5.10: Геодезичні

Геодезичний визначається як найкоротший шлях між двома фіксованими точками для руху, який обмежений лежати на поверхні. Варіаційне числення забезпечує потужний підхід для визначення рівнянь руху, обмежених слідувати геодезичним.

Використання варіаційного числення ілюструється розглядом геодезичного обмеженого слідувати поверхні сфери радіуса$R$. Як обговорюється в додатку$19.3.2C$, елемент довжини шляху на поверхні сфери задається в сферичних координатах як$ds=R \sqrt{d\theta ^{2}+\left( \sin \theta d\phi \right) ^{2}}$. Тому відстань$s$ між двома точками$1$ і$2$ становить

$$s=R\int_{1}^{2}\left[ \sqrt{\left( \frac{d\theta }{d\phi }\right) ^{2}+\sin ^{2}\theta }\right] d\phi$$

Функція$f$ для забезпечення того, щоб$s$ бути екстремумом значення використовує

$$f=\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }$$

де$\theta ^{\prime }=\frac{d\theta }{d\phi }.$ Це випадок, коли$\frac{\partial f}{\partial \phi }=0$ і, таким чином, інтегральна форма рівняння Ейлера може бути використана, що призводить до результату, що

$$\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }-\theta ^{\prime }\frac{\partial }{ \partial \theta ^{\prime }}\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }=\text{ constant}=a$$

Це дає те, що

$$\sin ^{2}\theta =a\sqrt{\theta ^{\prime 2}+\sin ^{2}\theta }$$

Це можна переписати як

$$\frac{d\phi }{d\theta }=\frac{1}{\theta ^{\prime }}=\frac{a\csc ^{2}\theta }{ \sqrt{1-a^{2}\csc ^{2}\theta }}$$

Рішення для$\phi$ дарує

$$\phi =\sin ^{-1}\left( \frac{\cot \theta }{\beta }\right) +\alpha$$

де

$$\beta \equiv \frac{1-a^{2}}{a^{2}}$$

Тобто

$$\cot \theta =\beta \sin \left( \phi -\alpha \right)$$

Розширення синуса і котангенса дає

$$\left( \beta \cos \alpha \right) R\sin \theta \sin \phi -\left( \beta \sin \alpha \right) R\sin \theta \cos \phi =R\cos \theta$$

Оскільки дужки є константами, це можна записати як

$$A\left( R\sin \theta \sin \phi \right) -B\left( R\sin \theta \cos \phi \right) =\left( R\cos \theta \right)$$

Терміни в дужках - це лише вирази для прямокутних координат,$x,y,z.$ тобто

$$Ay-Bx=z$$

Це рівняння площини, що проходить через центр сфери. Таким чином, геодезичний на сфері - це шлях, де площина через центр перетинає сферу, а також початкові та кінцеві місця. Цю геодезичну називають великим колом. Рівняння Ейлера дає як максимальну, так і мінімальну довжину екстремального шляху для руху по цьому великому колу.

Глава$17$ обговорює геодезичні в чотиривимірних просторово-часових координатах, які лежать в основі загальної теорії відносності. Як наслідок, використання числення варіацій для визначення рівнянь руху для геодезики відіграє ключову роль в Загальній теорії відносності.