15.8: Глава 15 Огляд вправ
- Page ID
- 62016
Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.
1. \(\displaystyle ∫_a^b∫_c^d f(x,y) \, dy \, dx = ∫_c^d∫_a^b f(x,y) \, dy \, dx\)
2. Теорему Фубіні можна розширити до трьох вимірів, доки вона\(f\) є безперервною у всіх змінних.
- Відповідь
- Правда
3. Інтеграл\(\displaystyle ∫_0^{2π}∫_0^1∫_r^1 \,dz \, dr \, dθ\) являє собою обсяг правого конуса.
4. Якобійський перетворення для\(x=u^2−2v, \, y=3v−2uv\) дається\(−4u^2+6u+4v.\)
- Відповідь
- Помилковий
Оцініть наступні інтеграли.
5. \(\displaystyle \iint_R (5x^3y^2−y^2) \, dA,\)де\(R=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤2,\, 1≤y≤4\big\}\)
6. \(\displaystyle \iint_D \dfrac{y}{3x^2+1} \, dA,\)де\( D=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤1, \, −x≤y≤x\big\}\)
- Відповідь
- \(0\)
7. \(\displaystyle \iint_D \sin(x^2+y^2) \, dA\)де\(D\) - диск радіусу,\(2\) центрований у початковій точці.
8. \(\displaystyle \int_0^1\int_y^1 xye^{x^2}\,dx \, dy\)
- Відповідь
- \(\frac{1}{4}\)
9. \(\displaystyle \int_{−1}^1\int_0^z\int_0^{x−z} 6 \, dy \, dx\, dz\)
10. \(\displaystyle \iiint_R 3y \, dV,\)де\(R=\big\{(x,y,z) \,|\, 0≤x≤1, \, 0≤y≤x, \, 0≤z≤9−y^2\big\}\)
- Відповідь
- \(1.475\)
11. \(\displaystyle \int_0^2\int_0^{2π}\int_r^1 r \, dz \, dθ \, dr\)
12. \(\displaystyle \int_0^{2π}\int_0^{π/2}\int_1^3 ρ^2\sin(φ) \, dρ \, dφ \, dθ\)
- Відповідь
- \(\frac{52\pi}{3}\)
13. \(\displaystyle \int_0^1\int_{−\sqrt{1−x^2}}^{\sqrt{1−x^2}}\int_{−\sqrt{1−x^2−y^2}}^{\sqrt{1−x^2−y^2}} \, dz \, dy \, dx\)
Для наступних проблем знайдіть вказану область або обсяг.
14. Площа області, обнесена однією пелюсткою\(r=\cos(4θ).\)
- Відповідь
- \(\frac{\pi}{16} \text{ units}^3\)
15. Обсяг твердого тіла, що лежить між параболоїдом\(z=2x^2+2y^2\) і площиною\(z=8.\)
16. Обсяг твердого тіла, обмеженого циліндром\(x^2+y^2=16\) і від\(z=1\) до\(z+x=2.\)
- Відповідь
- \(93.291 \text{ units}^3\)
17. Обсяг перетину між двома сферами радіусу\(1,\) верхньої, центр якої є,\((0,\,0,\,0.25)\) і нижньою, яка зосереджена по центру\((0,\,0,\,0).\)
Для наступних завдань знайдіть центр мас області.
18. \(ρ(x,y)=xy\)на колі з радіусом тільки\(1\) в першому квадранті.
- Відповідь
- \( \left( \frac{8}{15}, \, \frac{8}{15} \right) \)
19. \(ρ(x,y)=(y+1)\sqrt{x}\)в регіоні, обмеженому\(y=e^x, \, y=0,\) та\(x=1.\)
20. \(ρ(x,y,z)=z\)на перевернутому конусі з радіусом\(2\) і висотою\(2.\)
- Відповідь
- \( \left( 0, \, 0, \, \frac{8}{5} \right) \)
21. Обсяг конуса морозива, який надається твердим тілом зверху\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) і знизу\(z^2+x^2+y^2=z.\)
Наступні проблеми досліджують Маунт-Холлі в штаті Мічиган. Гора Холлі - сміттєзвалище, яке було перетворено в гірськолижний курорт. Форма гори Холлі може бути наближена правим круглим конусом висотою 1100 футів і радіусом 6000 футів.
22. Якщо ущільнений мотлох, використовуваний для зведення гори Холлі, в середньому має щільність,\(400\text{ lb/ft}^3,\) знайдіть обсяг робіт, необхідних для зведення гори.
- Відповідь
- \(1.452\pi \times 10^{15}\)фут-фунт
23. Насправді дуже ймовірно, що сміття на дні гори Холлі став більш ущільненим з усією вагою вищевказаного сміття. Розглянемо функцію щільності щодо висоти: щільність на вершині гори все ще щільність,\(400\text{ lb/ft}^3,\) а щільність збільшується. Кожні 100 футів глибше, щільність подвоюється. Яка загальна вага Маунт Холлі?
Наступні проблеми розглядають температуру і щільність шарів Землі.
24. [T] Температура шарів Землі представлена в таблиці нижче. Скористайтеся калькулятором, щоб підігнати поліном ступеня 3 до температури вздовж радіуса Землі. Потім знайдіть середню температуру Землі. (Підказка: починаються з 0 у внутрішньому ядрі і збільшуються назовні до поверхні)
| Шар | Глибина від центру (km) | Температура °C |
|---|---|---|
| Скеляста кора | Від 0 до 40 | 0 |
| Верхня мантія | Від 40 до 150 | 870 |
| Мантія | від 400 до 650 | 870 |
| Внутрішня камінна | від 650 до 2700 | 870 |
| Розплавлене зовнішнє ядро | 2890 до 5150 | 4300 |
| Внутрішнє ядро | від 5150 до 6378 | 7200 |
- Відповідь
- \(y=−1.238×10^{−7}x^3+0.001196x^2−3.666x+7208\);
Середня температура становить приблизно 2800° C.
25. [T] Щільність шарів Землі відображається в таблиці нижче. За допомогою калькулятора або комп'ютерної програми знайдіть найбільш підходяще квадратне рівняння щільності. Використовуючи це рівняння, знайдіть загальну масу Землі.
| Шар | Глибина від центру (km) | Щільність (\(\text{g/cm}^3\)) |
|---|---|---|
| Внутрішнє ядро | 0 | \ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">12,95 |
| Зовнішнє ядро | 1228 | \ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">11.05 |
| Мантія | 3488 | \ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">5.00 |
| Верхня мантія | 6338 | \ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">3.90 |
| скоринка | 6378 | \ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">2.55 |
Наступні проблеми стосуються теореми Паппуса (див. Моменти та центри мас для підвищення кваліфікації), методу обчислення об'єму за допомогою центроїдів. Припускаючи область,\(R,\) коли ви обертаєтеся навколо\(x\) -осі, обсяг задається\(V_x=2πA\overline{y},\) і коли ви обертаєтеся навколо\(y\) -осі, обсяг\(A\) задається тим,\(V_y=2πA\overline{x},\) де площа\(R.\) Розглянемо область, обмежену\(x^2+y^2=1\) і вище\(y=x+1.\)
26. Знайдіть гучність, коли ви обертаєте область навколо\(x\) -осі.
- Відповідь
- \(\frac{\pi}{3} \text{ units}^3\)
27. Знайдіть гучність, коли ви обертаєте область навколо\(y\) -осі.