16.5: Розбіжність і завиток
- Page ID
- 62287
- Визначте розбіжність за формулою для заданого векторного поля.
- Визначте локон за формулою для заданого векторного поля.
- Використовуйте властивості завивки і розбіжності, щоб визначити, чи є векторне поле консервативним.
У цьому розділі ми розглянемо дві важливі операції над векторним полем: дивергенція та завивка. Вони важливі для області числення з кількох причин, включаючи використання завитка та розбіжності для розробки деяких вищих версій фундаментальної теореми числення. Крім того, завиток і розбіжність з'являються в математичних описах механіки рідини, електромагнетизму та теорії пружності, які є важливими поняттями у фізиці та техніці. Ми також можемо застосувати завивку та розбіжність до інших понять, які ми вже досліджували. Наприклад, при певних умовах векторне поле консервативне тоді і тільки в тому випадку, якщо його завиток дорівнює нулю.
Окрім визначення завитків та розбіжностей, ми розглядаємо деякі фізичні інтерпретації їх та показуємо їх зв'язок із консервативними та безджерельними векторними полями.
Дивергенція
Дивергенція - це операція над векторним полем, яка повідомляє нам, як поле поводиться до точки або від неї. Локально розбіжність векторного поля\(\vecs{F}\) в певній точці\(\mathbb{R}^2\) або\(\mathbb{R}^3\) в конкретній точці\(P\) є мірою «відтоку» векторного поля при\(P\). Якщо\(\vecs{F}\) являє собою швидкість рідини, то розбіжність\(\vecs{F}\) at\(P\) вимірює чисту швидкість зміни по відношенню до часу кількості рідини, що стікає з\(P\) (схильність рідини до витікання «з» Р). Зокрема, якщо кількість рідини, що надходить, збігається\(P\) з кількістю, що витікає назовні, то розбіжність при\(P\) дорівнює нулю.
Якщо\(\vecs{F} = \langle P,Q,R \rangle\) є векторним полем в\(\mathbb{R}^3\)\(P_x, \, Q_y, \) і\(R_z\) все існує, то розбіжність\(\vecs{F}\) визначається
\[\begin{align} \text{div}\, F &= P_x + Q_y + R_z \\[4pt] &= \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}. \end{align} \nonumber \]
Зверніть увагу, що розбіжність векторного поля - це не векторне поле, а скалярна функція. З точки зору оператора градієнта
\[\vecs \nabla = \langle \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z} \rangle \nonumber \]
дивергенція може бути записана символічно як точковий добуток
\[\text{div}\, \vecs F = \vecs \nabla \cdot \vecs{F}. \nonumber \]
Зауважте, що це просто корисне позначення, оскільки точковий добуток вектора операторів та вектора функцій не визначено осмислено, враховуючи наше поточне визначення точкового добутку.
Якщо\(\vecs{F} = \langle P,Q \rangle\) є векторним полем в\(\mathbb{R}^2\),\(P_x\) і\(Q_y\) обидва існують, то розбіжність\(\vecs{F}\) визначається аналогічно як
\[\begin{align*} \text{div}\, \vecs{F} &= P_x + Q_y \\[4pt] &= \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} \\[4pt] &= \vecs \nabla \cdot \vecs{F}. \end{align*}\]
Щоб проілюструвати цей момент, розглянемо два векторних поля на малюнку\(\PageIndex{1}\). У будь-якій конкретній точці сума, що протікає, така ж, як і сума, що витікає, тому в кожній точці «витікання» поля дорівнює нулю. Тому ми очікуємо, що розбіжність обох полів буде нульовою, і це дійсно так, як
\[\text{div}(\langle 1,2 \rangle ) = \dfrac{\partial}{\partial x} (1) + \dfrac{\partial}{\partial y}(2) = 0 \nonumber \]
і
\[\text{div}(\langle -y,x \rangle ) = \dfrac{\partial}{\partial x} (-y) + \dfrac{\partial}{\partial y} (x) = 0. \nonumber \]
На відміну від цього, розглянемо радіальне векторне поле\(\vecs{R} (x,y) = \langle -x, -y \rangle\) на малюнку\(\PageIndex{2}\). У будь-якій точці тече більше рідини, ніж витікає назовні, і тому «відходження» поля негативна. Ми очікуємо, що розбіжність цього поля буде негативною, і це дійсно так, як
\[\text{div}(\vecs{R}) = \dfrac{\partial}{\partial x} (-x) + \dfrac{\partial}{\partial y} (-y) = -2. \nonumber \]
Щоб отримати глобальне відчуття того, що розбіжність говорить нам, припустимо, що векторне поле в\(\mathbb{R}^2\) являє собою швидкість рідини. Уявіть собі, як взяти пружне коло (коло з формою, яку можна змінити векторним полем) і скинути його в рідину. Якщо коло зберігає свою точну площу в міру протікання через рідину, то розбіжність дорівнює нулю. Це сталося б для обох векторних полів на малюнку\(\PageIndex{1}\). З іншого боку, якщо форма кола спотворюється так, що його площа зменшується або розширюється, то розбіжність не дорівнює нулю. Уявіть собі падіння такого пружного кола в радіальне векторне поле на малюнку\(\PageIndex{2}\) так, щоб центр кола приземлився в точці\((3, 3)\). Коло текло б до початку, і як це робилося, передня частина кола рухатиметься повільніше, ніж задня, внаслідок чого коло «подряпається» і втрачає площу. Ось так можна побачити негативну розбіжність.
Якщо\(\vecs{F}(x,y,z) = e^x \hat{i} + yz \hat{j} - yz^2 \hat{k}\), то знайдіть розбіжність\(\vecs{F}\) в\((0,2,-1)\).
Рішення
Розбіжність\(\vecs{F}\) є
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (e^x) + \dfrac{\partial}{\partial y}(yz) - \dfrac{\partial}{\partial z} (y z^2) = e^x + z - 2yz. \nonumber \]
Тому розбіжність при\((0,2,-1)\) є\(e^0 - 1 + 4 = 4\). Якщо\(\vecs{F}\) являє собою швидкість рідини, то більше рідини витікає, ніж протікає в точці\((0,2,-1)\).
Знайти\(\text{div}\, \vecs{F}\) для
\[\vecs{F}(x,y,z) = \langle xy, \, 5-z^2, \, x^2 + y^2 \rangle \nonumber. \nonumber \]
- Підказка
-
Дотримуйтесь приклад\(\PageIndex{1}\).
- Відповідь
-
\(\text{div}\, \vecs{F} = y \)
Ще одним додатком для розбіжності є виявлення того, чи поле є джерелом вільного. Нагадаємо, що поле без джерела - це векторне поле, яке має функцію потоку; еквівалентно, вільне від джерела поле - це поле з потоком, який дорівнює нулю вздовж будь-якої замкнутої кривої. Наступні дві теореми говорять про те, що за певних умов безджерельні векторні поля є саме векторними полями з нульовою розбіжністю.
Якщо\(\vecs{F} = \langle P,Q \rangle\) є безджерельним неперервним векторним полем з диференційованими компонентними функціями, то\(\text{div}\, \vecs{F} = 0\).
Так\(\vecs{F}\) як джерело вільний, є функція\(g(x,y)\) з\(g_y = P\) і\(-g_x = Q\). Тому\(\vecs{F} = \langle g_y, -g_x \rangle\) і\(\text{div}\, \vecs{F} = g_{yx} - g_{xy} = 0\) по теоремі Клеро.
\(\square\)
Конверс розбіжності векторного поля без джерела вірно для просто пов'язаних регіонів, але доказ є занадто технічним, щоб включити сюди. Таким чином, ми маємо наступну теорему, яка може перевірити, чи\(\mathbb{R}^2\) є векторне поле в джерелі вільним.
\(\vecs{F} = \langle P,Q \rangle \)Дозволяти безперервне векторне поле з диференційованими компонентними функціями з областю, яка просто пов'язана. Тоді,\(\text{div}\, \vecs{F} = 0\) якщо і тільки\(\vecs{F}\) якщо джерело вільний.
Чи вільне\(\vecs{F} (x,y) = \langle x^2 y, \, 5 - xy^2 \rangle\) джерело поля?
Рішення
Зверніть увагу на домен\(\vecs{F}\) є\(\mathbb{R}^2\), який просто підключений. Крім того,\(\vecs{F}\) є безперервним з диференційованими компонентними функціями. Тому ми можемо використовувати тест на розбіжність для векторних полів без джерел для аналізу\(\vecs{F}\). Розбіжність\(\vecs{F}\) є
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (x^2 y) + \dfrac{\partial}{\partial y} (5 - xy^2 ) = 2xy - 2xy = 0. \nonumber \]
Таким чином,\(\vecs{F}\) джерело вільний від тесту на дивергенцію для векторних полів без джерела.
\(\vecs{F} (x,y) = \langle -ay, bx \rangle\)Дозволяти обертальне поле де\(a\) і\(b\) є додатними константами. Чи є\(\vecs{F}\) джерело безкоштовним?
- Підказка
-
Обчисліть розбіжність.
- Відповідь
-
Так
Нагадаємо, що форма потоку теореми Гріна говорить про те, що
\[\oint_C \vecs F \cdot \vecs N \; ds = \iint_D P_x + Q_y \;dA, \nonumber \]
де\(C\) проста замкнута\(D\) крива і область, обведена\(C\). Оскільки\(P_x + Q_y = \text{div}\,\vecs F\) теорема Гріна іноді пишеться як
\[\oint_C \vecs F \cdot \vecs N\; ds = \iint_D \text{div}\, \vecs F \;dA. \nonumber \]
Тому теорему Гріна можна записати з точки зору розбіжності. Якщо розглядати дивергенцію як похідну роду, то теорема\(\vecs{F}\) Гріна говорить, що «похідна» від області може бути переведена в лінійний інтеграл\(\vecs{F}\) вздовж межі області. Це аналогічно фундаментальній теоремі числення, в якій похідна функції\(f\) на відрізку прямої\([a,b]\) може бути переведена в твердження про\(f\) на межі\([a,b]\). Використовуючи дивергенцію, ми можемо побачити, що теорема Гріна є вищим аналогом фундаментальної теореми числення.
Ми можемо використовувати все те, що ми дізналися, у застосуванні розбіжності. \(\vecs{v}\)Дозволяти векторне поле моделювання швидкості рідини. Оскільки розбіжність\(\vecs{v}\) в точці\(P\) вимірює «відтік» рідини в\(P\),\(\text{div}\, v(P) > 0\) означає, що більше рідини витікає з,\(P\) ніж протікає всередину. Аналогічно,\(\text{div}\, v(P) < 0\) має на увазі, що більше рідини тече в,\(P\) ніж витікає, і\(\text{div}\, \vecs{v}(P) = 0\) означає, що така ж кількість рідини протікає, як витікає.
Припустимо\(\vecs{v}(x,y) = \langle -xy,y \rangle, \, y > 0\) моделює потік рідини. Чи більше рідини тече в точку\((1,4)\), ніж витікає назовні?
Рішення
Щоб визначити, чи стікає більше рідини,\((1,4)\) ніж витікає назовні, обчислюємо розбіжність\(\vecs v\) при\((1,4)\):
\[div(\vecs{v}) = \dfrac{\partial}{\partial x} (-xy) + \dfrac{\partial}{\partial y} (y) = -y + 1. \nonumber \]
Щоб знайти розбіжність в\((1,4)\) підставте точку на розбіжність:\(-4 + 1 = -3\). Оскільки розбіжність\(\vecs v\) at\((1,4)\) негативна, більше рідини тече, ніж витікає назовні (рис.\(\PageIndex{4}\)).
Для векторного поля знайти всі точки\(\vecs{v}(x,y) = \langle -xy, y \rangle , \, y > 0\),\(P\) такі, що кількість рідини, що протікає в\(P\) дорівнює кількості рідини, що витікає з\(P\).
- Підказка
-
Знайдіть, де розбіжність дорівнює нулю.
- Відповідь
-
Всі точки на лінії\(y = 1\).
завиток
Друга операція над векторним полем, яку ми досліджуємо, - це завиток, який вимірює ступінь обертання поля навколо точки. Припустимо, що\(\vecs{F}\) представляє поле швидкості рідини. Потім завиток\(\vecs{F}\) точки\(P\) - це вектор, який вимірює тенденцію частинок поблизу\(P\) обертатися навколо осі, яка вказує у напрямку цього вектора. Величина вектора завитка при\(P\) вимірює, наскільки швидко частинки обертаються навколо цієї осі. Іншими словами, завиток у точці є мірою «спина» векторного поля в цій точці. Візуально уявіть собі розміщення веслового колеса в рідину на\(P\), з віссю веслового колеса вирівняною з вектором завитка (рис.\(\PageIndex{5}\)). Завиток вимірює тенденцію обертання веслового колеса.
Розглянемо векторні поля на малюнку\(\PageIndex{1}\). У частині (а) векторне поле є постійним і немає спина в будь-якій точці. Тому ми очікуємо, що завиток поля буде дорівнює нулю, і це дійсно так. Частина (b) показує обертальне поле, тому поле має спін. Зокрема, якщо ви поміщаєте веслове колесо в поле в будь-якій точці так, щоб вісь колеса була перпендикулярна площині, колесо обертається проти годинникової стрілки. Тому ми очікуємо, що завиток поля буде ненульовим, і це дійсно так (завиток є\(2\,\mathbf{\hat k}\)).
Щоб побачити, який локон вимірює глобально, уявіть, як скинути лист у рідину. Коли лист рухається разом з потоком рідини, завиток вимірює тенденцію листа до обертання. Якщо завиток дорівнює нулю, то лист не обертається, коли рухається через рідину.
Якщо\(\vecs{F} = \langle P,Q,R \rangle\) є векторним полем в\(\mathbb{R}^3\)\(P_x, \, Q_y\), і, і\(R_z\) все існує, то завивка\(\vecs{F}\) визначається
\ [\ почати {вирівняти}\ текст {завиток}\,\ vecs {F} &= (R_y - Q_z)\,\ mathbf {\ капелюх я} + (p_z - r_x)\,\ mathbf {\ капелюх j} + (Q_x - p_y)\,\ mathbf {\ капелюх k}\ [4pt]
&=\ лівий (\ dfrac {\ частковий R} {\ частковий y} -\ dfrac {\ частковий Q} {\ частковий z}\ правий)\,\ mathbf {\ hat i} +\ лівий (\ dfrac {\ частковий P} {\ частковий z} -\ dfrac {\ частковий R} {\ частковий х}\ право)\,\ mathbf {\ hat j} +\ лівий (\ dfrac {\ частковий Q} {\ частковий х} -\ dfrac {\ частковий P} {\ частковий y}\ праворуч)\,\ mathbf {\ hat k}. \ end {вирівняти}\ nonumber\]
Зверніть увагу, що завиток векторного поля є векторним полем, на відміну від розбіжності.
Визначення локона буває складно запам'ятати. Щоб допомогти у запам'ятовуванні, ми використовуємо позначення\(\vecs \nabla \times \vecs{F}\) для позначення «визначника», який дає формулу локонів:
\[\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}. \nonumber \]
Визначником цієї матриці є
\[(R_y - Q_z) \,\mathbf{\hat i} - (R_x - P_z) \,\mathbf{\hat j} + (Q_x - P_y) \,\mathbf{\hat k} = (R_y - Q_z) \,\mathbf{\hat i} + (P_z - R_x) \,\mathbf{\hat j} + (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k} = \text{curl}\, \vecs{F}. \nonumber \]
Таким чином, дана матриця - спосіб допомогти запам'ятати формулу для завивки. Майте на увазі, однак, що слово детермінант використовується дуже вільно. Детермінант насправді не визначено на матриці з записами, які є трьома векторами, трьома операторами та трьома функціями.
Якщо\(\vecs{F} = \langle P,Q \rangle\) є векторним полем в\(\mathbb{R}^2\), то завиток\(\vecs{F}\), за визначенням, є
\[\text{curl}\, \vecs{F} = (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k} = \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right)\,\mathbf{\hat k}. \nonumber \]
Знайдіть локон\(\vecs{F}(P,Q,R) = \langle x^2 z, e^y + xz, xyz \rangle\).
Рішення
Завиток - це
\[\begin{align*} \text{curl}\, f &= \vecs\nabla \times \vecs{F} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial / \partial z \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= (R_y - Q_z)\,\mathbf{\hat i} + (P_z - R_x)\,\mathbf{\hat j} + (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k} \\ &= (xz - x)\,\mathbf{\hat i} + (x^2 - yz)\,\mathbf{\hat j} + z \,\mathbf{\hat k}. \end{align*}\]
Знайдіть завиток\(\vecs{F} = \langle \sin x \, \cos z, \, \sin y \, \sin z, \, \cos x \, \cos y \rangle \) в точці\(\left(0, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)\).
- Підказка
-
Знайдіть детермінант матриці\(\vecs \nabla \times \vecs{F}\).
- Відповідь
-
\(-\hat{i}\)
Знайдіть локон\(\vecs{F} = \langle P,Q \rangle = \langle y,0\rangle\).
Рішення
Зверніть увагу, що це векторне поле складається з векторів, які всі паралельні. По суті, кожен вектор в полі паралельний осі x. Цей факт може привести нас до висновку, що поле не має спина і що локон дорівнює нулю. Щоб перевірити цю теорію, зауважте, що
\[\text{curl}\, \vecs{F} = (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k} = -\,\mathbf{\hat k} \neq \vecs 0. \nonumber \]
Таким чином, це векторне поле дійсно має спін. Щоб зрозуміти чому, уявіть собі розміщення веслового колеса в будь-якій точці першого квадранта (рис.\(\PageIndex{6}\)). Більші величини векторів у верхній частині колеса змушують колесо обертатися. Колесо обертається за годинниковою стрілкою (негативним) напрямком, викликаючи негативний коефіцієнт завитка.
Зверніть увагу, що якщо\(\vecs{F} = \langle P,Q\rangle\) є векторним полем в площині, то\(\text{curl}\, \vecs{F} \cdot \mathbf{\hat k} = (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k} \cdot \mathbf{\hat k} = Q_x - P_y\). Тому циркуляційна форма теореми Гріна іноді записується як
\[\oint_C \vecs{F} \cdot d\vecs{r} = \iint_D \text{curl}\, \vecs F \cdot \,\mathbf{\hat k}\,dA, \nonumber \]
де\(C\) проста замкнута\(D\) крива і область, обведена\(C\). Тому циркуляційну форму теореми Гріна можна записати в терміні завитка. Якщо розглядати curl як похідну роду, то теорема\(\vecs{F}\) Гріна говорить, що «похідна» від області може бути переведена в лінійний інтеграл\(\vecs{F}\) вздовж межі області. Це аналогічно фундаментальній теоремі числення, в якій похідна функції\(f\) на відрізку прямої\([a,b]\) може бути переведена в твердження про\(f\) на межі\([a,b]\). Використовуючи curl, ми можемо побачити циркуляційну форму теореми Гріна є більш вимірним аналогом фундаментальної теореми обчислення.
Тепер ми можемо використовувати те, що ми дізналися про завиток, щоб показати, що гравітаційні поля не мають «спина». Припустимо, що на початку є об'єкт з масою\(m_1\) в початку і об'єкт з масою\(m_2\). Нагадаємо, що гравітаційна сила, яку об'єкт 1 чинить на об'єкт 2, задається полем.
\[ \vecs{F}(x,y,z) = - Gm_1m_2 \left\langle \dfrac{x}{(x^2 + y^2 + z^2 )^{3/2}}, \dfrac{y}{(x^2 + y^2 + z^2 )^{3/2}}, \dfrac{z}{(x^2 + y^2 + z^2 )^{3/2}}\right\rangle. \nonumber \]
Покажіть, що гравітаційне поле не має спина.
Рішення
Щоб показати, що не\(\vecs{F}\) має прядки, обчислюємо його локон. Нехай
- \(P(x,y,z) = \dfrac{x}{(x^2 + y^2 + z^2 )^{3/2}}\),
- \(Q(x,y,z) = \dfrac{y}{(x^2 + y^2 + z^2 )^{3/2}}\), і
- \(R(x,y,z) = \dfrac{z}{(x^2 + y^2 + z^2 )^{3/2}}\).
Потім,
\ [\ почати {вирівнювати*}\ текст {завиток}\,\ vecs {F} &= - GM_1m_2 [(R_y - q_z)\ mathbf {\ капелюх я} + (p_z - r_x)\ mathbf {\ капелюх j} + (Q_x - p_y)\ mathbf {\ капелюх k}\ [4pt]
&= - GM_1m_2\ почати {pmatrix}\ ліворуч (\ dfrac {-3yz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ ліворуч (\ dfrac {-3yz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ праворуч\) математика {\ капелюх я}\ номер\\ [4pt]
+\ лівий (\ dfrac {-3xz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ вліво (\ dfrac {-3xz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ праворуч)\ mathbf {\ капелюх j}\ номер\\ [4pt]
+\ ліворуч (\ dfrac {-3xy} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ ліворуч (\ dfrac {-3xy} {(x^2+ y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ праворуч)\ праворуч)\ mathbf {\ капелюх k}\ кінець {pmatrix}\\ [4pt]
&=\ векс 0. \ end {вирівнювати*}\]
Так як завиток гравітаційного поля дорівнює нулю, то поле не має спина.
Поле\(\vecs{v}(x,y) = \langle - \dfrac{y}{x^2+y^2}, \dfrac{x}{x^2+y^2} \rangle \) моделює потік рідини. Покажіть, що якщо ви опускаєте лист в цю рідину, як лист рухається з часом, лист не обертається.
- Підказка
-
Розрахуйте локон.
- Відповідь
-
\(\text{curl}\, \vecs{v} = \vecs 0\)
Використання дивергенції та завитка
Тепер, коли ми розбираємося в основних поняттях дивергенції і завивки, ми можемо обговорити їх властивості і встановити зв'язки між ними і консервативними векторними полями.
Якщо\(\vecs{F}\) є векторним полем,\(\mathbb{R}^3\) то завиток також\(\vecs{F}\) є векторним полем в\(\mathbb{R}^3\). Тому можна взяти розбіжність локона. Наступна теорема говорить, що результат завжди дорівнює нулю. Цей результат корисний, оскільки дає нам можливість показати, що деякі векторні поля не є завитком будь-якого іншого поля. Щоб дати цьому результату фізичну інтерпретацію, нагадаємо, що розбіжність поля\(\vecs{v}\) швидкості в точці\(P\) вимірює тенденцію відповідної рідини до витікання\(P\). Так як\(\text{div}(\text{curl}\,\vecs v) = 0\), чиста швидкість потоку в векторному полі в\(\text{curl}\;\vecs v\) будь-якій точці дорівнює нулю. Прийняття завитка векторного поля\(\vecs{F}\) усуває будь-які розбіжності, які були присутні в\(\vecs{F}\).
\(\vecs{F} = \langle P,Q,R \rangle \)Дозволяти векторне поле в\(\mathbb{R}^3\) такому, що компонентні функції всі мають неперервні часткові похідні другого порядку. Потім,
\[\text{div}(\text{curl}\, \vecs{F}) = \vecs\nabla \cdot (\vecs \nabla \times \vecs F) = 0. \nonumber \]
За визначеннями дивергенції і завитка, і за теоремою Клеро,
\[\begin{align*} \text{div}(\text{curl}\, \vecs{F}) = \text{div}[(R_y - Q_z)\,\mathbf{\hat i} + (P_z - R_x)\,\mathbf{\hat j} + (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k}] \\ = R_{yx} - Q_{xz} + P_{yz} - R_{yx} + Q_{zx} - P_{zy}\\ = 0. \end{align*}\]
\(\Box\)
Покажіть, що\(\vecs{F}(x,y,z) = e^x\,\mathbf{\hat i}+ yz\,\mathbf{\hat j} + xz^2\,\mathbf{\hat k}\) це не завиток іншого векторного поля. Тобто показати, що іншого вектора\(\vecs{G}\) с немає\(\text{curl} \, \vecs G = \vecs F\).
Рішення
Зверніть увагу, що домен\(\vecs{F}\) є все з\(\mathbb{R}^3\) і другого порядку\(\vecs{F}\) частки всі безперервні. Тому ми можемо застосувати попередню теорему до\(\vecs{F}\).
Розбіжність\(\vecs{F}\) є\(e^x + z + 2xz\). \(\vecs{F}\)Якби були завиток векторного поля\(\vecs{G}\), то\(\text{div}\, \vecs F = \text{div}(\text{curl} \,\vecs G) = 0\). Але, розбіжність не\(\vecs{F}\) дорівнює нулю, а тому не\(\vecs{F}\) є завитком будь-якого іншого векторного поля.
Чи можна бути\(\vecs G(x,y,z) = \langle \sin x, \, \cos y, \, \sin (xyz)\rangle \) завитком векторного поля?
- Підказка
-
Знайдіть розбіжність\(\vecs{G}\).
- Відповідь
-
Ні.
Наступними двома теоремами ми покажемо, що якщо\(\vecs{F}\) є консервативним векторним полем, то його завиток дорівнює нулю, а якщо область просто пов'язана, то зворотне також вірно.\(\vecs{F}\) Це дає нам ще один спосіб перевірити, чи є векторне поле консервативним.
Якщо\(\vecs{F} = \langle P,Q,R\rangle\) консервативний, то\(\text{curl} \, \vecs{F} = \vecs 0\).
Оскільки консервативні векторні поля задовольняють властивість cross-partials, всі перехресні частки\(\vecs F\) є рівними. Тому,
\[\begin{align*} \text{curl}\, \vecs{F} &= (R_y - Q_z)\,\mathbf{\hat i} + (P_z - R_x)\,\mathbf{\hat j} + (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k} \\[4pt] &= \vecs 0. \end{align*}\]
\(\Box\)
Та ж теорема вірна і для векторних полів у площині.
Оскільки консервативне векторне поле є градієнтом скалярної функції, попередня теорема говорить, що\(\text{curl}\, (\vecs \nabla f) = \vecs 0\) для будь-якої скалярної функції\(f\). З точки зору нашого позначення локонів,\(\vecs \nabla \times \vecs \nabla (f) = \vecs 0\). Це рівняння має сенс, оскільки перехресний добуток вектора з самим собою завжди є нульовим вектором. Іноді\(\vecs \nabla \times \vecs \nabla (f) = \vecs 0\) рівняння спрощується як\(\vecs \nabla \times \vecs \nabla = \vecs 0\).
\(\vecs{F} = \langle P,Q,R\rangle\)Дозволяти бути векторне поле в просторі на просто підключений домен. Якщо\(\text{curl}\;\vecs F = \vecs 0\),\(\vecs{F}\) то консервативний.
З тих пір\(\text{curl}\, \vecs F = \vecs 0\), у нас є що\(R_y = Q_z, \, P_z = R_x\), і\(Q_x = P_y\). Тому\(\vecs{F}\) задовольняє властивість крос-partials на просто пов'язаному домені, а крос-часткова властивість консервативних полів передбачає, що\(\vecs{F}\) це консервативне.
\(\Box\)
Та ж теорема вірна і в площині. Тому якщо\(\vecs{F}\) векторне поле в площині або в просторі і область просто пов'язана,\(\vecs{F}\) то консервативна якщо і тільки якщо\(\text{curl}\, \vecs F = \vecs 0\).
Використовуйте локон, щоб визначити,\(\vecs{F}(x,y,z) = \langle yz, xz, xy\rangle\) консервативний чи.
Рішення
Зверніть увагу, що домен\(\vecs{F}\) - це все з\(\mathbb{R}^3\) яких просто підключено (рис.\(\PageIndex{7}\)). Тому ми можемо перевірити, чи\(\vecs{F}\) консервативний, розрахувавши його локон.
Завиток\(\vecs{F}\) є
\[\left(\dfrac{\partial}{\partial y}xy - \dfrac{\partial}{\partial z} xz \right) \,\mathbf{\hat i} + \left(\dfrac{\partial}{\partial y}yz - \dfrac{\partial}{\partial z} xy \right) \,\mathbf{\hat j} + \left(\dfrac{\partial}{\partial y}xz - \dfrac{\partial}{\partial z} yz \right)\,\mathbf{\hat k}= (x - x)\,\mathbf{\hat i} + (y - y)\,\mathbf{\hat j} + (z - z)\,\mathbf{\hat k} = \vecs 0. \nonumber \]
Таким чином,\(\vecs{F}\) є консервативним.
Ми бачили, що завиток градієнта дорівнює нулю. Що таке розбіжність градієнта? Якщо\(f\) є функцією двох змінних, то\(\text{div}(\vecs \nabla f) = \vecs \nabla \cdot (\vecs \nabla f) = f_{xx} + f_{yy}\). Ми скорочуємо цей «подвійний крапковий добуток» як\(\vecs \nabla^2\). Цей оператор називається оператором Лапласа, і в цьому позначенні стає рівняння Лапласа\(\vecs \nabla^2 f = 0\). Тому гармонічна функція - це функція, яка стає нулем після прийняття розбіжності градієнта.
Аналогічно, якщо\(f\) є функцією трьох змінних, то
\[\text{div}(\vecs \nabla f) = \vecs \nabla \cdot (\vecs \nabla f) = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}. \nonumber \]
Використовуючи ці позначення, ми отримуємо рівняння Лапласа для гармонійних функцій трьох змінних:
\[\vecs \nabla^2 f = 0. \nonumber \]
Гармонічні функції виникають у багатьох додатках. Наприклад, потенційна функція електростатичного поля в області простору, яка не має статичного заряду, є гармонійною.
Чи можлива потенційна функція електростатичного поля, яке знаходиться в області\(\mathbb{R}^2\) вільної від статичного заряду?\(f(x,y) = x^2 + x - y\)
Рішення
\(f\)Якби була така потенційна функція, то\(f\) була б гармонійною. Зверніть увагу, що\(f_{xx} = 2\) і\(f_{yy} = 0\), і так\(f_{xx} + f_{yy} \neq 0\). Тому не\(f\) є гармонійним і\(f\) не може представляти електростатичний потенціал.
Чи можливо функція\(f(x,y) = x^2 - y^2 + x\) бути потенційною функцією електростатичного поля, розташованого в області\(\mathbb{R}^2\) без статичного заряду?
- Підказка
-
Визначте, чи є функція гармонійною.
- Відповідь
-
Так.
Ключові концепції
- Розбіжність векторного поля є скалярною функцією. Дивергенція вимірює «відтік» векторного поля. Якщо\(\vecs{v}\) поле швидкості рідини, то розбіжність\(\vecs{v}\) в точці - це відтік рідини менше припливу в точці.
- Завиток векторного поля є векторним полем. Завиток векторного поля в точці\(P\) вимірює тенденцію частинок при\(P\) обертанні навколо осі, яка вказує у напрямку завитка на\(P\).
- Векторне поле з просто пов'язаним доменом консервативне тоді і тільки тоді, коли його завиток дорівнює нулю.
Ключові рівняння
- завиток
\[\vecs \nabla \times \vecs{F} = (R_y - Q_z)\,\mathbf{\hat i} + (P_z - R_x)\,\mathbf{\hat j} + (Q_x - P_y)\,\mathbf{\hat k} \nonumber \]
- Дивергенція
\[\vecs \nabla \cdot \vecs{F} = P_x + Q_y + R_z\nonumber \]
- Розбіжність завитка дорівнює нулю
\[\vecs \nabla \cdot (\vecs \nabla \times \vecs F) = 0\nonumber \]
- Завиток градієнта - нульовий вектор
\[\vecs \nabla \times (\vecs \nabla f) = 0 \nonumber \]
Глосарій
- завиток
- завиток векторного поля\(\vecs{F}=⟨P,Q,R⟩\),\(\vecs ∇× \vecs{F}\) що позначається є «визначником» матриці\[\begin{vmatrix} \mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}. \nonumber \] і задається виразом\((R_y−Q_z)\,\mathbf{\hat i} +(P_z−R_x)\,\mathbf{\hat j} +(Q_x−P_y)\,\mathbf{\hat k} \); він вимірює тенденцію частинок в точці до обертання навколо осі, яка вказує в напрямку завитка в точці
- розбіжність
- розбіжність векторного поля\(\vecs{F}=⟨P,Q,R⟩\), що позначається\(\vecs ∇× \vecs{F}\), є\(P_x+Q_y+R_z\); він вимірює «відтікання» векторного поля
Одне застосування для розбіжності відбувається в фізиці, при роботі з магнітними полями. Магнітне поле - це векторне поле, яке моделює вплив електричних струмів і магнітних матеріалів. Фізики використовують розбіжність в законі Гаусса для магнетизму, який стверджує, що якщо\(\vecs{B}\) це магнітне поле, то\(\vecs \nabla \cdot \vecs{B} = 0\); іншими словами, розбіжність магнітного поля дорівнює нулю.
Приклад\(\PageIndex{2}\): Determining Whether a Field Is Magnetic
Чи можливо бути магнітним полем?\(\vecs{F} (x,y) = \langle x^2 y, \, y - xy^2 \rangle \)
Рішення
Якби\(\vecs{F}\) були магнітні, то його розбіжність дорівнювала б нулю. Розбіжність\(\vecs{F}\) є
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial y} (y - xy^2) = 2 xy + 1 - 2 xy = 1 \nonumber \]
і тому\(\vecs{F}\) не може моделювати магнітне поле (рис.\(\PageIndex{3}\)).