4.6: Межі на нескінченності та асимптотах

Цілі навчання

• Обчисліть межу функції як$x$ збільшення або зменшення без обмежень.
• Розпізнайте горизонтальну асимптоту на графіку функції.
• Оцініть кінцеву поведінку функції як$x$ збільшення або зменшення без обмежень.
• Розпізнайте косу асимптоту на графіку функції.
• Проаналізуйте функцію та її похідні, щоб намалювати її графік.

Показано, як використовувати першу та другу похідні функції для опису форми графа. Для побудови графіка функції,$f$ визначеної на необмеженій області, нам також потрібно знати поведінку$f$ as$x→±∞$. У цьому розділі ми визначаємо межі на нескінченності та покажемо, як ці межі впливають на графік функції. В кінці цього розділу ми окреслимо стратегію побудови графіків довільної функції$f$.

Ми почнемо з вивчення того, що означає для функції, щоб мати кінцеву межу на нескінченності. Потім вивчаємо ідею функції з нескінченною межею на нескінченності. Повернувшись у Вступ до функцій та графіків, ми розглянули вертикальні асимптоти; у цьому розділі ми маємо справу з горизонтальними та косими асимптотами.

Межі на нескінченності та горизонтальні асимптоти

Нагадаємо, що$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L$ засіб$f(x)$ стає довільно близьким до тих$L$ пір, поки$x$ досить близько до$a$. Ми можемо розширити цю ідею до меж нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію$f(x)=2+\frac{1}{x}$. Як видно графічно на малюнку$\PageIndex{1}$ і чисельно в таблиці$\PageIndex{1}$, як значення$x$ отримують більше, значення$f(x)$ наближення$2$. Ми говоримо межа як$x$ підходи$∞$$f(x)$ є$2$ і пишемо$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=2$. Аналогічно$x<0$, для того, як значення$|x|$ стають більшими, значення$f(x)$ наближення$2$. Ми говоримо межа як$x$ підходи$−∞$$f(x)$ є$2$ і пишемо$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=2$.

Малюнок:$\PageIndex{1}$ Функція наближається до асимптоти як$y=2$ підходи$x$.$±∞$

Таблиця$\PageIndex{1}$: Значення функції$f$ як$x→±∞$

$x$	10	100	1 000	10 000
$2+\frac{1}{x}$	2.1	2.01	2.001	2.0001
$x$	−10	−100	−1000	−10 000
$2+\frac{1}{x}$	1.9	1,99	1.999	1.999

Більш загально, для будь-якої функції$f$, ми говоримо межа як$x→∞$ з$f(x)$ є$L$ якщо$f(x)$ стає довільно близько до тих$L$ пір, поки$x$ досить великий. У такому випадку пишемо$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=L$. Аналогічно, ми говоримо, що межа$x→−∞$ станом на$f(x)$ є$L$ якщо$f(x)$ стає довільно близькою до тих$L$ пір, поки$x<0$ і$|x|$ є досить великим. У такому випадку пишемо$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=L$. Тепер ми розглянемо визначення функції, що має межу на нескінченності.

Визначення: Межа на нескінченність (неформальна)

Якщо значення$f(x)$ стають довільно близькими до$L$ як$x$ стає досить великими, ми говоримо, що функція$f$ має межу на нескінченність і записуємо

$$\lim_{x→∞}f(x)=L. \nonumber$$

Якщо значення$f(x)$ стає довільно близькими до$L$ for$x<0$ as$|x|$ стає досить великими, скажемо, що функція$f$ має межу при негативній нескінченності і запишемо

$$\lim_{x→−∞}f(x)=L. \nonumber$$

Якщо значення$f(x)$ отримують довільно близькі до деякого кінцевого значення$L$ як$x→∞$ or$x→−∞$, графік$f$ наближається до прямої$y=L$. У такому випадку лінія$y=L$ є горизонтальною асимптотою$f$ (рис.$\PageIndex{2}$). Наприклад, для функції$f(x)=\dfrac{1}{x}$, оскільки$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=0$, лінія$y=0$ є горизонтальною асимптотою$f(x)=\dfrac{1}{x}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: (а) Як$x→∞$, значення$f$ стають довільно близькими до$L$. Лінія$y=L$ являє собою горизонтальну асимптоту$f$. (б) Як$x→−∞$, значення$f$ стають довільно близькими до$M$. Лінія$y=M$ являє собою горизонтальну асимптоту$f$.

Визначення: Горизонтальна асимптота

Якщо$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=L$ або$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=L$, ми говоримо, що лінія$y=L$ є горизонтальною асимптотою$f$.

Функція не може перетинати вертикальну асимптоту, оскільки графік повинен наближатися до нескінченності (або$−∞$) принаймні з одного напрямку, коли$x$ наближається до вертикальної асимптоти. Однак функція може перетинати горизонтальну асимптоту. Насправді функція може перетинати горизонтальну асимптоту необмежену кількість разів. Наприклад, функція,$f(x)=\dfrac{\cos x}{x}+1$ показана на малюнку,$\PageIndex{3}$ перетинає горизонтальну асимптоту$y=1$ нескінченну кількість разів, коли вона коливається навколо асимптоти з постійно спадаючою амплітудою.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік$f(x)=(\cos x)/x+1$ перетинає свою горизонтальну асимптоту$y=1$ нескінченну кількість разів.

Алгебраїчні граничні закони та теорема стискання, які ми ввели у Вступ до меж, також застосовуються до меж на нескінченності. Ми ілюструємо, як використовувати ці закони для обчислення декількох меж на нескінченності.

Приклад$\PageIndex{1}$: Computing Limits at Infinity

Для кожної з наведених нижче функцій$f$ оцінюють$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)$. Визначте горизонтальну асимптоту (и) для$f$.

1. $f(x)=5−\dfrac{2}{x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$
3. $f(x)=\tan^{−1}(x)$

Рішення

а Використовуючи алгебраїчні граничні закони, ми маємо

$$\lim_{x→∞}\left(5−\frac{2}{x^2}\right)=\lim_{x→∞}5−2\left(\lim_{x→∞}\frac{1}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x→∞}\frac{1}{x}\right)=5−2⋅0=5.\nonumber$$

Аналогічно,$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=5$. Тому$f(x)=5-\dfrac{2}{x^2}$ має горизонтальну асимптоту$y=5$ і$f$ наближається до цієї горизонтальної асимптоти$x→±∞$, як показано на наступному графіку.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Ця функція наближається до горизонтальної асимптоти як$x→±∞.$

б. оскільки$-1≤\sin x≤1$ для всіх$x$ у нас є

$$\frac{−1}{x}≤\frac{\sin x}{x}≤\frac{1}{x}\nonumber$$

для всіх$x≠0$. Крім того, так як

$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{−1}{x}=0=\lim_{x→∞}\frac{1}{x}$,

ми можемо застосувати теорему стискання, щоб зробити висновок, що

$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{\sin x}{x}=0.$

Аналогічно,

$\displaystyle \lim_{x→−∞}\frac{\sin x}{x}=0.$

Таким чином,$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ має горизонтальну асимптоту$y=0$ і$f(x)$ наближається до цієї горизонтальної асимптоти$x→±∞$, як показано на наступному графіку.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Ця функція багаторазово перетинає свою горизонтальну асимптоту.

c Для оцінки$\displaystyle \lim_{x→∞}\tan^{−1}(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→−∞}\tan^{−1}(x)$, спочатку розглянемо графік$y=\tan(x)$ над інтервалом,$\left(−\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right)$ як показано на наступному графіку.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Графік$y=\tan x$ має вертикальні асимптоти при$x=±\frac{π}{2}$

Так як

$\displaystyle \lim_{x→\tfrac{π}{2}^−}\tan x=∞,$

з цього випливає, що

$\displaystyle \lim_{x→∞}\tan^{−1}(x)=\frac{π}{2}.$

Аналогічно, так як

$\displaystyle \lim_{x→-\tfrac{π}{2}^+}\tan x=−∞,$

з цього випливає, що

$\displaystyle \lim_{x→−∞}\tan^{−1}(x)=−\frac{π}{2}.$

В результаті$y=\frac{π}{2}$ і$y=−\frac{π}{2}$ є горизонтальними асимптотами,$f(x)=\tan^{−1}(x)$ як показано на наступному графіку.

Рисунок$\PageIndex{7}$: Ця функція має два горизонтальних асимптоти.

Вправа$\PageIndex{1}$

Оцініть$\displaystyle \lim_{x→−∞}\left(3+\frac{4}{x}\right)$ і$\displaystyle \lim_{x→∞}\left(3+\dfrac{4}{x}\right)$. Визначте горизонтальні асимптоти,$f(x)=3+\frac{4}{x},$ якщо такі є.

Підказка

$\displaystyle \lim_{x→±∞}\frac{1}{x}=0$

Відповідь

Обидві межі$3.$ є Лінія$y=3$ є горизонтальною асимптотою.

Нескінченні межі і нескінченність

Іноді значення функції$f$ стають довільно великими як$x→∞$ (або як$x→−∞$). В даному випадку пишемо$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=∞$ (або$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=∞$). З іншого боку, якщо значення$f$ від'ємні, але стають довільно великими за величиною як$x→∞$ (або як$x→−∞$), ми пишемо$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=−∞$ (або$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=−∞$).

Наприклад, розглянемо функцію$f(x)=x^3$. Як видно з таблиці$\PageIndex{2}$ та малюнка$\PageIndex{8}$, так як$x→∞$ значення$f(x)$ стають довільно великими. Тому,$\displaystyle \lim_{x→∞}x^3=∞$. З іншого боку, як$x→−∞$, значення$f(x)=x^3$ негативні, але стають довільно великими за величиною. Отже,$\displaystyle \lim_{x→−∞}x^3=−∞.$

Таблиця$\PageIndex{2}$: Значення силової функції як$x→±∞$

$x$	10	20	50	100	1000
$x^3$	1000	8000	125 000	1 000 000	1 000 000 000
$x$	−10	−20	−50	−100	−1000
$x^3$	−1000	−8000	−125 000	−1 000 000	−1 000 000 000

Малюнок$\PageIndex{8}$: Для цієї функції функціональні значення наближаються до$±$ нескінченності як$x→±∞.$

Визначення: Нескінченна межа і нескінченність (неформа

Ми говоримо, що функція$f$ має нескінченну межу в нескінченності і записувати

$$\lim_{x→∞}f(x)=∞. \nonumber$$

якщо$f(x)$ стає довільно великим для$x$ досить великих. Ми говоримо, що функція має негативну нескінченну межу на нескінченності і записуємо

$$\lim_{x→∞}f(x)=−∞. \nonumber$$

якщо$f(x)<0$ і$|f(x)|$ стає довільно великим для$x$ досить великих. Аналогічно, ми можемо визначити нескінченні межі як$x→−∞.$

Формальні визначення

Раніше ми використовували терміни довільно закритий, довільно великий і досить великий, щоб визначити межі на нескінченності неформально. Хоча ці терміни дають точні описи меж на нескінченності, вони не є точними математично. Ось більш формальні визначення меж на нескінченності. Потім ми розглянемо, як використовувати ці визначення, щоб довести результати, пов'язані з межами на нескінченності.

Визначення: Межа на нескінченність (формальна)

Ми говоримо, що функція$f$ має межу на нескінченності, якщо існує дійсне число$L$ таке$ε>0$, що для всіх існує$N>0$ таке, що

$$|f(x)−L|<ε \nonumber$$

для всіх$x>N.$ в такому випадку ми пишемо

$$\lim_{x→∞}f(x)=L \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{9}$: Для функції з обмеженням на нескінченність, для всіх$x>N, |f(x)−L|<ε.$

Раніше в цьому розділі ми використовували графічні докази на малюнку$\PageIndex{1}$ та числові докази в таблиці,$\PageIndex{1}$ щоб зробити висновок про це$\displaystyle \lim_{x→∞}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2$. Тут ми використовуємо формальне визначення межі на нескінченності, щоб суворо довести цей результат.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Скористайтеся формальним визначенням межі на нескінченності, щоб довести це$\displaystyle \lim_{x→∞}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2$.

Рішення

$ε>0.$Нехай$N=\frac{1}{ε}$. Тому для всіх$x>N$ у нас є

$$\left|2+\frac{1}{x}−2\right|=\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x}<\frac{1}{N}=ε \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Скористайтеся формальним визначенням межі на нескінченності, щоб довести це$\displaystyle \lim_{x→∞}\left(3-\frac{1}{x^2}\right)=3$.

Підказка

Нехай$N=\frac{1}{\sqrt{ε}}$.

Відповідь

$ε>0.$Нехай$N=\frac{1}{\sqrt{ε}}$. Тому для всіх у$x>N,$ нас є

$$\Big|3−\frac{1}{x^2}−3\Big|=\frac{1}{x^2}<\frac{1}{N^2}=ε \nonumber$$

Тому,$\displaystyle \lim_{x→∞}(3−1/x^2)=3.$

Тепер звернемо увагу на більш точне визначення нескінченної межі на нескінченності.

Визначення: Нескінченна межа і нескінченність (формальна

Ми говоримо, що функція$f$ має нескінченну межу в нескінченності і записувати

$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=∞$

якщо для всіх$M>0,$ існує$N>0$ таке, що

$f(x)>M$

для всіх$x>N$ (див. Рис.$\PageIndex{10}$).

Ми говоримо, що функція має негативну нескінченну межу на нескінченності і записуємо

$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=−∞$

якщо для всіх$M<0$, існує$N>0$ таке, що

$f(x)<M$

для всіх$x>N$.

Аналогічно ми можемо визначити межі як$x→−∞.$

Малюнок$\PageIndex{10}$: Для функції з нескінченною межею на нескінченності, для всіх$x>N,\; f(x)>M.$

Раніше ми використовували графічні докази (рис.$\PageIndex{8}$) та числові докази (таблиця$\PageIndex{2}$), щоб зробити висновок про це$\displaystyle \lim_{x→∞}x^3=∞$. Тут ми використовуємо формальне визначення нескінченної межі на нескінченності, щоб довести цей результат.

Приклад$\PageIndex{3}$

Використовуйте формальне визначення нескінченної межі на нескінченності, щоб довести, що$\displaystyle \lim_{x→∞}x^3=∞.$

Рішення

$M>0.$Нехай$N=\sqrt[3]{M}$. Тоді, для всіх$x>N$, у нас є

$x^3>N^3=(\sqrt[3]{M})^3=M.$

Тому,$\displaystyle \lim_{x→∞}x^3=∞$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте формальне визначення нескінченної межі на нескінченності, щоб довести, що$\displaystyle \lim_{x→∞}3x^2=∞.$

Підказка

Нехай$N=\sqrt{\frac{M}{3}}$.

Відповідь

$M>0.$Нехай$N=\sqrt{\frac{M}{3}}$. Тоді для всіх у$x>N,$ нас є

$3x^2>3N^2=3\left(\sqrt{\frac{M}{3}}\right)^2=\frac{3M}{3}=M$

Поведінка кінця

Поведінка функції, як$x→±∞$ називається кінцевою поведінкою функції. На кожному з кінців функції функція може проявляти один з наступних типів поведінки:

1. Функція$f(x)$ наближається до горизонтальної асимптоти$y=L$.
2. Функція$f(x)→∞$ або$f(x)→−∞.$
3. Функція не наближається до кінцевої межі, а також не наближається$∞$ або$−∞$. При цьому функція може мати деяку коливальну поведінку.

Розглянемо кілька класів функцій тут і розглянемо різні типи кінцевої поведінки для цих функцій.

Поведінка кінця для поліноміальних функцій

Розглянемо функцію power$f(x)=x^n$, де$n$ є додатним цілим числом. З малюнка$\PageIndex{11}$ та$\PageIndex{12}$ малюнка ми бачимо, що

$$\lim_{x→∞}x^n=∞;\;n=1,2,3,… \nonumber$$

і

$$\lim_{x→−∞}x^n=\begin{cases}∞, & n=2,4,6,…\\−∞, & n=1,3,5,….\end{cases} \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{11}$: Для силових функцій з рівномірною потужністю$n$,$\displaystyle \lim_{x→∞}x^n=∞=\lim_{x→−∞}x^n$.

Малюнок$\PageIndex{12}$: Для силових функцій з непарною потужністю$n$,$\displaystyle \lim_{x→∞}x^n=∞$ і$\displaystyle \lim_{x→−∞}x^n=−∞.$

Використовуючи ці факти, не важко оцінити$\displaystyle \lim_{x→∞}cx^n$ і$\displaystyle \lim_{x→−∞}cx^n$, де$c$ будь-яка константа і$n$ є натуральним числом. Якщо$c>0$, графік$y=cx^n$ є вертикальним розтягуванням або стисненням$y=x^n,$ і тому

$\displaystyle \lim_{x→∞}cx^n=\lim_{x→∞}x^n$і$\displaystyle \lim_{x→−∞}cx^n=\lim_{x→−∞}x^n$ якщо$c>0$.

Якщо графік$c<0,$$y=cx^n$ є вертикальним розтягуванням або стисненням в поєднанні з відображенням про$x$ -осі, а отже

$\displaystyle \lim_{x→∞}cx^n=−\lim_{x→∞}x^n$і$\displaystyle \lim_{x→−∞}cx^n=−\lim_{x→−∞}x^n$ якщо$c<0.$

Якщо$c=0,y=cx^n=0,$ в якому випадку$\displaystyle \lim_{x→∞}cx^n=0=\lim_{x→−∞}cx^n.$

Приклад$\PageIndex{4}$: Limits at Infinity for Power Functions

Для кожної функції$f$ оцінюють$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)$.

1. $f(x)=−5x^3$
2. $f(x)=2x^4$

Рішення

1. Оскільки коефіцієнт$x^3$ є$−5$, графік$f(x)=−5x^3$ передбачає вертикальне розтягування і відображення графіка$y=x^3$ про$x$ -осі. Тому$\displaystyle \lim_{x→∞}(−5x^3)=−∞$ і$\displaystyle \lim_{x→−∞}(−5x^3)=∞$.
2. Оскільки коефіцієнт$x^4$ є$2$, то графік$f(x)=2x^4$ є вертикальним розтягненням графіка$y=x^4$. Тому$\displaystyle \lim_{x→∞}2x^4=∞$ і$\displaystyle \lim_{x→−∞}2x^4=∞$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Нехай$f(x)=−3x^4$. Знайти$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)$.

Підказка

$−3$Коефіцієнт негативний.

Відповідь

$−∞$

Тепер ми розглянемо, як межі нескінченності для степеневих функцій можуть бути використані$\displaystyle \lim_{x→±∞}f(x)$ для визначення для будь-якої поліноміальної функції$f$. Розглянемо поліноміальну функцію

$$f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+…+a^1x+a^0 \nonumber$$

ступеня$n≥1$ так, що$a_n≠0.$

Факторинг, ми бачимо, що

$$f(x)=a_nx^n\left(1+\frac{a_{n−1}}{a_n}\frac{1}{x}+…+\frac{a_1}{a_n}\frac{1}{x^{n−1}}+\frac{a_0}{a_n}\frac{1}{x^n}\right). \nonumber$$

Оскільки$x→±∞,$ всі терміни всередині дужок наближаються до нуля, крім першого члена. Ми робимо висновок, що

$$\lim_{x→±∞}f(x)=\lim_{x→±∞}a_nx^n. \nonumber$$

Наприклад, функція$f(x)=5x^3−3x^2+4$ поводиться так,$g(x)=5x^3$$x→±∞$ як показано на малюнку$\PageIndex{13}$ та таблиці$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{13}$: Кінцева поведінка многочлена визначається поведінкою терміна з найбільшим показником.

Таблиця$\PageIndex{3}$: Кінцева поведінка полінома визначається терміном з найбільшим показником

$x$	10	100	1000
$f(x)=5x^3−3x^2+4$	4704	4 970 004	4 997 000 004
$g(x)=5x^3$	5000	5 000 000	5 000 000 000
$x$	−10	−100	−000
$f(x)=5x^3−3x^2+4$	−5296	−5 029 996	−5 002 999 996
$g(x)=5x^3$	−5000	−5 000 000	−5 000 000 000

Поведінка кінця для алгебраїчних функцій

Кінцева поведінка для раціональних функцій і функцій за участю радикалів трохи складніше, ніж для поліномів. У прикладі показано$\PageIndex{5}$, що межі на нескінченності раціональної функції$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ залежать від співвідношення між ступенем чисельника і ступенем знаменника. Для оцінки меж на нескінченності для раціональної функції ділимо чисельник і знаменник на найвищу$x$ ступінь присутності в знаменнику. Це визначає, який термін у загальному виразі домінує над поведінкою функції при великих значеннях$x$.

Приклад$\PageIndex{5}$: Determining End Behavior for Rational Functions

Для кожної з наведених нижче функцій визначте межі,$x→∞$ а$x→−∞.$ потім використовуйте цю інформацію для опису кінцевої поведінки функції.

1. $f(x)=\dfrac{3x−1}{2x+5}$(Примітка: Ступінь чисельника і знаменника однакові.)
2. $f(x)=\dfrac{3x^2+2x}{4x^3−5x+7}$(Примітка: Ступінь чисельника менше ступеня знаменника.)
3. $f(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x+2}$(Примітка: Ступінь чисельника більше, ніж ступінь знаменника.)

Рішення

а. найвища сила$x$ в знаменнику є$x$. Тому, розділивши чисельник і знаменник на$x$ і застосовуючи алгебраїчні граничні закони, ми бачимо, що

$$\begin{align*} \lim_{x→±∞}\frac{3x−1}{2x+5} &=\lim_{x→±∞}\frac{3−1/x}{2+5/x} \\[4pt] &=\frac{\lim_{x→±∞}(3−1/x)}{\lim_{x→±∞}(2+5/x)} \\[4pt] &=\frac{\lim_{x→±∞}3−\lim_{x→±∞}1/x}{\lim_{x→±∞}2+\lim_{x→±∞}5/x} \\[4pt] &=\frac{3−0}{2+0}=\frac{3}{2}. \end{align*}$$

Оскільки$\displaystyle \lim_{x→±∞}f(x)=\frac{3}{2}$, ми знаємо, що$y=\frac{3}{2}$ це горизонтальна асимптота для цієї функції, як показано на наступному графіку.

Рисунок$\PageIndex{14}$: Графік цієї раціональної функції наближається до горизонтальної асимптоти як$x→±∞.$

б. оскільки найбільша сила$x$ появи в знаменнику дорівнює$x^3$, ділимо чисельник і знаменник на$x^3$. Зробивши це і застосувавши алгебраїчні граничні закони, отримуємо

$$\lim_{x→±∞}\frac{3x^2+2x}{4x^3−5x+7}=\lim_{x→±∞}\frac{3/x+2/x^2}{4−5/x^2+7/x^3}=\frac{3\cdot 0+2\cdot 0}{4−5\cdot 0+7\cdot 0}=\frac{0}{4}=0. \nonumber$$

Тому$f$ має горизонтальну асимптоту$y=0$, як показано на наступному графіку.

Рисунок$\PageIndex{15}$: Графік цієї раціональної функції наближається до горизонтальної асимптоти$y=0$ як$x→±∞.$

с. розділивши чисельник і знаменник на$x$, маємо

$$\displaystyle \lim_{x→±∞}\frac{3x^2+4x}{x+2}=\lim_{x→±∞}\frac{3x+4}{1+2/x}. \nonumber$$

Як$x→±∞$, наближається знаменник$1$. Як$x→∞$, наближається чисельник$+∞$. Як$x→−∞$, наближається чисельник$−∞$. $\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=∞$Тому тоді$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=−∞$ як показано на наступному малюнку.

Малюнок$\PageIndex{16}$: Як$x→∞$, значення$f(x)→∞$. Як$x→−∞$, значення$f(x)→−∞.$

Вправа$\PageIndex{5}$

Оцініть$\displaystyle \lim_{x→±∞}\frac{3x^2+2x−1}{5x^2−4x+7}$ і використовуйте ці межі для визначення кінцевої поведінки$f(x)=\dfrac{3x^2+2x−1}{5x^2−4x+7}$.

Підказка

Розділіть чисельник і знаменник на$x^2$.

Відповідь

$\frac{3}{5}$

Перш ніж приступити, розглянемо графік,$f(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x+2}$ показаний на малюнку$\PageIndex{16}$. Як$x→∞$ і$x→−∞$, графік$f$ представляється майже лінійним. Хоча$f$ це, звичайно, не лінійна функція, ми зараз досліджуємо, чому графік,$f$ здається, наближається до лінійної функції. По-перше, використовуючи довге ділення многочленів, ми можемо записати

$$f(x)=\frac{3x^2+4x}{x+2}=3x−2+\frac{4}{x+2}. \nonumber$$

Оскільки$\dfrac{4}{x+2}→0$, як$x→±∞,$ ми робимо висновок, що

$$\lim_{x→±∞}(f(x)−(3x−2))=\lim_{x→±∞}\frac{4}{x+2}=0. \nonumber$$

Тому графік$f$ наближається до лінії$y=3x−2$ як$x→±∞$. Ця лінія відома як коса асимптота для$f$ (рис.$\PageIndex{17}$).

Рисунок$\PageIndex{17}$: Графік раціональної функції$f(x)=(3x^2+4x)/(x+2)$ наближається до косої асимптоти$y=3x−2$ як$x→±∞.$

Ми можемо узагальнити результати Прикладу,$\PageIndex{5}$ щоб зробити наступний висновок щодо кінцевої поведінки для раціональних функцій. Розглянемо раціональну функцію

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m−1}x^{m−1}+…+b_1x+b_0},\nonumber$$

де$a_n≠0$ і$b_m≠0.$

1. Якщо ступінь чисельника збігається зі ступенем знаменника,$(n=m),$ то$f$ має горизонтальну асимптоту$y=a_n/b_m$ як$x→±∞.$
2. Якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника,$(n<m),$ то$f$ має горизонтальну асимптоту$y=0$ як$x→±∞.$
3. Якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника,$(n>m),$ то$f$ не має горизонтальної асимптоти. Межі на нескінченності - це або позитивна, або негативна нескінченність, в залежності від знаків провідних членів. Крім того, використовуючи довгий ділення, функція може бути переписана як $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=g(x)+\frac{r(x)}{q(x)}, \nonumber$$ там, де ступінь менше ступеня$q(x)$.$r(x)$ Як результат,$\displaystyle \lim_{x→±∞}r(x)/q(x)=0$. Тому значення$[f(x)−g(x)]$ наближаються до нуля як$x→±∞$. Якщо ступінь$p(x)$ рівно на один більше ступеня$q(x)$ (тобто$n=m+1$), функція$g(x)$ є лінійною функцією. В даному випадку ми називаємо косу$g(x)$ асимптоту.

Тепер розглянемо кінцеву поведінку для функцій, що беруть участь радикал.

Приклад$\PageIndex{6}$: Determining End Behavior for a Function Involving a Radical

Знайдіть межі як$x→∞$ і$x→−∞$ для$f(x)=\dfrac{3x−2}{\sqrt{4x^2+5}}$ і опишіть кінцеву поведінку$f$.

Рішення

Скористаємося тією ж стратегією, що і для раціональних функцій: ділимо чисельник і знаменник на ступінь$x$. Щоб визначити відповідну силу$x$, розглянемо вираз$\sqrt{4x^2+5}$ в знаменнику. Так як

$$\sqrt{4x^2+5}≈\sqrt{4x^2}=2|x| \nonumber$$

для великих значень чинності$x$$x$ з'являється якраз до першого ступеня в знаменнику. Тому числівник і знаменник ділимо на$|x|$. Потім, використовуючи те, що$|x|=x$$x>0, |x|=−x$ для$x<0$, і$|x|=\sqrt{x^2}$ для всіх$x$, розраховуємо межі наступним чином:

\ [\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x→∞}\ розрив {3x−2} {\ sqrt {4x^2+5}} &=\ lim_ {x→∞}\ frac {(1/|x|)} {(1/|x|)\ sqrt {4x^2+5}}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→∞}\ розрив {(1/x) (3х−2)} {\ sqrt {(1/x^2) (4x^2+5)}}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→∞}\ frac {3−2/x} {\ sqrt {4+5/x^2}} =\ frac {3} {\ sqrt {4}} =\ frac 3} {2}\ end {вирівнювати*}\]

\ [\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x→−∞}\ розрив {3x−2} {\ sqrt {4x^2+5}} &=\ lim_ {x→∞}\ frac {(1/|x|)} {(1/|x|)\ sqrt {4x^2+5}}\\ [4pt]
&=\ lim_ x→−∞}\ розрив {(−1/x) (3х−2)} {\ sqrt {(1/x^2) (4x^2+5)}}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−∞}\ frac {−3+2/x} {\ sqrt {4+5/x^2}} =\ frac {−3} {\ sqrt {4}} =\ гідророзриву {−3} {2}. \ end {вирівнювати*}\]

Тому$f(x)$ наближається до горизонтальної асимптоти$y=\frac{3}{2}$ як$x→∞$ і до горизонтальної асимптоти$x→−∞$,$y=−\frac{3}{2}$ як показано на наступному графіку.

Рисунок$\PageIndex{18}$: Ця функція має два горизонтальних асимптоти і перетинає один з асимптотів.

Вправа$\PageIndex{6}$

Оцініть$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{\sqrt{3x^2+4}}{x+6}$.

Підказка

Розділіть чисельник і знаменник на$x$.

Відповідь

$\sqrt{3}$

Визначення кінцевої поведінки трансцендентних функцій

Шість основних тригонометричних функцій є періодичними і не наближаються до кінцевої межі, як$x→±∞.$ Наприклад,$\sin x$ коливається між 1 і −1 (рис.$\PageIndex{19}$). Тангенсна функція$x$ має нескінченну кількість вертикальних асимптотів як$x→±∞$; отже, вона не наближається до кінцевої межі і не наближається,$±∞$$x→±∞$ як показано на малюнку$\PageIndex{20}$.

Малюнок$\PageIndex{19}$: Функція$f(x)=\sin x$ коливається між$1$ і$−1$ як$x→±∞$

Малюнок$\PageIndex{20}$: Функція$f(x)=\tan x$ не наближається до межі і не наближається$±∞$ як$x→±∞$

Нагадаємо, що для будь-якої бази функція$b>0,\; b≠1,$$y=b^x$ є експоненціальною функцією з доменом$(−∞,∞)$ і діапазоном$(0,∞)$. Якщо$b>1,\;y=b^x$ збільшується більше$(−∞,∞)$. Якщо$0<b<1, \; y=b^x$ зменшується над$(−∞,∞).$ Для природної експоненціальної функції$f(x)=e^x, \; e≈2.718>1$. Тому$f(x)=e^x$ збільшується$(−∞,∞)$ і діапазон є$(0,∞)$. Експоненціальна функція$f(x)=e^x$ підходить$∞$ як$x→∞$ і наближається$x→−∞$,$0$ як показано в таблиці$\PageIndex{4}$ та рисунку$\PageIndex{21}$.

Таблиця$\PageIndex{4}$: Кінцева поведінка природної експоненціальної функції

$x$	−5	−2	0	2	5
$e^x$	0,00674	0,135	1	7.389	148.413

Рисунок$\PageIndex{21}$: Експоненціальна функція наближається до нуля як$x→−∞$ і наближається$∞$ як$x→∞.$

Нагадаємо, що натуральна функція логарифма$f(x)=\ln(x)$ є оберненою природною експоненціальною функцією$y=e^x$. Тому домен$f(x)=\ln(x)$ is$(0,∞)$ і діапазон є$(−∞,∞)$. Графік$f(x)=\ln(x)$ - це відображення графіка$y=e^x$ про пряму$y=x$. Тому$\ln(x)→−∞$ як$x→0^+$ і так,$\ln(x)→∞$$x→∞$ як показано на малюнку$\PageIndex{22}$ і табл$\PageIndex{5}$.

Таблиця$\PageIndex{5}$: Кінцева поведінка функції натурального логарифма

$x$	0,01	0.1	1	10	100
$\ln(x)$	−4.605	−2.303	0	2.303	4.605

Малюнок$\PageIndex{22}$: Функція натурального логарифма наближається$∞$ як$x→∞.$

Приклад$\PageIndex{7}$: Determining End Behavior for a Transcendental Function

Знайдіть межі як$x→∞$ і$x→−∞$ для$f(x)=\dfrac{2+3e^x}{7−5e^x}$ та опишіть кінцеву поведінку$f.$

Рішення

Щоб знайти межу як$x→∞,$ розділити чисельник і знаменник на$e^x$:

$$\begin{align*} \lim_{x→∞}f(x) &= \lim_{x→∞}\frac{2+3e^x}{7−5e^x} \\[4pt] &=\lim_{x→∞}\frac{(2/e^x)+3}{(7/e^x)−5.} \end{align*}$$

Як показано на малюнку$\PageIndex{21}$,$e^x→∞$ як$x→∞$. Тому,

$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{2}{e^x}=0=\lim_{x→∞}\frac{7}{e^x}$.

Зроблено висновок про те$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=−\frac{3}{5}$, що і графік$f$ наближень до горизонтальної$x→∞.$ асимптоти$y=−\frac{3}{5}$ як, щоб знайти межу як$x→−∞$, використовують той факт, що$e^x→0$ як$x→−∞$ зробити висновок$\displaystyle \lim_{x→-∞}f(x)=\frac{2}{7}$, що, а отже, графік$f(x)$ наближається до горизонтальної асимптоти $y=\frac{2}{7}$як$x→−∞$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайдіть межі як$x→∞$ і$x→−∞$ для$f(x)=\dfrac{3e^x−4}{5e^x+2}$.

Підказка

$\displaystyle \lim_{x→∞}e^x=∞$і$\displaystyle \lim_{x→-∞}e^x=0.$

Відповідь

$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=\frac{3}{5}, \quad\lim_{x→−∞}f(x)=−2$

Рекомендації щодо малювання графіка функції

Тепер у нас є достатньо аналітичних інструментів для малювання графіків найрізноманітніших алгебраїчних і трансцендентних функцій. Перш ніж показати, як графікувати конкретні функції, давайте розглянемо загальну стратегію, яку слід використовувати при графіку будь-якої функції.

Стратегія вирішення проблем: креслення графіка функції

З огляду на функцію$f$, скористайтеся наступними кроками, щоб намалювати графік$f$:

1. Визначте область функції.
2. Знайдіть$x$ - і$y$ -перехоплює.
3. $\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)$Оцінити$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)$ і визначити кінцеву поведінку. Якщо будь-яка з цих меж є кінцевим числом$L$, то$y=L$ це горизонтальна асимптота. Якщо будь-яка з цих меж є$∞$ або$−∞$, визначте, чи$f$ має косу асимптоту. Якщо$f$ раціональна функція така$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$, що, де ступінь чисельника більше ступеня знаменника, то$f$ може бути записана як $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=g(x)+\frac{r(x)}{q(x),} \nonumber$$ де ступінь менше ступеня$q(x)$.$r(x)$ Значення$f(x)$ наближаються до значень$g(x)$ як$x→±∞$. Якщо$g(x)$ є лінійною функцією, вона відома як коса асимптота.
4. Визначте$f$, чи має вертикальні асимптоти.
5. Обчисліть$f′.$ Знайти всі критичні точки і визначити інтервали$f$, де збільшується, а де$f$ зменшується. Визначте, чи$f$ має якась локальна крайність.
6. Обчисліть.$f''.$ Визначте проміжки, де$f$ увігнутий вгору,$f$ а де увігнутий вниз. Використовуйте цю інформацію, щоб визначити, чи$f$ є якісь точки перегину. Друга похідна також може бути використана як альтернативний засіб для визначення або перевірки того, що$f$ має локальний екстремум в критичній точці.

Тепер давайте використаємо цю стратегію для графіка декількох різних функцій. Почнемо з побудови графіка поліноміальної функції.

Приклад$\PageIndex{8}$: Sketching a Graph of a Polynomial

Намалюйте графік$f(x)=(x−1)^2(x+2).$

Рішення

Крок 1: Оскільки$f$ це многочлен, домен - це набір всіх дійсних чисел.

Крок 2: Коли$x=0,\; f(x)=2.$ Тому$y$ -перехоплення є$(0,2)$. Щоб знайти$x$ -перехоплення, нам потрібно вирішити рівняння$(x−1)^2(x+2)=0$, яке дає нам$x$ -перехоплення$(1,0)$ і$(−2,0)$

Крок 3: Нам потрібно оцінити кінцеву поведінку$f.$ As$x→∞, \;(x−1)^2→∞$ і$(x+2)→∞$. Тому,$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=∞$.

Як$x→−∞, \;(x−1)^2→∞$ і$(x+2)→−∞$. Тому,$\displaystyle \lim_{x→-∞}f(x)=−∞$.

Щоб отримати ще більше інформації про кінцеву поведінку$f$, ми можемо помножити фактори$f$. Роблячи це, ми бачимо, що

$$f(x)=(x−1)^2(x+2)=x^3−3x+2. \nonumber$$

Оскільки провідним терміном$f$ є$x^3$, ми робимо висновок, що$f$ поводиться$y=x^3$ як$x→±∞.$

Крок 4: Оскільки$f$ є поліноміальною функцією, вона не має вертикальних асимптотів.

Крок 5: Перша похідна від$f$

$$f′(x)=3x^2−3. \nonumber$$

Тому$f$ має дві критичні точки:$x=1,−1.$$(−∞,∞)$ розділити інтервал на три менших інтервалу:$(−∞,−1), \;(−1,1)$, і$(1,∞)$. Потім вибирайте контрольні точки$x=−2, x=0$, а$x=2$ з цих інтервалів і оцініть знак$f′(x)$ на кожній з цих контрольних точок, як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестовий пункт	Знак похідної$f'(x)=3x^2−3=3(x−1)(x+1)$	Висновок
$(−∞,−1)$	$x=−2$	\ (f' (x) =3x^2−3=3 (x−1) (x+1)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$(+)(−)(−)=+$	$f$збільшується
$(−1,1)$	$x=0$	\ (f' (x) =3x^2−3=3 (x−1) (x+1)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$(+)(−)(+)=−$	$f$зменшується
$(1,∞)$	$x=2$	\ (f' (x) =3x^2−3=3 (x−1) (x+1)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$(+)(+)(+)=+$	$f$збільшується

З таблиці ми бачимо, що$f$ має локальний максимум at$x=−1$ і локальний мінімум на$x=1$. Оцінюючи$f(x)$ в цих двох точках, ми виявляємо, що локальне максимальне значення є,$f(−1)=4$ а локальне мінімальне значення є$f(1)=0.$

Крок 6: Друга$f$ похідна від

$$f''(x)=6x. \nonumber$$

Друга похідна дорівнює нулю в$x=0.$ Тому, щоб визначити увігнутість$f$,$(−∞,∞)$ розділити інтервал на менші інтервали$(−∞,0)$ і$(0,∞)$, і вибрати контрольні точки$x=−1$ і$x=1$ визначити увігнутість$f$ на кожному з цих менших інтервалів як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестова точка	Знак$f''(x)=6x$	Висновок
$(−∞,0)$	$x=−1$	\ (f "(x) = 6x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$−$	$f$увігнутий вниз.
$(0,∞)$	$x=1$	\ (f "(x) = 6x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+$	$f$увігнута вгору.

Відзначимо, що інформація в попередній таблиці підтверджує факт, виявлений в кроці$5$, що f має локальний максимум at$x=−1$ і локальний мінімум at$x=1$. Крім того, інформація, знайдена в кроці,$5$ а саме,$f$ має локальний максимум в$x=−1$ і локальний мінімум в$x=1$, і$f′(x)=0$ в цих точках - в поєднанні з тим, що знак$f''$ змін тільки на$x=0$ підтверджує результати, знайдені в кроці$6$ на увігнутість$f$.

Поєднуючи цю інформацію, ми приходимо до графіку,$f(x)=(x−1)^2(x+2)$ показаного на наступному графіку.

Вправа$\PageIndex{8}$

Намалюйте графік$f(x)=(x−1)^3(x+2).$

Підказка

$f$є многочленом четвертого ступеня.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{9}$: Sketching a Rational Function

Намалюйте графік$f(x)=\dfrac{x^2}{1−x^2}$.

Рішення

Крок 1: Функція$f$ визначається до тих пір, поки знаменник не дорівнює нулю. Таким чином, домен являє собою набір всіх дійсних чисел,$x$ крім$x=±1.$

Крок 2: Знайдіть перехоплення. Якщо$x=0,$ тоді$f(x)=0$, так$0$ це перехоплення. Якщо$y=0$, то$\dfrac{x^2}{1−x^2}=0,$ що має на увазі$x=0$. Тому$(0,0)$ є єдиним перехопленням.

Крок 3: Оцініть межі на нескінченності. Оскільки$f$ є раціональною функцією, ділимо чисельник і знаменник на найвищу ступінь в знаменнику:$x^2$ .Отримуємо

$\displaystyle \lim_{x→±∞}\frac{x^2}{1−x^2}=\lim_{x→±∞}\frac{1}{\frac{1}{x^2}−1}=−1.$

Тому$f$ має горизонтальну асимптоту$y=−1$ як$x→∞$ і$x→−∞.$

Крок 4: Щоб визначити, чи$f$ має будь-які вертикальні асимптоти, спочатку перевірте, чи є у знаменника будь-які нулі. Знаходимо знаменник дорівнює нулю, коли$x=±1$. Щоб визначити, чи є лінії$x=1$ або$x=−1$ є вертикальними асимптотами$f$, оцінюють$\displaystyle \lim_{x→1}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)$. Дивлячись на кожну односторонню межу, як$x→1,$ ми бачимо, що

$\displaystyle \lim_{x→1^+}\frac{x^2}{1−x^2}=−∞$і$\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{x^2}{1−x^2}=∞.$

Крім того, дивлячись на кожну односторонню межу, коли ми$x→−1,$ виявляємо, що

$\displaystyle \lim_{x→−1^+}\frac{x^2}{1−x^2}=∞$і$\displaystyle \lim_{x→−1^−}\frac{x^2}{1−x^2}=−∞.$

Крок 5: Обчисліть першу похідну:

$f′(x)=\dfrac{(1−x^2)(2x)−x^2(−2x)}{\Big(1−x^2\Big)^2}=\dfrac{2x}{\Big(1−x^2\Big)^2}$.

Критичні точки виникають у точках$x$, де$f′(x)=0$ або$f′(x)$ не визначено. Ми бачимо, що$f′(x)=0$ коли$x=0.$ похідна не$f′$ є невизначеною в будь-якій точці в області$f$. Однак не$x=±1$ знаходяться в області$f$. Тому, щоб визначити, де$f$ збільшується, а де$f$ зменшується, розділіть інтервал$(−∞,∞)$ на чотири менші інтервали:$(−∞,−1), (−1,0), (0,1),$ і$(1,∞)$, і вибрати контрольну точку в кожному інтервалі, щоб визначити знак$f′(x)$ в кожному з цих інтервалів. Значення$x=−2,\; x=−\frac{1}{2}, \;x=\frac{1}{2}$, і$x=2$ є хорошим вибором для тестових точок, як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестовий пункт	Знак$f′(x)=\frac{2x}{(1−x^2)^2}$	Висновок
$(−∞,−1)$	$x=−2$	\ (f′ (x) =\ розрив {2x} {(1−x^2) ^2}\)» стиль = "вирівнювання тексту: центр; ">$−/+=−$	$f$зменшується.
$(−1,0)$	$x=−1/2$	\ (f′ (x) =\ розрив {2x} {(1−x^2) ^2}\)» стиль = "вирівнювання тексту: центр; ">$−/+=−$	$f$зменшується.
$(0,1)$	$x=1/2$	\ (f′ (x) =\ розрив {2x} {(1−x^2) ^2}\)» стиль = "вирівнювання тексту: центр; ">$+/+=+$	$f$збільшується.
$(1,∞)$	$x=2$	\ (f′ (x) =\ розрив {2x} {(1−x^2) ^2}\)» стиль = "вирівнювання тексту: центр; ">$+/+=+$	$f$збільшується.

З цього аналізу ми робимо висновок, що$f$ має локальний мінімум,$x=0$ але не локальний максимум.

Крок 6: Обчисліть другу похідну:

\ [\ почати {вирівнювати*} f "(x) &=\ розрив {(1−x^2) ^2 (2) −2x (2 (1−x^2) (−2x))} {(1−x^2) ^4}\\ [4pt]
&=\ розрив {(1−x^2) [2 (1−x^2) +8x^2]} {\ Великий (1−x^2\ Великий) ^4}\\ [4pt]
&=\ розрив {2 (1−x^2) +8x^2} {\ Великий (1−х^2\ Великий) ^3}\\ [4pt]
&=\ розрив {6x^2+2} {\ Великий (1−х^2\ Великий) ^3}. \ end {вирівнювати*}\]

Щоб визначити інтервали, де$f$ увігнута вгору, а де$f$ увігнута вниз, нам спочатку потрібно знайти всі точки,$x$ де$f''(x)=0$ або$f''(x)$ є невизначеною. Так як чисельник$6x^2+2≠0$ для будь-якого ніколи не$x, f''(x)$ дорівнює нулю. Крім того, не$f''$ є невизначеною для будь-якого$x$ в області домену$f$. Однак, як обговорювалося раніше, не$x=±1$ знаходяться в області$f$. Тому, щоб визначити увігнутість$f$, ділимо інтервал на$(−∞,∞)$ три менші інтервали$(−∞,−1), \, (−1,1)$, причому$(1,∞)$, вибираємо контрольну точку в кожному з цих інтервалів, щоб оцінити знак$f''(x)$. Значення$x=−2, \;x=0$ і можливі$x=2$ контрольні точки, як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестова точка	Знак$f''(x)=\frac{6x^2+2}{(1−x^2)^3}$	Висновок
$(−∞,−1)$	$x=−2$	\ (f "(x) =\ frac {6x^2+2} {(1−x^2) ^3}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+/−=−$	$f$увігнутий вниз.
$(−1,1)$	$x=0$	\ (f "(x) =\ frac {6x^2+2} {(1−x^2) ^3}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+/+=+$	$f$увігнута вгору
$(1,∞)$	$x=2$	\ (f "(x) =\ frac {6x^2+2} {(1−x^2) ^3}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+/−=−$	$f$увігнутий вниз.

Об'єднавши всю цю інформацію, ми приходимо до графіку,$f$ показаного нижче. Зверніть увагу, що, хоча$f$ змінюється увігнутість при$x=−1$ і$x=1$, немає точок перегину ні в одному з цих місць, оскільки не$f$ є безперервним в$x=−1$ або$x=1.$

Вправа$\PageIndex{9}$

Намалюйте графік$f(x)=\dfrac{3x+5}{8+4x}.$

Підказка

Лінія$y=L$ - це горизонтальна асимптота,$f$ якщо межа як$x→∞$ або межа$x→−∞$ станом на$f(x)$ є$L$. Лінія$x=a$ - це вертикальна асимптота, якщо хоча б одна з односторонніх меж$f$ as$x→a$ є$∞$ або$−∞.$

Відповідь

Приклад$\PageIndex{10}$: Sketching a Rational Function with an Oblique Asymptote

Намалюйте графік$f(x)=\dfrac{x^2}{x−1}$

Рішення

Крок 1: Домен$f$ - це набір всіх дійсних чисел,$x$ крім$x=1.$

Крок 2: Знайдіть перехоплення. Ми бачимо, що коли$x=0, \,f(x)=0,$ так$(0,0)$ є єдиним перехопленням.

Крок 3: Оцініть межі на нескінченності. Так як ступінь чисельника на один більше ступеня знаменника,$f$ повинна мати косу асимптоту. Щоб знайти косу асимптоту, використовуйте довге ділення многочленів для запису

$f(x)=\dfrac{x^2}{x−1}=x+1+\dfrac{1}{x−1}$.

Оскільки$\dfrac{1}{x−1}→0$ як$x→±∞, f(x)$ наближається до лінії$y=x+1$ як$x→±∞$. Лінія$y=x+1$ - коса асимптота для$f$.

Крок 4: Щоб перевірити наявність вертикальних асимптотів, подивіться, де знаменник дорівнює нулю. Тут знаменник дорівнює нулю на$x=1.$ Дивлячись на обидві односторонні межі, як$x→1,$ ми знаходимо

$\displaystyle \lim_{x→1^+}\frac{x^2}{x−1}=∞$і$\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{x^2}{x−1}=−∞.$

Отже,$x=1$ це вертикальна асимптота, і ми визначили поведінку$f$ як$x$ підходів$1$ праворуч, так і зліва.

Крок 5: Обчисліть першу похідну:

$f′(x)=\dfrac{(x−1)(2x)−x^2(1)}{(x−1)^2}=\dfrac{x^2−2x}{(x−1)^2}.$

У нас є$f′(x)=0$ коли$x^2−2x=x(x−2)=0$. Тому$x=0$ і$x=2$ є критичними моментами. Оскільки$f$ не визначено в$x=1$, нам потрібно$(−∞,∞)$ розділити інтервал на менші інтервали$(−∞,0), (0,1), (1,2),$ і$(2,∞)$, і вибрати контрольну точку з кожного інтервалу, щоб оцінити знак$f′(x)$ в кожному з цих менших інтервалів. Наприклад, нехай$x=−1, x=\frac{1}{2}, x=\frac{3}{2}$, і$x=3$ бути контрольними точками, як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестова точка	Знак$f'(x)=\dfrac{x^2−2x}{(x−1)^2}$	Висновок
$(−∞,0)$	$x=−1$	\ (f' (x) =\ dfrac {x^2−2x} {(x−1) ^2}\)» перевірка даних = «верхня"> (−) (−) /+=+	$f$збільшується.
$(0,1)$	$x=1/2$	\ (f' (x) =\ dfrac {x^2−2x} {(x−1) ^2}\)» перевірка даних ="верх"> (+) (−) /+=−	$f$зменшується.
$(1,2)$	$x=3/2$	\ (f' (x) =\ dfrac {x^2−2x} {(x−1) ^2}\)» перевірка даних ="верх"> (+) (−) /+=−	$f$зменшується.
$(2,∞)$	$x=3$	\ (f' (x) =\ dfrac {x^2−2x} {(x−1) ^2}\)» перевірка даних = «верхня"> (+) (+) /+=+	$f$збільшується.

З цієї таблиці ми бачимо, що$f$ має локальний максимум at$x=0$ і локальний мінімум на$x=2$. Значення$f$ при локальному максимумі є,$f(0)=0$ а значення$f$ при локальному мінімумі дорівнює$f(2)=4$. Тому$(0,0)$ і$(2,4)$ є важливими пунктами на графіку.

Крок 6. Обчисліть другу похідну:

\ [\ begin {align*} f "(x) &=\ розрив {(x−1) ^2 (2x−2) −2 (x−1) (x^2−2x)} {(x−1) ^4}\\ [4pt]
&=\ frac {2 (x−1) [(x−1) ^2− (x^2−2x)] {(x−1) ^4}\\ [4pt]
&=\ розрив {2 [x^2-2x+1−x^2x]} {(x−1) ^3}\\ [4pt]
&=\ розрив {2} {(x−1) ^3}. \ end {вирівнювати*}\]

Ми бачимо,$f''(x)$ що ніколи не нуль або невизначений для$x$ в області$f$. Оскільки$f$ не визначено в$x=1$, для перевірки$(−∞,∞)$ увігнутості ми просто ділимо інтервал на два менші інтервали$(−∞,1)$ і$(1,∞)$, і вибираємо контрольну точку з кожного інтервалу, щоб оцінити знак$f''(x)$ в кожному з цих інтервалів. Значення$x=0$ і$x=2$ можливі контрольні точки, як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестова точка	Знак$f''(x)=\dfrac{2}{(x−1)^3}$	Висновок
$(−∞,1)$	$x=0$	\ (f "(x) =\ dfrac {2} {(x−1) ^3}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+/−=−$	$f$увігнутий вниз.
$(1,∞)$	$x=2$	\ (f "(x) =\ dfrac {2} {(x−1) ^3}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+/+=+$	$f$увігнута вгору

З зібраної інформації ми приходимо до наступного графіка для$f.$

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайти косу асимптоту для$f(x)=\dfrac{3x^3−2x+1}{2x^2−4}$.

Підказка

Використовуйте довге ділення многочленів.

Відповідь

$y=\frac{3}{2}x$

Приклад$\PageIndex{11}$: Sketching the Graph of a Function with a Cusp

Намалюйте графік$f(x)=(x−1)^{2/3}$

Рішення

Крок 1: Оскільки функція cube-root визначена для всіх дійсних чисел$x$ і$(x−1)^{2/3}=(\sqrt[3]{x−1})^2$, область всіх$f$ дійсних чисел.

Крок 2: Щоб знайти$y$ -перехоплення, оцініть$f(0)$. Так як$f(0)=1,$$y$ -перехоплення є$(0,1)$. Щоб знайти$x$ -перехоплення, вирішуйте$(x−1)^{2/3}=0$. Рішення цього рівняння є$x=1$, тому$x$ -перехоплення$(1,0).$

Крок 3: Оскільки$\displaystyle \lim_{x→±∞}(x−1)^{2/3}=∞,$ функція продовжує рости без прив'язки як$x→∞$ і$x→−∞.$

Крок 4: Функція не має вертикальних асимптотів.

Крок 5: Щоб визначити, де$f$ збільшується або зменшується,$f′.$ обчислюємо Знаходимо

$$f′(x)=\frac{2}{3}(x−1)^{−1/3}=\frac{2}{3(x−1)^{1/3}} \nonumber$$

Ця функція ніде не дорівнює нулю, але вона не визначена, коли$x=1.$ Тому єдиною критичною точкою є$x=1.$$(−∞,∞)$ Розділити інтервал на менші інтервали$(−∞,1)$ і$(1,∞)$, і вибрати контрольні точки в кожному з цих інтервалів, щоб визначити знак$f′(x)$ в кожному з них менші інтервали. $x=0$$x=2$Дозволяти і бути контрольними точками, як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестова точка	Знак$f′(x)=\frac{2}{3(x−1)^{1/3}}$	Висновок
$(−∞,1)$	$x=0$	\ (f′ (x) =\ розрив {2} {3 (x−1) ^ {1/3}}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+/−=−$	$f$зменшується
$(1,∞)$	$x=2$	\ (f′ (x) =\ розрив {2} {3 (x−1) ^ {1/3}}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$+/+=+$	$f$збільшується

Робимо висновок, що$f$ має локальний мінімум при$x=1$. Оцінюючи$f$ при$x=1$, ми виявимо, що значення$f$ при локальному мінімумі дорівнює нулю. Зверніть увагу,$f′(1)$ що не визначено, тому, щоб визначити поведінку функції в цій критичній точці, нам потрібно вивчити$\displaystyle \lim_{x→1}f′(x).$ Дивлячись на односторонні межі, ми маємо

$$\lim_{x→1^+}\frac{2}{3(x−1)^{1/3}}=∞\text{ and } \lim_{x→1^−}\frac{2}{3(x−1)^{1/3}}=−∞.\nonumber$$

Тому$f$ має поглиблення при$x=1.$

Крок 6: Для визначення увігнутості обчислюємо другу похідну$f:$

$$f''(x)=−\dfrac{2}{9}(x−1)^{−4/3}=\dfrac{−2}{9(x−1)^{4/3}}. \nonumber$$

Ми знаходимо,$f''(x)$ що визначено для всіх$x$, але не визначено, коли$x=1$. Тому розділіть інтервал$(−∞,∞)$ на менші інтервали$(−∞,1)$ і$(1,∞)$, і вибирайте контрольні точки для оцінки знака$f''(x)$ в кожному з цих інтервалів. Як ми робили раніше, нехай$x=0$ і$x=2$ бути тестовими точками, як показано в наступній таблиці.

Інтервал	Тестова точка	Знак$f''(x)=\dfrac{−2}{9(x−1)^{4/3}}$	Висновок
$(−∞,1)$	$x=0$	\ (f "(x) =\ dfrac {−2} {9 (x−1) ^ {4/3}}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$−/+=−$	$f$увігнутий вниз
$(1,∞)$	$x=2$	\ (f "(x) =\ dfrac {−2} {9 (x−1) ^ {4/3}}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">$−/+=−$	$f$увігнутий вниз

З цієї таблиці робимо висновок,$f$ що увігнута вниз всюди. Об'єднавши всю цю інформацію, ми приходимо до наступного графіку для$f$.

Вправа$\PageIndex{11}$

Розглянемо функцію$f(x)=5−x^{2/3}$. Визначте точку на графіку, де знаходиться перехрестя. Визначте кінцеву поведінку$f$.

Підказка

Функція$f$ має куп у точці,$a$ якщо$f(a)$$f'(a)$ існує, не визначена, одна з односторонніх обмежень$x→a$ станом на$f'(x)$ є$+∞$, а інша одностороння межа$−∞.$

Відповідь

Функція$f$ має cusp at$(0,5)$, так як$\displaystyle \lim_{x→0^−}f′(x)=∞$ і$\displaystyle \lim_{x→0^+}f′(x)=−∞$. Для кінцевої поведінки,$\displaystyle \lim_{x→±∞}f(x)=−∞.$

Ключові концепції

• Межа$f(x)$ є$L$ як$x→∞$ (або як$x→−∞)$ ніби значення$f(x)$ стають довільно близькими до того$L$, як$x$ стає досить великим.
• Межа$f(x)$ є$∞$ як$x→∞$ би$f(x)$ стає довільно великим, оскільки$x$ стає досить великим. Межа$f(x)$ є$−∞$$x→∞$ ніби$f(x)<0$ і$|f(x)|$ стає довільно великим, оскільки$x$ стає досить великим. Ми можемо визначити межу$f(x)$ як$x$ підходів$−∞$ аналогічно.
• Для поліноміальної функції$p(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_1x+a_0,$ де$a_n≠0$, кінцева поведінка визначається провідним терміном$a_nx^n$. Якщо$n≠0, p(x)$ наближається$∞$ або$−∞$ на кожному кінці.
• Для$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x),}$ раціональної функції кінцева поведінка визначається залежністю між ступенем$p$ і ступенем$q$. Якщо ступінь менше ступеня$p$$q$, то лінія$y=0$ є горизонтальною асимптотою для$f$. Якщо ступінь$p$ дорівнює градусу$q$, то лінія$y=\dfrac{a_n}{b_n}$ являє собою горизонтальну асимптоту, де$a_n$ і$b_n$ є провідними коефіцієнтами$p$ і$q$, відповідно. Якщо ступінь$p$ більше ступеня$q$, то$f$ підходить$∞$ або$−∞$ на кожному кінці.

Глосарій

кінець поведінка

поведінка функції як$x→∞$ і$x→−∞$

горизонтальна асимптота

якщо$\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)=L$ або$\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=L$, то$y=L$ є горизонтальним асимптотом$f$

нескінченна межа на нескін

функція, яка стає довільно великий, як$x$ стає великим

межа на нескінченність

функція, яка наближається до граничного значення$L$, як$x$ стає великим

коса асимптота

лінія,$y=mx+b$ якщо$f(x)$ наближається до неї як$x→∞$ або$x→−∞$