і функцій.
- 4.3: Максима і Мініма
- Пошук максимального та мінімального значень функції має практичне значення, оскільки ми можемо використовувати цей метод для вирішення проблем оптимізації, таких як максимізація прибутку, мінімізація кількості матеріалу, що використовується у виробництві алюмінієвої банки, або знаходження максимальної висоти, яку може досягти ракета. У цьому розділі ми розглянемо, як за допомогою похідних знайти найбільші та найменші значення для функції.
- 4.4: Теорема про середнє значення
- Теорема про середнє значення є однією з найважливіших теорем у обчисленні. Ми розглянемо деякі його наслідки в кінці цього розділу. Спочатку почнемо з особливого випадку теореми про середнє значення, яка називається теоремою Ролла.
- 4.5: Похідні та форма графіка
- Використовуючи результати попереднього розділу, ми тепер можемо визначити, чи відповідає критична точка функції локальному екстремальному значенню. У цьому розділі ми також бачимо, як друга похідна надає інформацію про форму графіка, описуючи, чи кривий графік функції вгору або криві вниз.
- 4.6: Межі на нескінченності та асимптотах
- Показано, як використовувати першу та другу похідні функції для опису форми графа. Для побудови графіка функції f, визначеної на необмеженій області, нам також потрібно знати поведінку f як x→±∞. У цьому розділі ми визначаємо межі на нескінченності та покажемо, як ці межі впливають на графік функції. В кінці цього розділу ми окреслимо стратегію побудови графіків довільної функції f.
- 4.7: Прикладні проблеми оптимізації
- Одним із поширених застосувань обчислення є обчислення мінімального або максимального значення функції. Наприклад, компанії часто хочуть мінімізувати виробничі витрати або максимізувати дохід. При виготовленні часто бажано мінімізувати кількість матеріалу, що використовується для упаковки продукту з певним обсягом. У цьому розділі ми покажемо, як налаштувати ці типи проблем мінімізації та максимізації та вирішити їх за допомогою інструментів, розроблених у цьому розділі.
- 4.8: Правило L'Hôpital
- У цьому розділі ми розглянемо потужний інструмент оцінки лімітів. Цей інструмент, відомий як правило L'Hôpital, використовує похідні для обчислення лімітів. За допомогою цього правила ми зможемо оцінити багато меж, які ми ще не змогли визначити. Замість того, щоб покладатися на числові докази, щоб здогадатися, що межа існує, ми зможемо остаточно показати, що межа існує, і визначити його точне значення.
- 4.9: Метод Ньютона
- У багатьох областях чистої і прикладної математики нас цікавить пошук розв'язків рівняння виду f (x) =0. Однак для більшості функцій важко - якщо не неможливо - обчислити їх нулі явно. У цьому розділі ми розглянемо техніку, яка забезпечує дуже ефективний спосіб наближення нулів функцій. Ця методика використовує наближення дотичних ліній і стоїть за методом, який часто використовується калькуляторами та комп'ютерами для пошуку нулів.
- 4.10: Антипохідні
- На цьому етапі ми бачили, як обчислити похідні багатьох функцій, і були ознайомлені з різноманітними їх застосуваннями. Тепер ми задаємо питання, яке обертає цей процес навколо: З огляду на функцію f, як ми знаходимо функцію з похідною f і чому б нас зацікавила така функція?