16: Векторне обчислення
- Page ID
- 62254
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цьому розділі ми навчимося моделювати нові види інтегралів над такими полями, як магнітні поля, гравітаційні поля або поля швидкостей. Ми також дізнаємося, як розрахувати роботу, виконану над зарядженою частинкою, що рухається через магнітне поле, роботу, виконану над частинкою з масою, що рухається через гравітаційне поле, і обсяг води в одиницю часу, що протікає через сітку, що впала в річку. Всі ці програми засновані на концепції векторного поля.
- 16.0: Прелюдія до векторного числення
- Векторні поля мають багато застосувань, оскільки вони можуть бути використані для моделювання реальних полів, таких як електромагнітні або гравітаційні поля. Глибоке розуміння фізики або техніки неможливо без розуміння векторних полів. Крім того, векторні поля мають математичні властивості, які гідні вивчення самостійно. Зокрема, векторні поля можуть бути використані для розробки декількох вищих версій фундаментальної теореми числення.
- 16.1: Векторні поля
- Векторні поля є важливим інструментом для опису багатьох фізичних понять, таких як гравітація та електромагнетизм, які впливають на поведінку об'єктів над великою областю площини або простору. Вони також корисні для боротьби з масштабною поведінкою, такою як атмосферні бурі або глибоководні океанічні течії. У цьому розділі ми розглядаємо основні визначення та графіки векторних полів, щоб ми могли їх більш детально вивчити в решті цієї глави.
- 16.2: Лінійні інтеграли
- Лінійні інтеграли мають безліч застосувань в техніці та фізиці. Вони також дозволяють зробити кілька корисних узагальнень фундаментальної теореми числення. Причому, вони тісно пов'язані з властивостями векторних полів, як ми побачимо.
- 16.3: Консервативні векторні поля
- У цьому розділі ми продовжуємо вивчення консервативних векторних полів. Досліджується фундаментальна теорема для лінійних інтегралів, яка є корисним узагальненням фундаментальної теореми числення до лінійних інтегралів консервативних векторних полів. Ми також виявляємо, як перевірити, чи є дане векторне поле консервативним, і визначити, як побудувати потенційну функцію для векторного поля, відомого як консервативне.
- 16.4: Теорема Гріна
- Теорема Гріна є продовженням фундаментальної теореми числення до двох вимірів. Він має дві форми: форма циркуляції і форма потоку, обидві з яких вимагають області\(D\) в подвійному інтегралі, щоб бути просто з'єднані. Однак ми поширимо теорему Гріна на регіони, які не просто пов'язані. Теорема Гріна пов'язує лінійний інтеграл навколо просто замкнутої площини кривої\(C\) та подвійний інтеграл над областю, обв'язаною\(C\).
- 16.5: Розбіжність і завиток
- Дивергенція і завивка - дві важливі операції над векторним полем. Вони важливі для області числення з кількох причин, включаючи використання завитка та розбіжності для розробки деяких вищих версій фундаментальної теореми числення. Крім того, завиток і розбіжність з'являються в математичних описах механіки рідини, електромагнетизму та теорії пружності, які є важливими поняттями у фізиці та техніці.
- 16.6: Поверхневі інтеграли
- Якщо ми хочемо інтегрувати над поверхнею (двовимірним об'єктом), а не шляхом (одновимірним об'єктом) у просторі, то нам потрібен новий вид інтеграла. Ми можемо розширити концепцію лінійного інтеграла до поверхневого інтеграла, щоб дозволити нам виконати цю інтеграцію. Поверхневі інтеграли важливі з тих же причин, що і лінійні інтеграли важливі. Вони мають багато застосувань до фізики та техніки, і вони дозволяють нам розширити Фундаментальну теорему обчислення до більш високих вимірів.
- 16.7: Теорема Стокса
- У цьому розділі ми вивчаємо теорему Стокса, більш вимірне узагальнення теореми Гріна. Ця теорема, як фундаментальна теорема для лінійних інтегралів та теорема Гріна, є узагальненням фундаментальної теореми числення до вищих вимірів. Теорема Стокса пов'язує векторний поверхневий інтеграл над поверхнею S у просторі з прямим інтегралом навколо межі S.
- 16.8: Теорема про розбіжність
- Розглянуто декілька версій фундаментальної теореми числення у вищих вимірах, які пов'язують інтеграл навколо орієнтованої межі області з «похідною» цієї сутності на орієнтованій області. У цьому розділі ми викладемо теорему розбіжності, яка є остаточною теоремою цього типу, яку ми будемо вивчати.
Мініатюра: Поверхня\(Σ\) із замкнутою межею\(∂Σ\). \(\vec{F}\)може бути\(\vec{E}\) або\(\vec{B}\) поля. \(n\)є нормальним агрегатом. (Громадське надбання; Maschen).