4.10: Антипохідні

Цілі навчання

• Знайдіть загальне антипохідне заданої функції.
• Поясніть терміни і позначення, що використовуються для невизначеного інтеграла.
• Створіть правило потужності для інтегралів.
• Використовуйте антидиференціювання для вирішення простих початкових задач.

На цьому етапі ми бачили, як обчислити похідні багатьох функцій, і були ознайомлені з різноманітними їх застосуваннями. Тепер ми задаємо питання, яке обертає цей процес навколо: З огляду на функцію$f$, як ми знаходимо функцію з похідною$f$ і чому б нас зацікавила така функція?

На першу частину цього питання ми відповідаємо визначенням антипохідних. Антипохідне функції$f$ - це функція з похідною$f$. Чому нас цікавлять антипохідні? Потреба в антипохідних виникає в багатьох ситуаціях, і ми розглядаємо різні приклади по всій решті тексту. Тут ми розглянемо один конкретний приклад, який передбачає прямолінійний рух. У нашому дослідженні в похідних прямолінійного руху ми показали, що якщо задати позиційну функцію$s(t)$ об'єкта, то його$v(t)$ швидкісна функція є похідною від$s(t)$ —тобто$v(t)=s′(t)$. Крім того, прискорення$a(t)$ є похідною від швидкості$v(t)$ - тобто$a(t)=v′(t)=s''(t)$. Тепер припустимо, нам дана функція прискорення$a$, але не функція швидкості$v$ або функція положення$s$. Так як$a(t)=v′(t)$ визначення швидкісної функції вимагає від нас знайти антипохідну від функції прискорення. Тоді, оскільки$v(t)=s′(t),$ визначення функції положення вимагає від нас знайти антипохідну швидкісної функції. Прямолінійний рух - всього лише один випадок, в якому виникає потреба в антипохідних. Ми побачимо ще багато прикладів у решті тексту. А поки давайте розглянемо термінологію і позначення для антипохідних, а також визначимо антипохідні для декількох типів функцій. Розглянуто різні методи пошуку антипохідних більш складних функцій далі в тексті (Вступ до методів інтеграції).

Реверс диференціації

На цьому етапі ми знаємо, як знайти похідні різних функцій. Тепер ми задаємо протилежне питання. Задано функцію$f$, як знайти функцію з похідною$f$? Якщо ми можемо знайти функцію$F$ з похідною,$f,$ ми викликаємо$F$ антипохідну від$f$.

Визначення: Антидериватив

Функція$F$ є антипохідною функції,$f$ якщо

$$F′(x)=f(x) \nonumber$$

для всіх$x$ у домені$f$.

Розглянемо функцію$f(x)=2x$. Знаючи силове правило диференціації, робимо висновок, що$F(x)=x^2$ є антипохідним від$f$ since$F′(x)=2x$.

Чи існують інші антипохідні$f$?

Так; оскільки похідна будь-якої константи$C$ дорівнює нулю, також$x^2+C$ є антипохідним від$2x$. Тому$x^2+5$ і$x^2−\sqrt{2}$ є також антипохідними.

Чи є інші, які не мають форми$x^2+C$ для якоїсь постійної$C$?

Відповідь - ні. З наслідок 2 теореми про середнє значення ми знаємо, що якщо$F$ і$G$ є диференційованими функціями, такими, що$F′(x)=G′(x),$ тоді$F(x)−G(x)=C$ для деякої константи$C$. Цей факт призводить до наступної важливої теореми.

Теорема$\PageIndex{1}$: General Form of an Antiderivative

$F$Дозволяти бути антипохідним$f$ над інтервалом$I$. Потім,

1. для кожної$C$ константи функція також$F(x)+C$ є антипохідним від$f$ над$I$;
2. якщо$G$ є антипохідним$f$ над$I$, є постійна$C$ для якої$G(x)=F(x)+C$ понад$I$.

Іншими словами, найбільш загальною формою антипохідного$f$ над$I$ є$F(x)+C$.

Ми використовуємо цей факт і наші знання похідних, щоб знайти всі антипохідні для декількох функцій.

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding Antiderivatives

Для кожної з перерахованих нижче функцій знайдіть всі антипохідні.

1. $f(x)=3x^2$
2. $f(x)=\dfrac{1}{x}$
3. $f(x)=\cos x$
4. $f(x)=e^x$

Рішення:

а. тому що

$$\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2 \nonumber$$

то$F(x)=x^3$ є антипохідним від$3x^2$. Тому кожне$3x^2$ антипохідне має форму$x^3+C$ для якоїсь постійної$C$, і кожна функція форми$x^3+C$ є антипохідним від$3x^2$.

б. нехай$f(x)=\ln |x|.$

Для$x>0,\; f(x)=\ln |x|=\ln (x)$ і

$$\dfrac{d}{dx}\Big(\ln x\Big)=\dfrac{1}{x}. \nonumber$$

Для$x<0,\; f(x)=\ln |x|=\ln (−x)$ і

$$\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (−x)\Big)=−\dfrac{1}{−x}=\dfrac{1}{x}. \nonumber$$

Тому

$$\dfrac{d}{dx}\Big(\ln |x|\Big)=\dfrac{1}{x}. \nonumber$$

Таким чином,$F(x)=\ln |x|$ є антипохідним від$\dfrac{1}{x}$. Тому кожне$\dfrac{1}{x}$ антипохідне має форму$\ln |x|+C$ для якоїсь постійної,$C$ і кожна функція форми$\ln |x|+C$ є антипохідним від$\dfrac{1}{x}$.

c У нас є

$$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin x\Big)=\cos x, \nonumber$$

так$F(x)=\sin x$ є антипохідним від$\cos x$. Тому кожне$\cos x$ антипохідне має форму$\sin x+C$ для якоїсь постійної,$C$ і кожна функція форми$\sin x+C$ є антипохідним від$\cos x$.

d. з тих пір

$$\dfrac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x, \nonumber$$

то$F(x)=e^x$ є антипохідним від$e^x$. Тому кожне$e^x$ антипохідне має форму$e^x+C$ для якоїсь постійної,$C$ і кожна функція форми$e^x+C$ є антипохідним від$e^x$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайти всі антипохідні$f(x)=\sin x$.

Підказка

Яку функцію має похідна$\sin x$?

Відповідь

$F(x) = −\cos x+C$

Невизначені інтеграли

Тепер ми розглянемо формальні позначення, що використовуються для представлення антипохідних, і розглянемо деякі їх властивості. Ці властивості дозволяють знайти антипохідні більш складних функцій. Задано функцію$f$, ми використовуємо позначення$f′(x)$ або$\dfrac{df}{dx}$ для позначення похідної від$f$. Тут ми вводимо позначення для антипохідних. Якщо$F$ є антипохідним від$f$, ми говоримо, що$F(x)+C$ це найбільш загальне антипохідне$f$ і писати

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.\nonumber$$

Символ$\displaystyle \int$ називається цілісним знаком, і$\displaystyle \int f(x)\,dx$ називається невизначений інтеграл$f$.

Визначення: Невизначені інтеграли

Задана функція$f$, невизначений інтеграл$f$, позначається

$$\int f(x)\,dx, \nonumber$$

є найбільш загальним антипохідним від$f$. Якщо$F$ є антипохідним від$f$, то

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C. \nonumber$$

Вираз$f(x)$ називається integrand, а змінна$x$ є змінною інтеграції.

З огляду на термінологію, введену в це визначення, акт знаходження антипохідних функції зазвичай$f$ називають інтегруючим$f$.

Для функції$f$ та$F$ антидериватива функції$F(x)+C$, де$C$ є будь-яке дійсне число, часто називають сімейством антипохідних$f$. Наприклад, оскільки$x^2$ є антипохідним$2x$ і будь-яке антипохідне від$2x$ - форми, яку$x^2+C,$ ми пишемо

$$\int 2x\,dx=x^2+C.\nonumber$$

Колекція всіх функцій виду,$x^2+C,$ де$C$ знаходиться будь-яке дійсне число, відома як сімейство антипохідних$2x$. $\PageIndex{1}$На малюнку показаний графік цього сімейства антипохідних.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Сімейство антипохідних$2x$ складається з усіх функцій виду$x^2+C$, де$C$ знаходиться будь-яке дійсне число.

Для деяких функцій оцінка невизначеного інтегралу випливає безпосередньо з властивостей похідних. Наприклад, для$n≠−1$,

$\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,$

який надходить безпосередньо з

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=(n+1)\dfrac{x^n}{n+1}=x^n$.

Цей факт відомий як правило потужності для інтегралів.

Правило потужності для інтегралів

Для$n≠−1,$

$$\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C. \nonumber$$

Оцінка невизначеного інтегралу для деяких інших функцій також є простим обчисленням. У наступній таблиці наведено невизначені інтеграли для декількох загальних функцій. Більш повний список відображається в Додатку B.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Формули інтеграції

Формула диференціації	невизначений інтеграл
$\dfrac{d}{dx}\Big(k\Big)=0$	$\displaystyle \int k\,dx=\int kx^0\,dx=kx+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(x^n\Big)=nx^{n−1}$	$\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$для$n≠−1$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\ln |x|\Big)=\dfrac{1}{x}$	$\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln |x|+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(e^x\Big)=e^x$	$\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin x\Big)=\cos x$	$\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\cos x\Big)=−\sin x$	$\displaystyle \int \sin x\,dx=−\cos x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan x\Big)=\sec^2 x$	$\displaystyle \int \sec^2 x\,dx=\tan x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\csc x\Big)=−\csc x\cot x$	$\displaystyle \int \csc x\cot x\,dx=−\csc x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\sec x\Big)=\sec x\tan x$	$\displaystyle \int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\cot x\Big)=−\csc^2 x$	$\displaystyle \int \csc^2x\,dx=−\cot x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin^{−1}x\Big)=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}$	$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}=\sin^{−1}x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan^{−1}x\Big)=\dfrac{1}{1+x^2}$	$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx=\tan^{−1}x+C$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\sec^{−1}|x|\Big)=\dfrac{1}{x\sqrt{x^2−1}}$	$\displaystyle \int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2−1}}\,dx=\sec^{−1}|x|+C$

З визначення невизначеного інтеграла$f$, ми знаємо

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C\nonumber$$

якщо і тільки якщо$F$ є антипохідним від$f$.

Тому, стверджуючи, що

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C\nonumber$$

важливо перевірити, чи правильно це твердження, перевіривши, що$F′(x)=f(x).$

Приклад$\PageIndex{2}$: Verifying an Indefinite Integral

Кожен з наступних тверджень має форму$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C.$ Переконайтеся, що кожне твердження є правильним, показуючи, що$F′(x)=f(x).$

1. $\displaystyle\int \big(x+e^x\big)\,dx=\dfrac{x^2}{2}+e^x+C$
2. $\displaystyle\int xe^x\,dx=xe^x−e^x+C$

Рішення:

а. з тих пір

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}+e^x+C\right)=x+e^x$,

заяву

$$\int \big(x+e^x\big)\,dx=\dfrac{x^2}{2}+e^x+C \nonumber$$

є правильним.

Зауважте, що ми перевіряємо невизначений інтеграл для суми. Крім того,$\dfrac{x^2}{2}$ і$e^x$ є антипохідними$x$ і$e^x$, відповідно, і сума антипохідних є антипохідним від суми. Цей факт ми ще раз обговоримо пізніше в цьому розділі.

б Використовуючи правило продукту, ми бачимо, що

$$\dfrac{d}{dx}\left(xe^x−e^x+C\right)=e^x+xe^x−e^x=xe^x. \nonumber$$

Тому заяву

$$\int xe^x\,dx=xe^x−e^x+C \nonumber$$

є правильним.

Зверніть увагу, що ми перевіряємо невизначений інтеграл для продукту. Антидериватив не$xe^x−e^x$ є продуктом антипохідних. Крім того, продукт антипохідних, не$x^2e^x/2$ є антипохідним$xe^x$ з тих пір

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2e^x}{2}\right)=xe^x+\dfrac{x^2e^x}{2}≠xe^x$.

Взагалі, продукт антипохідних не є антипохідним продукту.

Вправа$\PageIndex{2}$

Переконайтеся, що$\displaystyle \int x\cos x\,\,dx=x\sin x+\cos x+C.$

Підказка

Розрахувати$\dfrac{d}{dx}\Big(x\sin x+\cos x+C\Big).$

Відповідь

$\dfrac{d}{dx}\Big(x\sin x+\cos x+C\Big)=\sin x+x\cos x−\sin x=x \cos x$

У таблиці$\PageIndex{1}$ ми перерахували невизначені інтеграли для багатьох елементарних функцій. Давайте тепер звернемо увагу на оцінку невизначені інтеграли для більш складних функцій. Наприклад, розглянемо знаходження антидериватива від суми$f+g$. У прикладі$\PageIndex{2}a$ ми показали, що антидериватив суми$x+e^x$ задається сумою$\dfrac{x^2}{2}+e^x$ —тобто антипохідне від суми задається сумою антипохідних. Цей результат не був специфічним для цього прикладу. Взагалі, якщо$F$ і$G$ є антипохідними будь-яких функцій$f$ і$g$, відповідно, то

$\dfrac{d}{dx}\big(F(x)+G(x)\big)=F′(x)+G′(x)=f(x)+g(x).$

Тому$F(x)+G(x)$ є антипохідним від$f(x)+g(x)$ і у нас

$$\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx=F(x)+G(x)+C.\nonumber$$

Аналогічно,

$$\int \big(f(x)−g(x)\big)\,dx=F(x)−G(x)+C.\nonumber$$

Крім того, розглянемо завдання знаходження антидериватива від того,$kf(x),$ де$k$ знаходиться будь-яке дійсне число. Так як

$$\dfrac{d}{dx}\Big(kF(x)\Big)=k\dfrac{d}{dx}\Big(F(x)\Big)=kF′(x)\nonumber$$

для будь-якого дійсного числа робимо висновок$k$, що

$$\int kf(x)\,dx=kF(x)+C.\nonumber$$

Ці властивості підсумовуються далі.

Властивості невизначеного інтегралу

$F$$G$Дозволяти і бути антипохідними$f$ і$g$, відповідно, і нехай$k$ буде будь-яке дійсне число.

Суми та відмінності

$$\int \big(f(x)±g(x)\big)\,dx=F(x)±G(x)+C \nonumber$$

Постійні кратні

$$\int kf(x)\,dx=kF(x)+C \nonumber$$

З цієї теореми ми можемо оцінити будь-який інтеграл, що включає суму, різницю або постійну кратну функцій з відомими антипохідними. Оцінка інтегралів за участю продуктів, коефіцієнтів або композицій є більш складною. (Див. Приклад$\PageIndex{2}b$ для прикладу, пов'язаного з антипохідним продукту.) Ми розглядаємо та розглядаємо інтеграли, що включають ці більш складні функції у Вступ до інтеграції. У наступному прикладі ми розглянемо, як використовувати цю теорему для обчислення невизначеного інтегралу декількох функцій.

Приклад$\PageIndex{3}$: Evaluating Indefinite Integrals

Оцініть кожен з наступних невизначений інтегралів:

1. $\displaystyle \int \big(5x^3−7x^2+3x+4\big)\,dx$
2. $\displaystyle \int \dfrac{x^2+4\sqrt[3]{x}}{x}\,dx$
3. $\displaystyle \int \dfrac{4}{1+x^2}\,dx$
4. $\displaystyle \int \tan x\cos x\,dx$

Рішення:

а Використовуючи властивості невизначеного інтегралу, ми можемо інтегрувати кожен з чотирьох членів у ціле окремо. Отримуємо

$\displaystyle \int \big(5x^3−7x^2+3x+4\big)\,dx=\int 5x^3\,dx−\int 7x^2\,dx+\int 3x\,dx+\int 4\,dx.$

З другої частини Властивості невизначеного інтегралів кожен коефіцієнт можна записати перед знаком інтеграла, який дає

$\displaystyle \int 5x^3\,dx−\int 7x^2\,dx+\int 3x\,dx+\int 4\,dx=5\int x^3\,dx−7\int x^2\,dx+3\int x\,dx+4\int 1\,dx.$

Використовуючи правило потужності для інтегралів, робимо висновок, що

$\displaystyle \int \big(5x^3−7x^2+3x+4\big)\,dx=\dfrac{5}{4}x^4−\dfrac{7}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+4x+C.$

b. перепишіть цілісний як

$\dfrac{x^2+4\sqrt[3]{x}}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{4\sqrt[3]{x}}{x}.$

Потім, щоб оцінити інтеграл, інтегруйте кожен з цих термінів окремо. Використовуючи правило харчування, ми маємо

\ [\ почати {вирівнювати*}\ int\ вліво (x+\ dfrac {4} {x^ {2/3}}\ праворуч)\, dx&=\ int x\, dx+4\ int x^ {−2/3}\, dx\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {2} x^2+4\ dfrac {1} {\ ліворуч (\ tfrac {−−2} {3}\ праворуч) +1} x^ {(−2/3) +1} +C\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {2} x^2+12x^ {1/3} +C.\ end {align*}\]

c Використовуючи властивості невизначеного інтегралу, запишіть інтеграл як

$4\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx.$

Потім використовуйте той факт, що$\tan^{−1}(x)$ є антипохідним,$\dfrac{1}{1+x^2}$ щоб зробити висновок, що

$\displaystyle \int \dfrac{4}{1+x^2}\,dx=4\tan^{−1}(x)+C.$

d. перепишіть integrand як

$\tan x\cos x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x.$

Тому

$\displaystyle \int \tan x\cos x\,dx=\int \sin x\,dx=−\cos x+C.$

Вправа$\PageIndex{3}$

Оцініть$\displaystyle \int \big(4x^3−5x^2+x−7\big)\,dx$.

Підказка

Інтегруйте кожен термін в integrand окремо, використовуючи правило влади.

Відповідь

$\displaystyle \int \big(4x^3−5x^2+x−7\big)\,dx = \quad x^4−\dfrac{5}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2−7x+C$

Проблеми початкового значення

Ми розглядаємо методи інтеграції великої різноманітності функцій за участю продуктів, коефіцієнтів та композицій пізніше в тексті. Тут ми звернемося до одного поширеного використання антипохідних, яке виникає часто в багатьох додатках: розв'язування диференціальних рівнянь.

Диференціальне рівняння - це рівняння, яке пов'язує невідому функцію і одну або кілька її похідних. рівняння

$$\dfrac{dy}{dx}=f(x)\label{diffeq1}$$

простий приклад диференціального рівняння. Рішення цього рівняння означає знаходження функції$y$ з похідною$f$. Тому розв'язки рівняння\ ref {diffeq1} є антипохідними$f$. Якщо$F$ є одним антипохідним від$f$, кожна функція форми$y=F(x)+C$ є розв'язком цього диференціального рівняння. Наприклад, рішення

$$\dfrac{dy}{dx}=6x^2\nonumber$$

даються

$$y=\int 6x^2\,dx=2x^3+C.\nonumber$$

Іноді ми зацікавлені у визначенні того, чи проходить певна крива рішення через певну точку$(x_0,y_0)$ —тобто$y(x_0)=y_0$. Задача про знаходження функції,$y$ що задовольняє диференціальне рівняння

$\dfrac{dy}{dx}=f(x)$

з додатковою умовою

$y(x_0)=y_0$

є прикладом задачі початкового значення. Стан$y(x_0)=y_0$ відомий як початкова умова. Наприклад, шукаємо функцію,$y$ яка задовольняє диференціальному рівнянню

$\dfrac{dy}{dx}=6x^2$

і початкова умова

$y(1)=5$

є прикладом задачі початкового значення. Оскільки розв'язки диференціального рівняння полягають в тому,$y=2x^3+C,$ щоб знайти функцію,$y$ яка також задовольняє початковій умові, нам потрібно знайти$C$ таку, що$y(1)=2(1)^3+C=5$. З цього рівняння ми бачимо це$C=3$, і робимо висновок, що$y=2x^3+3$ це рішення цієї початково-значної задачі, як показано на наступному графіку.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Виведено деякі криві розв'язку диференціального рівняння$\dfrac{dy}{dx}=6x^2$. Функція$y=2x^3+3$ задовольняє диференціальному рівнянню і початковій умові$y(1)=5.$

Приклад$\PageIndex{4}$: Solving an Initial-Value Problem

Вирішити задачу початкового значення

$$\dfrac{dy}{dx}=\sin x,\quad y(0)=5.\nonumber$$

Рішення

Для початку нам потрібно вирішити диференціальне рівняння. Якщо$\dfrac{dy}{dx}=\sin x$, то

$$y=\displaystyle \int \sin(x)\,dx=−\cos x+C.\nonumber$$

Далі потрібно шукати рішення$y$, яке задовольняє початковій умові. Початкова умова$y(0)=5$ означає, що нам потрібна постійна$C$ така, що$−\cos x+C=5.$ Тому,

$$C=5+\cos(0)=6.\nonumber$$

Рішення початково-значущої задачі полягає в$y=−\cos x+6.$

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішити початкову задачу значення$\dfrac{dy}{dx}=3x^{−2},\quad y(1)=2$.

Підказка

Знайти всі антипохідні$f(x)=3x^{−2.}$

Відповідь

$y=−\dfrac{3}{x}+5$

Проблеми з початковим значенням виникають у багатьох додатках. Далі розглянемо проблему, при якій водій застосовує гальма в автомобілі. Нас цікавить, скільки часу потрібно для зупинки автомобіля. Нагадаємо, що функція швидкості$v(t)$ є похідною від функції положення,$s(t),$ а$a(t)$ прискорення - похідна від функції швидкості. У попередніх прикладах у тексті ми могли обчислити швидкість з позиції, а потім обчислити прискорення від швидкості. У наступному прикладі ми працюємо навпаки. З огляду на функцію прискорення, обчислюємо функцію швидкості. Потім ми використовуємо функцію швидкості для визначення функції положення.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Автомобіль їде зі швидкістю$88$ ft/sec ($60$mph) при застосуванні гальм. Автомобіль починає сповільнюватися з постійною швидкістю$15$ ft/sec ².

1. Скільки секунд проходить до зупинки автомобіля?
2. Як далеко проїжджає автомобіль за цей час?

Рішення

а. спочатку ми вводимо змінні для цієї задачі. $t$Дозволяти час (в секундах) після першого застосування гальм. $a(t)$Дозволяти бути прискорення автомобіля (в футах на секунди в квадраті) в часі$t$. $v(t)$Дозволяти швидкість автомобіля (в футах в секунду) в той час$t$. $s(t)$Дозволяти положення автомобіля (в ногах) за межами точки, де гальма застосовуються в той час$t$.

Автомобіль їде зі швидкістю$88$ ft/sec. Тому початкова швидкість -$v(0)=88$ фут/сек. Так як автомобіль гальмує, то розгін

$a(t)=−15\,\text{ft/sec}^2$.

Прискорення є похідною від швидкості,

$v′(t)=-15.$

Тому ми маємо проблему початкового значення, яку потрібно вирішити:

$v′(t)=−15,\quad v(0)=88.$

Інтегруючи, ми виявляємо, що

$v(t)=−15t+C.$

Так як$v(0)=88,C=88.$ Таким чином, функція швидкості

$v(t)=−15t+88.$

Щоб дізнатися, скільки часу потрібно для зупинки автомобіля, нам потрібно знайти$t$ такий час, щоб швидкість була нульовою. Рішення$−15t+88=0,$ отримуємо$t=\dfrac{88}{15}$ сек.

б. щоб дізнатися, як далеко проїжджає автомобіль за цей час, нам потрібно знайти положення автомобіля після$\dfrac{88}{15}$ сек. Ми знаємо, що швидкість$v(t)$ є похідною від положення$s(t)$. Розглянемо початкове положення, яке має бути$s(0)=0$. Тому нам потрібно вирішити початково-вартісну задачу

$s′(t)=−15t+88,\quad s(0)=0.$

Інтегруючи, ми маємо

$s(t)=−\dfrac{15}{2}t^2+88t+C.$

Так як$s(0)=0$, константа є$C=0$. Тому функція положення є

$s(t)=−\dfrac{15}{2}t^2+88t.$

Після$t=\frac{88}{15}$ сек положення$s\left(\frac{88}{15}\right)≈258.133$ футів.

Вправа$\PageIndex{5}$

Припустимо, автомобіль їде зі швидкістю$44$ ft/sec. Скільки часу потрібно, щоб машина зупинилася? Як далеко проїде автомобіль?

Підказка

$v(t)=−15t+44.$

Відповідь

$2.93$сек,$64.5$ фут

Ключові концепції

• Якщо$F$ є антипохідним від$f,$ то кожне$f$ антипохідне має форму$F(x)+C$ для певної константи$C$.
• Вирішення початкової задачі $$\dfrac{dy}{dx}=f(x),\quad y(x_0)=y_0 \nonumber$$ вимагає від нас спочатку знайти сукупність антипохідних,$f$ а потім шукати ту конкретну антипохідну, яка також задовольняє початковій умові.

Глосарій

антидериватив

функція$F$ така, що$F′(x)=f(x)$ для всіх$x$ в області з$f$ є антипохідним від$f$

невизначений інтеграл

найзагальнішим антипохідним від$f(x)$ є невизначений інтеграл$f$; ми використовуємо позначення$\displaystyle \int f(x)\,dx$ для позначення невизначеного інтеграла$f$

завдання початкового значення

задача, яка вимагає знаходження функції,$y$ яка задовольняє диференціальне рівняння$\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ разом з початковою умовою$y(x_0)=y_0$