15.8: Глава 15 Огляд вправ

Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або контрприкладом.

1. $\displaystyle ∫_a^b∫_c^d f(x,y) \, dy \, dx = ∫_c^d∫_a^b f(x,y) \, dy \, dx$

2. Теорему Фубіні можна розширити до трьох вимірів, доки вона$f$ є безперервною у всіх змінних.

Відповідь

Правда

3. Інтеграл$\displaystyle ∫_0^{2π}∫_0^1∫_r^1 \,dz \, dr \, dθ$ являє собою обсяг правого конуса.

4. Якобійський перетворення для$x=u^2−2v, \, y=3v−2uv$ дається$−4u^2+6u+4v.$

Відповідь

Помилковий

Оцініть наступні інтеграли.

5. $\displaystyle \iint_R (5x^3y^2−y^2) \, dA,$де$R=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤2,\, 1≤y≤4\big\}$

6. $\displaystyle \iint_D \dfrac{y}{3x^2+1} \, dA,$де$D=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤1, \, −x≤y≤x\big\}$

Відповідь

$0$

7. $\displaystyle \iint_D \sin(x^2+y^2) \, dA$де$D$ - диск радіусу,$2$ центрований у початковій точці.

8. $\displaystyle \int_0^1\int_y^1 xye^{x^2}\,dx \, dy$

Відповідь

$\frac{1}{4}$

9. $\displaystyle \int_{−1}^1\int_0^z\int_0^{x−z} 6 \, dy \, dx\, dz$

10. $\displaystyle \iiint_R 3y \, dV,$де$R=\big\{(x,y,z) \,|\, 0≤x≤1, \, 0≤y≤x, \, 0≤z≤9−y^2\big\}$

Відповідь

$1.475$

11. $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2π}\int_r^1 r \, dz \, dθ \, dr$

12. $\displaystyle \int_0^{2π}\int_0^{π/2}\int_1^3 ρ^2\sin(φ) \, dρ \, dφ \, dθ$

Відповідь

$\frac{52\pi}{3}$

13. $\displaystyle \int_0^1\int_{−\sqrt{1−x^2}}^{\sqrt{1−x^2}}\int_{−\sqrt{1−x^2−y^2}}^{\sqrt{1−x^2−y^2}} \, dz \, dy \, dx$

Для наступних проблем знайдіть вказану область або обсяг.

14. Площа області, обнесена однією пелюсткою$r=\cos(4θ).$

Відповідь

$\frac{\pi}{16} \text{ units}^3$

15. Обсяг твердого тіла, що лежить між параболоїдом$z=2x^2+2y^2$ і площиною$z=8.$

16. Обсяг твердого тіла, обмеженого циліндром$x^2+y^2=16$ і від$z=1$ до$z+x=2.$

Відповідь

$93.291 \text{ units}^3$

17. Обсяг перетину між двома сферами радіусу$1,$ верхньої, центр якої є,$(0,\,0,\,0.25)$ і нижньою, яка зосереджена по центру$(0,\,0,\,0).$

Для наступних завдань знайдіть центр мас області.

18. $ρ(x,y)=xy$на колі з радіусом тільки$1$ в першому квадранті.

Відповідь

$\left( \frac{8}{15}, \, \frac{8}{15} \right)$

19. $ρ(x,y)=(y+1)\sqrt{x}$в регіоні, обмеженому$y=e^x, \, y=0,$ та$x=1.$

20. $ρ(x,y,z)=z$на перевернутому конусі з радіусом$2$ і висотою$2.$

Відповідь

$\left( 0, \, 0, \, \frac{8}{5} \right)$

21. Обсяг конуса морозива, який надається твердим тілом зверху$z=\sqrt{x^2+y^2}$ і знизу$z^2+x^2+y^2=z.$

Наступні проблеми досліджують Маунт-Холлі в штаті Мічиган. Гора Холлі - сміттєзвалище, яке було перетворено в гірськолижний курорт. Форма гори Холлі може бути наближена правим круглим конусом висотою 1100 футів і радіусом 6000 футів.

22. Якщо ущільнений мотлох, використовуваний для зведення гори Холлі, в середньому має щільність,$400\text{ lb/ft}^3,$ знайдіть обсяг робіт, необхідних для зведення гори.

Відповідь

$1.452\pi \times 10^{15}$фут-фунт

23. Насправді дуже ймовірно, що сміття на дні гори Холлі став більш ущільненим з усією вагою вищевказаного сміття. Розглянемо функцію щільності щодо висоти: щільність на вершині гори все ще щільність,$400\text{ lb/ft}^3,$ а щільність збільшується. Кожні 100 футів глибше, щільність подвоюється. Яка загальна вага Маунт Холлі?

Наступні проблеми розглядають температуру і щільність шарів Землі.

24. [T] Температура шарів Землі представлена в таблиці нижче. Скористайтеся калькулятором, щоб підігнати поліном ступеня 3 до температури вздовж радіуса Землі. Потім знайдіть середню температуру Землі. (Підказка: починаються з 0 у внутрішньому ядрі і збільшуються назовні до поверхні)

Джерело: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

Шар	Глибина від центру (km)	Температура °C
Скеляста кора	Від 0 до 40	0
Верхня мантія	Від 40 до 150	870
Мантія	від 400 до 650	870
Внутрішня камінна	від 650 до 2700	870
Розплавлене зовнішнє ядро	2890 до 5150	4300
Внутрішнє ядро	від 5150 до 6378	7200

Відповідь

$y=−1.238×10^{−7}x^3+0.001196x^2−3.666x+7208$;
Середня температура становить приблизно 2800° C.

25. [T] Щільність шарів Землі відображається в таблиці нижче. За допомогою калькулятора або комп'ютерної програми знайдіть найбільш підходяще квадратне рівняння щільності. Використовуючи це рівняння, знайдіть загальну масу Землі.

Джерело: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Шар	Глибина від центру (km)	Щільність ($\text{g/cm}^3$)
Внутрішнє ядро	0	\ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">12,95
Зовнішнє ядро	1228	\ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">11.05
Мантія	3488	\ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">5.00
Верхня мантія	6338	\ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">3.90
скоринка	6378	\ (\ текст {г/см} ^3\))» перевірка даних = «верх">2.55

Наступні проблеми стосуються теореми Паппуса (див. Моменти та центри мас для підвищення кваліфікації), методу обчислення об'єму за допомогою центроїдів. Припускаючи область,$R,$ коли ви обертаєтеся навколо$x$ -осі, обсяг задається$V_x=2πA\overline{y},$ і коли ви обертаєтеся навколо$y$ -осі, обсяг$A$ задається тим,$V_y=2πA\overline{x},$ де площа$R.$ Розглянемо область, обмежену$x^2+y^2=1$ і вище$y=x+1.$

26. Знайдіть гучність, коли ви обертаєте область навколо$x$ -осі.

Відповідь

$\frac{\pi}{3} \text{ units}^3$

27. Знайдіть гучність, коли ви обертаєте область навколо$y$ -осі.